蔡振榮

（桂林電子科技大學(xué) 建筑與交通工程學(xué)院，廣西 桂林）

引言

解決彈性力學(xué)問題的傳統(tǒng)方法包括有限差分法、有限單元法等。這些方法通常需要借助網(wǎng)格離散求解問題，以插值的方式逼近偏微分方程的真實(shí)解，網(wǎng)格越精細(xì)，解的精確度越高，然而也導(dǎo)致了更高的計(jì)算代價(jià)和更大的存儲(chǔ)空間需求。此外，建模水平、邊界條件以及載荷工況的模擬真實(shí)性等因素會(huì)影響精確度，使得在高維度情況下計(jì)算代價(jià)巨大。實(shí)際問題往往非常復(fù)雜，特別是多個(gè)物理場(chǎng)共同作用時(shí)，數(shù)學(xué)模型受多個(gè)變量共同影響，傳統(tǒng)數(shù)值計(jì)算方法在通用性方面面臨巨大挑戰(zhàn)。

為了克服這些挑戰(zhàn)，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解偏微分方程的方法為力學(xué)問題的求解指明了一條非常重要的思路。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種強(qiáng)大的擬合工具，非常適合用于復(fù)雜問題的描述。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法被廣泛應(yīng)用于偏微分方程的求解[1-2]，使力學(xué)問題從最底層的控制方程求解成為可能。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是模仿生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)行為特征，進(jìn)行分布式并行信息處理的算法數(shù)學(xué)模型。萬能逼近原理[3]證明訓(xùn)練充分的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能表達(dá)任意函數(shù)，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解偏微分方程奠定了可靠的理論依據(jù)。結(jié)合損失函數(shù)中使用物理驅(qū)動(dòng)約束的形式，將求解偏微分方程的數(shù)值問題轉(zhuǎn)換為無約束最小化問題。PINN 在損失函數(shù)加入物理信息約束，引入離散格式構(gòu)造，將邊界條件和物理定律納入模型，使訓(xùn)練后的模型更符合實(shí)際效果。

本文將主要對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法求解彈性力學(xué)問題進(jìn)行有效性研究。以二維彈性力學(xué)問題的求解過程為例，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法解彈性偏微分方程組實(shí)現(xiàn)解決彈性力學(xué)問題的過程。并結(jié)合彈性偏微分方程組解的特性，通過位移預(yù)測(cè)的方式實(shí)現(xiàn)求解過程。通過探究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、超參數(shù)等問題對(duì)計(jì)算過程的影響，尋找一種能夠快速、有效解決彈性力學(xué)問題的思路，同時(shí)也能為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)力學(xué)問題的智能化求解奠定方法基礎(chǔ)。

1 方法原理

網(wǎng)絡(luò)模型在訓(xùn)練過程中，模型參數(shù)和權(quán)重完成自動(dòng)學(xué)習(xí)和調(diào)整。大量的數(shù)據(jù)能夠使網(wǎng)絡(luò)在迭代訓(xùn)練后掌握數(shù)據(jù)的特性，因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以反映數(shù)據(jù)內(nèi)部分布特性與規(guī)律，并對(duì)未來的結(jié)果有較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)能力。但在物理問題中，往往涉及多個(gè)變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)之間的復(fù)雜關(guān)系。一般的數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)很難全面地反映問題真實(shí)的規(guī)律與特性。因此，借助物理驅(qū)動(dòng)的方法控制網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程將更加有效。物理驅(qū)動(dòng)能夠結(jié)合深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)方式，并適應(yīng)物理系統(tǒng)行為，以便更好地模擬、控制物理學(xué)問題的現(xiàn)象與規(guī)律。損失函數(shù)用于衡量模型的預(yù)測(cè)輸出與真實(shí)標(biāo)簽之間的差距或誤差，并作為優(yōu)化算法的指導(dǎo)，通過最小化代價(jià)函數(shù)，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以調(diào)整其參數(shù)，以改善預(yù)測(cè)結(jié)果。均方誤差是一種用于度量模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值之間的差距或誤差的損失函數(shù)。通常用于回歸問題中，用于評(píng)估模型的性能。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解彈性力學(xué)偏微分方程的思路和框架見圖1。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法計(jì)算原理流程

ε 表示可接受誤差的最大值；I 代表方程的邊界條件。u 是原方程的數(shù)值解;是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合原方程的近似解。MSEf就代表了每數(shù)據(jù)集f 中每個(gè)點(diǎn)計(jì)算差值的平方項(xiàng)；MSEu為內(nèi)部上各點(diǎn)計(jì)算近似解與邊界條件差值的平方項(xiàng)。

每次訓(xùn)練都會(huì)生成兩組隨機(jī)的測(cè)試集，將測(cè)試集的點(diǎn)輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后計(jì)算模型參數(shù)（w，b；θ）值，可以得到由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的數(shù)值解。對(duì)使用自動(dòng)微分技術(shù)計(jì)算其偏導(dǎo)數(shù)代回原方程，通過計(jì)算均方差值得到MSEf，同理在邊界點(diǎn)處可以計(jì)算得到差值MSEu，定義總損失函數(shù)MSE 為兩個(gè)殘差之和。當(dāng)MSE＞ε，表明誤差值過大還需繼續(xù)訓(xùn)練，將生成新的數(shù)據(jù)再次循環(huán)整個(gè)訓(xùn)練流程；當(dāng)MSE＜ε，則說明誤差范圍已經(jīng)達(dá)到目標(biāo)水平，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的近似解，能夠無限接近原方程的真實(shí)解，訓(xùn)練結(jié)束。網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完成后，對(duì)于任意給定的點(diǎn)，可以計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的近似解。

2 模型計(jì)算及驗(yàn)證

2.1 彈性力學(xué)偏微分方程組

方程組包括平衡方程、幾何方程及物理方程。

討論二維情形下的偏微分方程。構(gòu)建二維彈性力學(xué)模型，選取二維空間中尺寸為1×2 的長(zhǎng)方形平面板壓縮實(shí)驗(yàn)為例開展模擬研究。假設(shè)該問題按平面應(yīng)變考慮，建立的二維彈性模型見圖2。邊界條件為：下邊界在X和Y 方向上均固定；上邊界在Y 方向施加位移荷載v=-0.2，X方向固定；左右邊界自由。模型按準(zhǔn)靜態(tài)計(jì)算，不考慮重力。

圖2 平面模型

根據(jù)對(duì)基本方程整理，將方程組中的應(yīng)力、應(yīng)變利用位移表示。將公式進(jìn)行整理合并可得到位移表示的平衡方程，如公式（2）所示。

按照位移法的求解原理，將原方程組的應(yīng)力、應(yīng)變都使用位移表示，位移成為唯一的待求解。

2.2 有限元分析

由方程組沒有解析解，該結(jié)果可以作為本文所探討問題的參考解。

使用有限元計(jì)算軟件，構(gòu)建固體力學(xué)模型，設(shè)置長(zhǎng)為2 m、寬為1 m 的平面線彈性材料模型，定義線彈性材料系數(shù)Lamé 常數(shù)（或體模量）λ=1 和切變模量（或剪切模量）μ=0.5，材料密度ρ=1。在上邊界施加指定位移，X 方向設(shè)置為0，Y 方向設(shè)置為-0.2；下邊界X方向、Y 方向設(shè)置位移均為0；左右邊界自由無約束。在區(qū)域內(nèi)劃分四邊形網(wǎng)格，定義最大單元大小0.05。有限元計(jì)算結(jié)果見圖3。

圖3 有限元計(jì)算結(jié)果

2.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析

多任務(wù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以表述多任務(wù)的問題，與方程組的結(jié)構(gòu)具有一定的相似性，訓(xùn)練兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)分布表述位移u、位移v。因此設(shè)計(jì)一種類似的結(jié)構(gòu)，將多輸出問題轉(zhuǎn)化為一種接近多任務(wù)問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。模型的輸出由兩個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所表述，輸出的變量具有獨(dú)立性，可以避免在同一個(gè)網(wǎng)絡(luò)時(shí)的相互干擾。通過簡(jiǎn)化單個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的規(guī)模，可以降低訓(xùn)練成本與提升擬合能力。

在超參數(shù)的設(shè)計(jì)上，考慮到方程組的求解有一定的復(fù)雜性，通過相對(duì)較大的訓(xùn)練周期保證網(wǎng)絡(luò)得到足夠的訓(xùn)練。此處使用超參數(shù)中間隱藏層數(shù)為4，每一層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)為50。使用Pytorch 實(shí)現(xiàn)算例，通過Adam 優(yōu)化器優(yōu)化參數(shù)，得到的逼近解的圖像及迭代曲線圖。當(dāng)epoch=1.5×106時(shí)，計(jì)算得到的結(jié)果見圖4。迭代損失曲線見圖5。

圖4 計(jì)算結(jié)果圖像

通過對(duì)比，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的求解結(jié)果與有限元的結(jié)果基本一致，圖像趨勢(shì)與有限元結(jié)果基本一致，最小化損失函數(shù)的誤差范圍控制在在0.000 1～0.000 05之間。

結(jié)束語

本文根據(jù)現(xiàn)有數(shù)值方法在求解彈性力學(xué)偏微分方程中存在的關(guān)鍵問題與不足，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的計(jì)算能力，構(gòu)建了一種多任務(wù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的求解模型。該模型可以應(yīng)用在彈性力學(xué)的求解問題中。借助二維算例驗(yàn)證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法求解的有效性，通過對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解算法進(jìn)行優(yōu)化，能夠得到合理的計(jì)算結(jié)果。