李昭慧,呂怡豪

(西安科技大學(xué) 通信工程學(xué)院,陜西 西安 710600)

1 引 言

近年來(lái),微納光子學(xué)蓬勃興起,并隨著精密加工技術(shù)的發(fā)展,人們利用納米結(jié)構(gòu)材料實(shí)現(xiàn)對(duì)亞波長(zhǎng)光場(chǎng)調(diào)控的能力取得長(zhǎng)足的進(jìn)步。2011年,哈佛大學(xué)的Capasso教授研究組即提出了超表面(Metasurface)的設(shè)計(jì)思想——通過(guò)由亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)單元組成的薄層局域地控制空間光場(chǎng)的相位、偏振、振幅等物理量。超表面器件可以有效地調(diào)控光特性從而實(shí)現(xiàn)特定應(yīng)用[1-3],同時(shí)避免了光在體塊材料內(nèi)部傳輸造成巨大損耗,具有輕量化、易集成的優(yōu)點(diǎn),因而具有重要的應(yīng)用前景。

超表面用作聚焦透鏡即為超透鏡,它可以產(chǎn)生雙曲相位面,從而獲得較大衍射效率的聚焦光束[4-7]。然而,超透鏡作為一種衍射型器件,受限于亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)單元的波長(zhǎng)敏感性,往往存在較強(qiáng)的色散,嚴(yán)重影響其在全色光學(xué)應(yīng)用中的性能。

為解決超透鏡的色散問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外的研究者提出了多種方法。2015 年,Capasso 等人實(shí)現(xiàn)了采用色散相位補(bǔ)償?shù)亩嗖ㄩL(zhǎng)消色差超表面[8],使得各個(gè)波長(zhǎng)在焦距為7.5 mm處聚焦良好。2019年,Hu 等人使用了一種圓柱形單元結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了工作在234～274 nm的消色差超透鏡。使得在寬帶范圍內(nèi)焦距為4.75 μm幾乎保持不變,并且測(cè)得的愛(ài)里斑的最大半峰寬度(FWHM)值接近衍射極限尺寸[9]。2022年,Chen等人采用了硅納米柱和相板組成的集成單元結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了波長(zhǎng)在1100～1500 nm范圍內(nèi)焦距在32μm處保持基本不變的消色差超透鏡[10]。以上工作是由科學(xué)家根據(jù)計(jì)算和經(jīng)驗(yàn),挑選出光學(xué)響應(yīng)接近于設(shè)計(jì)目標(biāo)的單元結(jié)構(gòu),進(jìn)行組合構(gòu)成超透鏡初始結(jié)構(gòu),然后再仿真分析其性能,并對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化微調(diào),如此反復(fù)迭代,直到超透鏡光學(xué)響應(yīng)能夠滿足設(shè)計(jì)要求。人工挑選單元結(jié)構(gòu)可能存在偏差,多次仿真與參數(shù)優(yōu)化耗費(fèi)大量時(shí)間[11]。

為實(shí)現(xiàn)自動(dòng)設(shè)計(jì)與優(yōu)化,Capasso團(tuán)隊(duì)在聚焦公式中引入一個(gè)僅與波長(zhǎng)相關(guān)的優(yōu)化因子,采用粒子群優(yōu)化算法來(lái)確定每個(gè)波長(zhǎng)的優(yōu)化因子,實(shí)現(xiàn)了反射式消色差超透鏡[12]。另外,國(guó)內(nèi)學(xué)者申益佳同樣利用粒子群優(yōu)化算法設(shè)計(jì)了一種相位調(diào)控型透射式超透鏡,實(shí)現(xiàn)了400～650 nm波段的寬帶消色差聚焦功能,并且仿真出的半峰寬度與計(jì)算的理論衍射極限相比具有較高的一致性[13]。粒子群優(yōu)化算法雖然實(shí)現(xiàn)方式簡(jiǎn)單,全局搜索能力強(qiáng),但缺乏速度的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié),容易陷入局部最優(yōu),導(dǎo)致收斂慢且精度低[14-16]。

而智能優(yōu)化算法中另一種算法是遺傳算法,遺傳算法是借鑒自然界生物的進(jìn)化方式,將生物進(jìn)化的過(guò)程算法化,并在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬實(shí)現(xiàn),從而用來(lái)解決實(shí)際領(lǐng)域中的優(yōu)化問(wèn)題,是一種可以避免限于局部最值的全局搜索算法[17-18]。

因此,為實(shí)現(xiàn)寬帶超透鏡的自動(dòng)設(shè)計(jì),本文首先在高透過(guò)率SiO2基底以及高折射率Si納米柱所組成的微納結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,研究固定高度下,不同直徑納米柱在寬波長(zhǎng)范圍的調(diào)制特性。之后,通過(guò)改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法并引入遺傳算法組成混合算法,搜索超透鏡中每個(gè)位置的最佳單元結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)了寬帶的消色差超透鏡的設(shè)計(jì),達(dá)到了在正入射的條件下,將1000～1250 nm紅外波段的平面波匯聚到軸上同一焦點(diǎn)。

2 寬帶消色差超透鏡設(shè)計(jì)原理

為實(shí)現(xiàn)波長(zhǎng)為λ的平面波在正入射條件下透過(guò)焦距為f的超透鏡聚焦,要求超透鏡上距透鏡中心為R的任一點(diǎn),對(duì)中心提供的相對(duì)相位偏移φ(R)為[19]:

(1)

當(dāng)入射波長(zhǎng)帶寬為(λmin,λmax)時(shí),由于不同波長(zhǎng)的光在介質(zhì)中的傳播速度不同,并不能對(duì)不同波長(zhǎng)入射光產(chǎn)生同樣的相位延遲,即不能透過(guò)超透鏡聚焦于同一個(gè)位置,從而產(chǎn)生色差效應(yīng)。在固定焦距f下,R點(diǎn)的相位分布同波長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系表示下為式:

φl(shuí)ens(R,λ)=φ(R,λmax)+Δφ(R,λ)

(2)

其中:

式(2)表明:偏移相位可以被分為兩部分,其中φ(R,λmax)為參考相位,僅僅與λmax相關(guān)而獨(dú)立于工作波長(zhǎng)λ,利用式(1)就可以獲得;Δφ(R,λ)是一個(gè)與工作波長(zhǎng)相關(guān)的函數(shù),與1/λ成線性關(guān)系,可被看作在波長(zhǎng)λ相對(duì)波長(zhǎng)λmax在R點(diǎn)產(chǎn)生的相位差。

消色差超透鏡設(shè)計(jì)的目的即尋找最佳結(jié)構(gòu)參數(shù),使其在寬波段約束下,能夠提供最接近φ(R)的調(diào)制特性。因此,相位分布φl(shuí)ens(R,λ)需要根據(jù)波長(zhǎng)修正,使Δφ(R,λ)在各波長(zhǎng)下都為0或常數(shù),進(jìn)而使其焦點(diǎn)位置調(diào)整。

恒定相位差Δφ(R,λ)可以通過(guò)設(shè)計(jì)每個(gè)單元結(jié)構(gòu)的傳輸響應(yīng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。由于微納結(jié)構(gòu)對(duì)波長(zhǎng)的敏感性,因此引入一個(gè)額外的優(yōu)化因子C(λ),通過(guò)對(duì)特定波長(zhǎng)的相位補(bǔ)償,實(shí)現(xiàn)Δφ(R,λ)定值化。消色差超透鏡的相位分布改寫為下式:

φl(shuí)ens(R,λ)=φ(R,λmax)+Δφ(R,λ)+C(λ)

(3)

由于構(gòu)建超透鏡所需要的理想相位φ(R)是根據(jù)目標(biāo)超透鏡的參數(shù)直接計(jì)算出來(lái)的,而實(shí)際相位由微納單元結(jié)構(gòu)對(duì)光波的調(diào)制所提供。因此,需研究單元結(jié)構(gòu)的調(diào)制特性,構(gòu)建調(diào)制特性數(shù)據(jù)集,從中篩選符合調(diào)制要求的單元結(jié)構(gòu)。

3 微單元結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性數(shù)據(jù)庫(kù)構(gòu)建

由于柱形結(jié)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、光學(xué)性能優(yōu)異(可以實(shí)現(xiàn)超廣角、低畸變、高分辨率的光學(xué)成像)、體積小巧、易于模塊化等優(yōu)點(diǎn),因此本文選取的納米結(jié)構(gòu)的形狀為柱形結(jié)構(gòu)。首先,選擇如圖1所示的微結(jié)構(gòu)作為消色差超透鏡的基本單元,該結(jié)構(gòu)由二氧化硅基底和硅納米柱兩部分構(gòu)成。超透鏡的局部相位調(diào)控功能由微單元的材料及結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。在材料選定的情況下,調(diào)整硅納米柱形狀,考察其調(diào)制特性。

圖1 消色差超透鏡的單元結(jié)構(gòu)

用于聚焦成像的超透鏡單元應(yīng)當(dāng)滿足0～2 π的相位調(diào)制深度覆蓋,需要對(duì)單元結(jié)構(gòu)的初始參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的設(shè)置。已有研究表明,固定硅納米柱直徑情況下,相位調(diào)制深度隨單元柱高度的增高而變大[2]。因此,本文采用固定單元結(jié)構(gòu)高度,改變單元結(jié)構(gòu)直徑的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)相位調(diào)制。在數(shù)值仿真軟件FDTD中搭建如圖1所示的單元結(jié)構(gòu),并設(shè)置仿真區(qū)域及虛擬監(jiān)視器。受制造工藝限制,設(shè)置單元結(jié)構(gòu)高度為0.6 μm定值。由于目前超透鏡制造的最小可實(shí)現(xiàn)寬度限制為0.08 μm,同時(shí)為保障聚焦效率,最大實(shí)現(xiàn)寬度一般設(shè)置為相鄰單元中心至中心的距離,故納米柱半徑r的設(shè)置范圍為(0.04 μm,0.2 μm)。

之后,調(diào)整硅納米柱形狀,考察其在不同波長(zhǎng)下的調(diào)制特性。以硅納米柱最小半徑rmin=0.04 μm起始,逐步增大,增大步長(zhǎng)Δr=0.0008 μm,直至最大半徑rmax=0.2 μm為止。選擇工作波段(λmin,λmax)=(1000 nm,1250 nm)上的6個(gè)特征波長(zhǎng)(λ0=1000 nm,λ1=1050 nm,λ2=1100 nm,λ3=1150 nm,λ4=1200 nm,λ5=1250 nm),考察不同半徑微納結(jié)構(gòu)對(duì)每個(gè)特征波長(zhǎng)的調(diào)制特性,記錄FDTD計(jì)算所得此半徑單元結(jié)構(gòu)對(duì)此波長(zhǎng)入射光產(chǎn)生的相位延遲。最后將所得到的6個(gè)波長(zhǎng)的半徑與相位一一對(duì)應(yīng)構(gòu)建實(shí)際離散相位數(shù)據(jù)集合φ[r,λ],其中r為微納單元結(jié)構(gòu)半徑,λ為特征波長(zhǎng)。

相位延遲數(shù)據(jù)集φ[r,λ]如圖2所示,可以看出6個(gè)波長(zhǎng)的相位覆蓋都在[0,2π]之間。

圖2 各波長(zhǎng)下微納結(jié)構(gòu)調(diào)制特性曲線圖

4 PSO_GA算法尋找最優(yōu)解

超透鏡設(shè)計(jì)的目的是使單元結(jié)構(gòu)對(duì)每個(gè)波長(zhǎng)所給出的實(shí)際相位波面與理想相位分布之間的差異最小,如式(4),即使各位置R上的相位誤差函數(shù)ε最小:

(4)

超透鏡設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為求解C(λ)使上式取得極小值的數(shù)學(xué)問(wèn)題。本文利用粒子群優(yōu)化算法加上遺傳算法(PSO_GA)搜索最優(yōu)C(λ)。PSO_GA是以粒子群優(yōu)化算法作為基本框架,在其中加入了遺傳算法的交叉、變異操作,用于對(duì)種群進(jìn)行更新。該算法是通過(guò)對(duì)主循環(huán)不斷的迭代得到適應(yīng)度最小所對(duì)應(yīng)的最佳種群。其中交叉算子的引入可以提升算法的全局搜索性能,有效避免單一粒子群算法搜索陷入局部最優(yōu)值的缺陷。因此組合后的 PSO-GA 混行算法的優(yōu)化性能可以得到很大的提升[20]。本文設(shè)計(jì)的是數(shù)值孔徑為NA=0.5、焦距f=20 μm 的寬帶消色差超透鏡。利用PSO_GA算法得到最優(yōu)C(λ)具體流程如下:

(5)

Step3:對(duì)更新后的種群C′進(jìn)行交叉、變異操作,具體過(guò)程為:

(6)

(7)

其中,下標(biāo)p表示隨機(jī)挑選某一行向量。

利用PSO_GA算法得到最佳的6個(gè)C(λ)列于表1。

表1 各個(gè)波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)的優(yōu)化因子C(λ)

同時(shí),考察本文提出的PSO_GA算法和傳統(tǒng)PSO算法的性能,結(jié)果如圖3所示。

圖3 PSO以及PSO_GA尋找最優(yōu)C(λ)的性能對(duì)比圖

其中,圖3(a)繪制了兩種算法優(yōu)化下,適應(yīng)度值的下降曲線?？梢钥闯?要使適應(yīng)度趨于穩(wěn)定,PSO_GA算法所需的迭代次數(shù)要小于PSO算法,這表明PSO_GA算法的收斂性更好。圖3(b)則是10次蒙特-卡羅實(shí)驗(yàn)結(jié)果,兩種算法分別運(yùn)行得到最優(yōu)解,計(jì)算第1次的最優(yōu)解與之后每次的最優(yōu)解的相關(guān)度,并畫出折線圖。通過(guò)比較可以看出:PSO_GA算法每次運(yùn)行結(jié)果的相關(guān)度起伏較小(實(shí)線型),而PSO算法每次運(yùn)行結(jié)果的相關(guān)度起伏劇烈(虛線型),這表明PSO_GA算法的穩(wěn)定性更好。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

5.1 根據(jù)得到的最佳C(λ)利用FDTD構(gòu)建超透鏡

首先將得到的各個(gè)波長(zhǎng)最優(yōu)C(λ)帶入式(3)得到超透鏡中每個(gè)位置對(duì)應(yīng)的最佳相位φl(shuí)ens(R,λ)。

其次,讓超透鏡每個(gè)位置的最佳相位φl(shuí)ens(R,λ)分別與相位數(shù)據(jù)庫(kù)φ[r,λ]中的值做差,從相位數(shù)據(jù)庫(kù)φ[r,λ]中找到與各個(gè)位置最佳相位φl(shuí)ens(R,λ)最接近的那個(gè)相位值,其中二者之間的最大誤差為構(gòu)建相位數(shù)據(jù)庫(kù)時(shí)單元結(jié)構(gòu)納米柱半徑增大步長(zhǎng)的一半,即Δr/2=0.0004 μm。根據(jù)φ[r,λ]中相位與單元結(jié)構(gòu)半徑的對(duì)應(yīng)關(guān)系,找到每個(gè)位置最優(yōu)的單元結(jié)構(gòu)。

最后根據(jù)選擇好的單元結(jié)構(gòu)使用數(shù)值仿真軟件FDTD構(gòu)建超透鏡,本文構(gòu)建的是直徑為23.3 μm的圓形超透鏡,其中超透鏡的每條直徑上分布著40個(gè)微單元結(jié)構(gòu),構(gòu)建結(jié)果如圖4所示。

圖4 微單元陣列構(gòu)建的超透鏡

5.2 驗(yàn)證超透鏡是否滿足消色差需求

超透鏡構(gòu)建完成之后,在數(shù)值仿真軟件FDTD中分別使用波長(zhǎng)為1000 nm,1050 nm,1100 nm,1150 nm,1200 nm,1250 nm的平面波照射超透鏡,計(jì)算獲得焦平面處的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)度分布,如圖5所示。其中,超透鏡位于z=0處,圖5(b)是每個(gè)波長(zhǎng)下,x-z平面內(nèi)的光場(chǎng)強(qiáng)度分布圖,可以看出每個(gè)波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的焦距都在20 μm附近;圖5(a)是每個(gè)波長(zhǎng)下,z=20 μm 距離處x-y平面的光場(chǎng)分布圖,可以看出λ=(1000～1150 nm)的愛(ài)里斑能量都比較集中,聚焦效果較好,而隨著波長(zhǎng)的增大,即λ=(1200～1250 nm)的愛(ài)里斑彌散,表明出現(xiàn)色差。

圖5 不同波長(zhǎng)通過(guò)超透鏡后的平面光場(chǎng)分布圖

5.3 定量的評(píng)估與對(duì)比

為定量評(píng)估寬帶消色差透鏡的聚焦性能,分別計(jì)算特征波長(zhǎng)的衍射極限,并搜索圖4(b)中的愛(ài)里斑的半峰寬度(FWHM),列于表2。通過(guò)比較可以看出,二者具有較好的一致性,說(shuō)明聚焦效果良好。

表2 理論衍射極限與優(yōu)化設(shè)計(jì)所得超透鏡愛(ài)里斑直徑比較

另外,表2還列出了利用PSO算法得到的FWHM。通過(guò)計(jì)算得出利用PSO算法得到的FWHM與衍射極限的最大誤差errmax1=0.581,利用PSO_GA算法得到的FWHM與衍射極限的最大誤差errmax2=0.259。通過(guò)比較可以看出利用PSO_GA算法得到的FWHM與衍射極限的最大誤差較小,說(shuō)明利用PSO_GA算法得到超透鏡聚焦效果更好。

6 總 結(jié)

本文設(shè)計(jì)了以二氧化硅為基底的硅納米柱單元結(jié)構(gòu),首先通過(guò)改變其半徑來(lái)獲取不同半徑對(duì)應(yīng)的不同相位構(gòu)建相位數(shù)據(jù)庫(kù),然后通過(guò)PSO_GA算法找到每個(gè)波長(zhǎng)最優(yōu)的C(λ),并根據(jù)C(λ)從相位數(shù)據(jù)庫(kù)中找到超透鏡每個(gè)位置最佳的單元結(jié)構(gòu),最后在FDTD上構(gòu)建超透鏡,此透鏡對(duì)1000～1250 nm波長(zhǎng)范圍光波聚焦效果,最大焦深差<3 μm,最大焦斑半徑差<1 μm,說(shuō)明具有良好的聚焦效果。本文所使用的PSO_GA算法相對(duì)于傳統(tǒng)的PSO算法具有更快的收斂速度以及更高的穩(wěn)定性,另外利用PSO_GA算法構(gòu)建的超透鏡相較于利用PSO算法構(gòu)建的超透鏡在聚焦效果以及光斑質(zhì)量上也具有明顯的改善。