汪 寒,肖 習(xí),郭友明,黃林海,鮮 浩

(中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所 自適應(yīng)光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610209)

0 引言

主動(dòng)光學(xué)變形鏡與拼接鏡在現(xiàn)代天文望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中具有關(guān)鍵作用,而驅(qū)動(dòng)器的定位精度直接決定了對鏡面面形以及運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的控制性能。壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器(PEA)是一種廣泛應(yīng)用于高精度位移促動(dòng)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)器,但其遲滯非線性特性降低了其定位精度,使其實(shí)際應(yīng)用受限。

目前國內(nèi)外學(xué)者對于壓電陶瓷的遲滯特性建模及控制補(bǔ)償做了大量研究。Gu等[1]通過引入自適應(yīng)控制來估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)。Tang等[2]設(shè)計(jì)了擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器并將其用作非線性PID控制器的擾動(dòng)觀測器。然而,由于相位滯后問題,經(jīng)典PID控制器和線性控制器都難以實(shí)現(xiàn)精確跟蹤控制[3]。由于遲滯非線性的復(fù)雜特性,前饋控制技術(shù)成為處理該非線性的常用方法。Liu等[4]提出了基于P-I速率相關(guān)模型復(fù)合控制補(bǔ)償算法,在基于壓電式快速反射鏡的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上將動(dòng)態(tài)目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)的誤差抑制帶寬提高了26 Hz。Han等[5]采用了一種分段式P-I模型,將建模誤差率控制在0.7%內(nèi),并利用帶有前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制方法,將壓電陶瓷的控制精度提高了73.76%。Wang等[6]利用改進(jìn)的Maxwell-slip模型引入自適應(yīng)控制,將壓電微定位平臺(tái)的均方根誤差(RMSE)降到0.012 4 μm內(nèi)。Xiong等[7]設(shè)計(jì)了一種基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前饋補(bǔ)償系統(tǒng),將壓電陶瓷位移誤差從8.91 μm降低至80 nm。Stakvik等[8]采用210個(gè)遲滯算子對遲滯動(dòng)態(tài)進(jìn)行建模,由遲滯曲線可觀察到明顯的階梯與鋸齒,模型精度受限。Liu等[9]在實(shí)驗(yàn)中取離散度(L)為50的Preisach模型,對1 275個(gè)遲滯算子進(jìn)行了辨識(shí),通過多動(dòng)態(tài)級聯(lián)辨識(shí)后逆模型前饋將誤差控制在3%內(nèi)。Li等[10]采用19 900個(gè)遲滯算子建立Preisach模型,模型誤差控制在0.6%內(nèi)。雖然模型辨識(shí)與補(bǔ)償方法的研究很多,但如何提升辨識(shí)的計(jì)算效率研究較少。辨識(shí)算法的高復(fù)雜度嚴(yán)重限制了模型算子數(shù)量的增加、相關(guān)方法在驅(qū)動(dòng)器數(shù)量多(如變形鏡平臺(tái)),以及算力低(如空基平臺(tái))等情況下的應(yīng)用。

基于上述原因,本文采用了一種基于先驗(yàn)信息的Preisach模型辨識(shí)信號(hào)設(shè)計(jì),優(yōu)化了Preisach模型的辨識(shí)算法,降低了其運(yùn)算復(fù)雜度,實(shí)現(xiàn)了壓電變形鏡驅(qū)動(dòng)器遲滯的準(zhǔn)確參數(shù)辨識(shí)及建模。根據(jù)建模結(jié)果設(shè)計(jì)了基于逆Preisach模型的前饋控制器。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明,這種方法適合快速構(gòu)建壓電陶瓷非線性遲滯的前饋補(bǔ)償控制器,以提升其定位性能。

1 遲滯辨識(shí)建模與前饋控制器設(shè)計(jì)

1.1 Preisach模型

1935年,F. Preisach提出的Preisach模型廣泛應(yīng)用于描述遲滯現(xiàn)象。Preisach模型可表示為

f(t)=?α≥βμ(α,β)γαβ[u(t)]dαdβ

(1)

式中:α≥β為Preisach平面所在的限制范圍;f(t)為遲滯模型的輸出;μ(α,β),γαβ分別為Preisach遲滯的參數(shù)分布與Preisach平面上在(α,β)處的遲滯子輸出。根據(jù)輸入信號(hào)的大小,單個(gè)遲滯算子具有兩個(gè)狀態(tài),分別輸出為0或1,如圖1所示,α為其從狀態(tài)0到狀態(tài)1的上升閾值電壓,而β為其從狀態(tài)1到狀態(tài)0的下降閾值電壓。

圖1 單個(gè)Preisach遲滯算子示意圖

單遲滯算子的未加權(quán)輸出為

(2)

實(shí)際應(yīng)用中常采用Preisach模型的離散形式:

(3)

1.2 傳統(tǒng)辨識(shí)算法

對于遲滯動(dòng)態(tài)的辨識(shí),可采用基于奇異值分解計(jì)算的最小二乘法對Preisach遲滯模型參數(shù)分布進(jìn)行辨識(shí),步驟[9]如下:

在輸入與輸出信號(hào)的數(shù)據(jù)集充分時(shí),可將Preisach方程化為矩陣形式:

v(k)=AkX

(4)

Ak=[γ11[u(k)],γ21[u(k)],…,γLL[u(k)]]XT

(5)

X=[μ11s11,μ21s21,…,μLLsLL]

(6)

當(dāng)輸入的辨識(shí)信號(hào)矩陣滿足PE條件(Persistent Excitation condition)后,有矩陣ATA滿秩,可對ATA做奇異值分解,進(jìn)而求出A的Moore-Penrose偽逆A+,有

ATA=QΣT

(7)

A+=TΣ-1QTAT

(8)

A=[Ak1,Ak2,…,Akn]T

(9)

(10)

式中V為位移傳感器得到的信號(hào)采樣點(diǎn)集合,且:

V=[v(k1),v(k2),…,v(kn)]T

(11)

1.3 辨識(shí)算法改進(jìn)

在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上,本文采用一種基于先驗(yàn)的Preisach模型辨識(shí)信號(hào)設(shè)計(jì)方法,從而優(yōu)化了辨識(shí)算法,并大幅降低了算法的運(yùn)算時(shí)間。

該方法由先驗(yàn)設(shè)計(jì)的采樣規(guī)則與基于求解單遲滯算子輸出的參數(shù)求解算法兩部分組成。首先給出了一種先驗(yàn)設(shè)計(jì)的辨識(shí)信號(hào)形式,由辨識(shí)信號(hào)輸入可以得到對應(yīng)的輸出采樣集,然后采用求解單遲滯算子輸出的計(jì)算方法,可以有效且快速地計(jì)算出待辨識(shí)參數(shù)分布矩陣。

如圖2所示,使用幅值變化的鋸齒形三角波輸入信號(hào)作為輸入辨識(shí)信號(hào),實(shí)現(xiàn)了在時(shí)域上更小的采樣數(shù)。具有總周期長度為T的信號(hào)有L個(gè)子周期。與傳統(tǒng)的辨識(shí)輸入信號(hào)不同,采樣點(diǎn)集的選取是由幅值而不是由固定采樣間隔生成,以圖中采樣點(diǎn)v4、v5、v6為例,其對應(yīng)輸入信號(hào)上的電壓為u4、u5、u6。在設(shè)計(jì)輸入辨識(shí)信號(hào)時(shí),根據(jù)幅值可以反向求得信號(hào)對應(yīng)的時(shí)刻k1、k2、k3,從而在輸出信號(hào)上找到對應(yīng)的采樣點(diǎn)v4、v5、v6用于辨識(shí)。

圖2 辨識(shí)方法示意圖

在得到輸入采樣集U與輸出采樣集V后,按照一定規(guī)則可將遲滯算子集H和輸入采樣集U重新排列在對稱的Preisach柵格上。理想情況下,N個(gè)遲滯算子的輸出可以通過N個(gè)輸入-輸出信號(hào)采樣點(diǎn)對計(jì)算求解,即滿足充分采樣的條件下,可通過求解存在的一個(gè)線性變換矩陣E獲得遲滯輸入和輸出的全部映射關(guān)系。此辨識(shí)問題也就可以轉(zhuǎn)化為在規(guī)模為N×1的輸入采樣點(diǎn)集向量和N×1的輸出采樣點(diǎn)集向量間求解N×N的方陣E。該方陣可通過矩陣求逆的方式求得,但是先驗(yàn)設(shè)計(jì)使得針對Preisach模型參數(shù)求解此情景下的特異性矩陣快速求逆計(jì)算成為可能。

遲滯算子的輸出可表示為

HT=[h11,h21,h22,…,hij]

(12)

式中hij代表在Preisach平面上坐標(biāo)為(i,j)的遲滯算子的輸出。

hij=μijsijγij[u(k)]δ

(13)

因此,根據(jù)Preisach模型的表述,k時(shí)刻遲滯動(dòng)態(tài)的模型位移輸出可表示為

(14)

式中:u(k)代表k時(shí)刻下模型的輸入電壓;PA代表γij[u(k)]=1的遲滯算子的對應(yīng)閾值集合。位移輸出采樣點(diǎn)集V為

(15)

式中E為對Preisach平面上所有遲滯算子所做的線性變換。式(15)可表示為

(16)

Preisach模型遲滯算子的待求輸出值由式(16)求解,而矩陣E-1的求解是整個(gè)問題的關(guān)鍵,對整個(gè)辨識(shí)過程求解復(fù)雜度起決定性作用。結(jié)合圖3,給出其基于映射圖關(guān)系的快速求解步驟:

圖3 遲滯算子的映射圖解示意

重排列:將辨識(shí)信號(hào)的采樣點(diǎn)重排列至對稱的Preisach柵格上,同一輸入幅值對應(yīng)的采樣點(diǎn)在每列從下到上依次排列。

連接:用箭頭進(jìn)行標(biāo)注,左平面從每列自下而上連接,同時(shí)每列的第一行都連接到該行上列的點(diǎn)。右平面從第三行開始,每行都從遲滯算子h1x向該行前方延伸箭頭至h(x-1)x。

計(jì)算:右平面上遲滯算子的輸出值等于對應(yīng)輸出采樣點(diǎn)的值減去其箭頭來源的上一個(gè)采樣的值。如h22=v2-v3,h55=v11-v12。

附加規(guī)則:當(dāng)計(jì)算箭頭指向的遲滯算子輸出值時(shí),需要在求解結(jié)果中減去其他前方所有該行箭頭來源的遲滯算子輸出,如h25=v14-v9-h15,h45=v12-v7-h35-h25-h15。

對于上述過程,算法流程框圖如圖4所示。

圖4 方法的算法流程框圖

圖5 前饋控制器設(shè)計(jì)流程

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)示意圖

圖7 傳感器位移輸出

(17)

式(17)轉(zhuǎn)換為矩陣形式可表示為

(18)

通過所述方法可將大規(guī)模非方陣的Moore-Penrose逆求解簡化為通過特異性基礎(chǔ)運(yùn)算的快速矩陣求逆,而后者的運(yùn)算復(fù)雜度遠(yuǎn)比現(xiàn)有的方陣求逆方法更低,可在極短時(shí)間內(nèi)通過少量辨識(shí)信號(hào)采樣實(shí)現(xiàn)遲滯模型的構(gòu)建,這對于低功耗、低算力的空間能動(dòng)平臺(tái),以及多驅(qū)動(dòng)器場景下的前饋控制器遲滯模型辨識(shí)與校正有著重要的應(yīng)用價(jià)值。

1.4 逆Preisach模型前饋控制

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖 6為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)示意圖。位移傳感器采用attocube IDS-3010。變形鏡平臺(tái)共42個(gè)驅(qū)動(dòng)器,其面形由鏡面背后的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器加力后發(fā)生改變。實(shí)驗(yàn)中選擇進(jìn)行測試的驅(qū)動(dòng)器輸入電壓的區(qū)間為[0,500]V,電壓放大器為PI E-481,放大倍率為100,輸出電壓范圍為-1 150～1 150 V,采集卡為阿爾泰科技USB2872A-D。

本實(shí)驗(yàn)采用的辨識(shí)信號(hào)具有50個(gè)子周期,信號(hào)持續(xù)時(shí)間為100 s,每個(gè)子周期為2 s,電壓信號(hào)加載至第27號(hào)驅(qū)動(dòng)器傳感器,得到的位移輸出如圖 7所示,原始信號(hào)采樣率為500 kHz。針對低信噪比帶來的辨識(shí)誤差增加,實(shí)驗(yàn)中每個(gè)采樣點(diǎn)都會(huì)在該電壓下維持一段時(shí)間,直到下一個(gè)采樣,但整體信號(hào)形式仍然保持為幅值變化的鋸齒三角波。

即使整體信號(hào)信噪比較低,采集的輸出信號(hào)中真實(shí)的輸出值被埋沒在噪聲中,但從信號(hào)局部看,在信號(hào)采樣率設(shè)置較高的情況下可通過求取局部均值作為壓電陶瓷的輸出真值,從而得到目標(biāo)采樣點(diǎn)。

求取采樣點(diǎn)后,通過前述辨識(shí)算法可得到Preisach模型的參數(shù)分布,同時(shí)根據(jù)Matlab內(nèi)置計(jì)時(shí)工具對42個(gè)驅(qū)動(dòng)器所需的算法運(yùn)行總時(shí)間進(jìn)行記錄,算法運(yùn)行處理機(jī)硬件為Intel Core i9-10900K 3.70 GHz CPU,結(jié)果如圖 8所示。

由圖8可見,對于42單元的變形鏡驅(qū)動(dòng)器遲滯辨識(shí),采用1 275個(gè)遲滯算子的Preisach模型,所用方法成功將辨識(shí)時(shí)間從10 s量級降低到0.1 s量級。對于采用更多遲滯算子的高精度模型,傳統(tǒng)方法消耗的計(jì)算資源呈指數(shù)增加,而本文方法則始終較好地將時(shí)間控制在1 s以內(nèi)。同時(shí),對參數(shù)辨識(shí)得到的Preisach模型和實(shí)際測得的壓電陶瓷遲滯在4 Hz正弦波輸入下的遲滯環(huán)進(jìn)行了對比,結(jié)果如圖9所示。

圖8 模型辨識(shí)結(jié)果

圖9 遲滯建模與實(shí)測結(jié)果對比

圖10 前饋補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由圖 9可見,模型辨識(shí)的結(jié)果較準(zhǔn)確,模型辨識(shí)相對誤差為1.886 7%。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行遲滯前饋補(bǔ)償實(shí)驗(yàn),在4 Hz頻率正弦波控制輸入下,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖 10所示,前饋控制相對誤差為4.103%,對比開環(huán)遲滯誤差(9.370 5%),遲滯效應(yīng)降低了約56.21%,將鏡面位移誤差控制在0.03 mm內(nèi)。

3 結(jié)束語

本文開展了針對帶鏡面負(fù)載下的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器高速遲滯辨識(shí)與補(bǔ)償?shù)膯栴}研究,對驅(qū)動(dòng)器的非線性遲滯模型進(jìn)行了參數(shù)辨識(shí),并根據(jù)模型所得逆模型進(jìn)行了前饋控制器的開發(fā)。通過所提方法進(jìn)行高速參數(shù)辨識(shí)得到的遲滯模型相對誤差為1.886 7%,同樣模型算子數(shù)量的情況下算法運(yùn)行時(shí)間降低了90%以上,前饋控制相對誤差為4.103%,使系統(tǒng)遲滯降低約56.21%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方案能夠在降低辨識(shí)算法運(yùn)算時(shí)間的情況下有效地提高系統(tǒng)的控制精度,這對多驅(qū)動(dòng)器數(shù)量及低功耗算力場景下,壓電陶瓷位移促動(dòng)平臺(tái)的高速非線性遲滯模型辨識(shí)及前饋控制器構(gòu)建具有一定的指導(dǎo)意義。