華蕓嘉

豎著切蛋糕時(shí)，我們都有這樣的經(jīng)歷，切1刀可以把蛋糕分成2塊，切2刀最多可以分成4塊，切3刀最多可以分成7塊……

我繼續(xù)研究，發(fā)現(xiàn)切4刀最多可以分成11塊，切5刀最多可以分成16塊，不切的時(shí)候是一整塊，我觀察數(shù)1、2、4、7、11、16，發(fā)現(xiàn)它們之間的差依次為1、2、3、4、5，猜想規(guī)律：切n（n≥1）刀最多分成［（1+2+3+4+…+n）+1］塊。

帶著這個(gè)猜想，我又研究起來：如果一個(gè)圓上有n（n≥1）個(gè)點(diǎn)，每兩個(gè)點(diǎn)相連，這n個(gè)點(diǎn)之間的所有連線最多可以將圓分成多少部分呢？

通過動手畫圖（圖1—圖5），我發(fā)現(xiàn)：

如果圓上有1個(gè)點(diǎn)，最多把圓分成1份；如果圓上有2個(gè)點(diǎn)，最多把圓分成2份；如果圓上有3個(gè)點(diǎn)，最多把圓分成4份；如果圓上有4個(gè)點(diǎn)，最多把圓分成8份；如果圓上有5個(gè)點(diǎn)，最多把圓分成16份。

按照我猜想的規(guī)律，若圓上有6個(gè)點(diǎn)，最多可以把圓分成32份。但是，我畫圖一數(shù)，怎么只有31份？若圓上有7個(gè)點(diǎn)，我數(shù)了數(shù)，居然是57份？我數(shù)錯(cuò)了？還是規(guī)律不對？真正的規(guī)律是什么？

我又思考了起來。從數(shù)的角度看，我仔細(xì)觀察了這些數(shù)據(jù)1、2、4、8、16、31、57。首先，我觀察這些數(shù)的基本特征，1、2、4、8、16有很明顯的倍數(shù)關(guān)系，但是之后的31、57沒有這樣的關(guān)系，因此，排除了這些數(shù)是倍數(shù)關(guān)系。再看這些數(shù)的遞增趨勢，變化得較為明顯，但是也不算增長太多。因此，我又觀察它們之間的差。

第一次作差時(shí)，我得到一串?dāng)?shù)據(jù)1、2、4、8、15、26，初看沒有明顯的規(guī)律。因此，我對這些新數(shù)據(jù)進(jìn)行第二次作差，得到1、2、4、7、11，依然沒有規(guī)律。當(dāng)?shù)谌巫鞑詈?，我得?、2、3、4，如圖6。這次終于有了重大發(fā)現(xiàn)，它暗藏的規(guī)律浮出水面了。

然后，我再從最后一行逐行倒推：5，5+11=16，16+26=42，42+57=99，如圖7。

通過畫圖，我發(fā)現(xiàn)圓上有8個(gè)點(diǎn)時(shí)，確實(shí)最多能把圓分成99份。

從形的角度來看，圓被分割成幾份的問題，可以轉(zhuǎn)化成圓上的點(diǎn)數(shù)、點(diǎn)連成的線段數(shù)量和份數(shù)之間的關(guān)系。那我為何不從線段的條數(shù)入手呢？

如果一個(gè)圓中沒有線段，就是1份。如果有1條線段的話，就會被分成2份。如果有2條線段：這2條線不相交，就分成3份；相交，就分成4份。圓內(nèi)交點(diǎn)的數(shù)量怎么確定呢？眾所周知，兩點(diǎn)確定一條直線，一個(gè)交點(diǎn)需要兩條線，所以圓邊上任意4個(gè)點(diǎn)之間的連線會出現(xiàn)一個(gè)交點(diǎn)。以此類推，我總結(jié)出如下規(guī)律，如表1，并猜想：份數(shù)=1+線段的數(shù)量+圓內(nèi)交點(diǎn)數(shù)量。

那么，當(dāng)圓上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，每個(gè)點(diǎn)連接（n-1）條線，所以線段的數(shù)量為n（n-1）。因?yàn)橐粭l線段的兩個(gè)端點(diǎn)都算了一遍，所以還要除以2，也就是說線段的數(shù)量為[n（n-1）2]；4個(gè)點(diǎn)確定1個(gè)圓內(nèi)交點(diǎn)，在n個(gè)點(diǎn)中選4個(gè)點(diǎn)，第一個(gè)點(diǎn)有n個(gè)可能，第二個(gè)點(diǎn)有（n-1）個(gè)可能，第三個(gè)點(diǎn)有（n-2）個(gè)可能，第四個(gè)點(diǎn)有（n-3）個(gè)可能，所以總共有n（n-1）（n-2）（n-3）個(gè)圓內(nèi)交點(diǎn)。但是這里面會有重復(fù)的情況。比如用1、2、3、4這4個(gè)數(shù)字任意組合，可以組合成24個(gè)四位數(shù)，在n個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)點(diǎn)，在產(chǎn)生交點(diǎn)的過程中，重復(fù)數(shù)了24次，所以要再除以24。故圓內(nèi)交點(diǎn)的數(shù)量就為[n（n-1）（n-2）（n-3）24]。所以，在圓上取n個(gè)點(diǎn)時(shí)，所有點(diǎn)之間的連線最多可以把圓分成1+[n（n-1）2]+[n（n-1）（n-2）（n-3）24]份，我的猜想得到了驗(yàn)證。

小伙伴們，我們都切過蛋糕，在這個(gè)看似很平常的操作背后，你有沒有發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在里面的玄機(jī)？我想，只要我們平時(shí)留心觀察，深入思考，就一定能感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力。

教師點(diǎn)評

都說數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。生活中的切蛋糕現(xiàn)象引發(fā)了小作者的思考，從而把生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)維度對這個(gè)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了深度探究與思考。其思考的深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了一個(gè)七年級學(xué)生該有的水平。是什么讓他如此執(zhí)著地思考呢？相信這源于數(shù)學(xué)無窮的魅力，也源于他對數(shù)學(xué)的興趣與熱愛，更源于他善于用數(shù)學(xué)的眼光來觀察世界。羅丹說：“生活中從不缺少美，只是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛?！?希望同學(xué)們都能擁有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的眼睛，去探索更多的數(shù)學(xué)奧妙。

（指導(dǎo)教師：章薇薇）