王馨悅　李玉峰

［摘 要］文章以“小數(shù)加減法”教學(xué)實(shí)踐為例，聚焦計(jì)數(shù)單位，探究建構(gòu)運(yùn)算一致性的教學(xué)策略，以期新課標(biāo)背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)教師在具體的教學(xué)中幫助學(xué)生建立整數(shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)運(yùn)算和小數(shù)運(yùn)算三者之間的聯(lián)系，使學(xué)生深刻理解運(yùn)算的本質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］小數(shù)加減法；計(jì)數(shù)單位；運(yùn)算一致性

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）02-0062-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中明確提出“感悟數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。這一要求旨在讓教師將教材中碎片化知識(shí)整合起來(lái)，建立整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)在加、減、乘、除運(yùn)算中的聯(lián)系，從而增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的理解，并體會(huì)數(shù)的運(yùn)算一致性。因此，教師在教學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)容時(shí)，應(yīng)當(dāng)追本溯源，講明算理，體現(xiàn)運(yùn)算本質(zhì)的一致性。本文以“小數(shù)加減法”一課為例，嘗試分析在教學(xué)中如何聚焦計(jì)數(shù)單位，建構(gòu)運(yùn)算一致性。

一、數(shù)的運(yùn)算一致性的內(nèi)涵

史寧中教授提出：“計(jì)數(shù)單位是一種特殊的計(jì)量單位，是個(gè)數(shù)和順序的計(jì)量單位，把它作為數(shù)學(xué)化（一致性）的抓手?！币虼?，數(shù)的認(rèn)識(shí)都是基于“多少個(gè)計(jì)數(shù)單位”的表達(dá)，數(shù)的運(yùn)算也都是基于計(jì)數(shù)單位展開(kāi)的，也就是說(shuō)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的四則運(yùn)算都是基于計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算。以加減運(yùn)算為例，雖然整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的加減法算法看起來(lái)有所不同，但實(shí)際上它們的運(yùn)算原理是相同的，如圖1所示。

鞏子坤等人通過(guò)分析構(gòu)建了一個(gè)關(guān)于數(shù)的概念和運(yùn)算一致性的框架，包括一個(gè)核心概念——計(jì)數(shù)單位，一些基本規(guī)律——運(yùn)算律和等式的基本性質(zhì)，以及一些基本運(yùn)算——計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算。因此，在教學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”時(shí)，教師應(yīng)著重關(guān)注“計(jì)數(shù)單位”這個(gè)核心概念，使學(xué)生能夠通過(guò)總結(jié)歸納算法的過(guò)程來(lái)理解運(yùn)算原理，并建立起整體運(yùn)算體系的結(jié)構(gòu)，從而體會(huì)到數(shù)的運(yùn)算一致性。

二、基于數(shù)的運(yùn)算一致性的課例分析

在具體的教學(xué)中，教師該如何利用計(jì)數(shù)單位幫助學(xué)生建立起整數(shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)運(yùn)算和小數(shù)運(yùn)算三者之間的聯(lián)系，從而體會(huì)數(shù)的運(yùn)算一致性呢？下面以“小數(shù)加減法”教學(xué)實(shí)踐為例進(jìn)行分析。

（一）深挖起點(diǎn)，感受運(yùn)算一致性

師：L市新開(kāi)了一家書(shū)店，讓我們一起去參觀一下。根據(jù)圖中提供的價(jià)格（如圖2），你能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生1：買(mǎi)一本兒童繪本和一本成語(yǔ)故事，一共多少錢(qián)？

生2：買(mǎi)一本兒童繪本和一幅L市地圖，一共多少錢(qián)？

生3：一本名人傳記比一本兒童繪本貴多少錢(qián)？

師：同學(xué)們提出了這么多有價(jià)值的問(wèn)題。請(qǐng)根據(jù)提出的問(wèn)題列出算式。

生4：2.14+7.36。

生5：2.14+1.3。

生6：14.2-2.14。

師：在前測(cè)中，我發(fā)現(xiàn)算對(duì)第一個(gè)算式“2.14+7.36”的同學(xué)最多。現(xiàn)在請(qǐng)一名做對(duì)的同學(xué)把豎式（如圖3）寫(xiě)到黑板上，并講一講自己的想法。

生7：計(jì)算整數(shù)加減法的時(shí)候相同的數(shù)位要對(duì)齊，所以我把相同數(shù)位對(duì)齊后，按照整數(shù)加減法的方法進(jìn)行計(jì)算，最后點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

師：看來(lái)相同位數(shù)的小數(shù)加減法難不倒大家。對(duì)于第二個(gè)算式，同學(xué)們出錯(cuò)率較高，我們來(lái)看一看他們是怎么做的。（出示圖4）

生8：①是把2.14的“1”和1.3的“3”對(duì)齊了。

生9：②是把“3”和“4”對(duì)齊了。

生10：③是把“3”寫(xiě)在了十分位和百分位之間。

師：看來(lái)很多同學(xué)都在糾結(jié)“3”到底是在十分位上還是百分位上，那“3”到底該和誰(shuí)對(duì)齊呢？我們一起來(lái)探究一下。

奧蘇伯爾認(rèn)為，有意義的學(xué)習(xí)都是建立在原有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上的。因此，在教學(xué)前，教師應(yīng)確定好教學(xué)起點(diǎn)，并積極探尋學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中能同化新知識(shí)的固著點(diǎn)。在教學(xué)中，教師應(yīng)以相同位數(shù)的加法作為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)加減法的計(jì)算方法，明確算理，以便厘清新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。通過(guò)對(duì)學(xué)生進(jìn)行小數(shù)加減法運(yùn)算的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中存在兩個(gè)問(wèn)題：一是有的學(xué)生在計(jì)算時(shí)數(shù)位對(duì)齊方法有誤；二是有的學(xué)生只知道小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的算法，而不知道背后的算理?？梢?jiàn)學(xué)生在一定程度上受到了整數(shù)加減法的影響。

（二）理解算理，感知運(yùn)算一致性

出示學(xué)習(xí)任務(wù)（如圖5）：

方法一：先轉(zhuǎn)化為元、角、分，再相加（如圖6）。

生1：我采取了給小數(shù)加“元、角、分”的方法，2.14表示2元1角4分，1.3表示1元3角，合起來(lái)就是3元4角4分，用小數(shù)表示就是3.44元。我認(rèn)為“3”應(yīng)該和2.14中的“1”對(duì)齊。

師：為什么要這么列豎式？

生1：計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)才能相加。

方法二：用計(jì)數(shù)器（如圖7）。

生2：我先用計(jì)數(shù)器表示2.14，再表示1.3，得到了3.44，所以“3”應(yīng)該和2.14中的“1”對(duì)齊。

師：為什么要把十分位上的“3”和“1”相加？

生2：因?yàn)樗鼈兊挠?jì)數(shù)單位相同，都表示幾個(gè)0.1。

方法三：利用小數(shù)的意義。

生3：我用方格圖來(lái)表示數(shù)字，每個(gè)完整的正方形代表數(shù)字“1”。我將正方形平均分為10份，其中的1份表示0.1；將正方形平均分為100份，其中的1份表示0.01。我涂色表示2.14和1.3（如圖8）。從圖中可以看出，在2.14中，“1”表示1個(gè)0.1；在1.3中，“3”表示3個(gè)0.1。由于它們都表示幾個(gè)0.1，所以我認(rèn)為“3”應(yīng)該與2.14中的“1”對(duì)齊。

師：在計(jì)算小數(shù)加減法時(shí)，先把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，為的是相同數(shù)位對(duì)齊，再按照整數(shù)加減法的法則進(jìn)行計(jì)算，最后給得數(shù)加上小數(shù)點(diǎn)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：要通過(guò)豐富的教學(xué)方式，讓學(xué)生在實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、反思、合作、交流過(guò)程中感悟基本思想，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教師應(yīng)該將課堂交給學(xué)生，讓他們親身體驗(yàn)和探究算理，并引導(dǎo)他們使用多種方法來(lái)理解算理。上述三種探究方法基于計(jì)數(shù)單位的視角幫助學(xué)生有條理地體現(xiàn)出小數(shù)加減法運(yùn)算的算理。這種一致性的教學(xué)有助于學(xué)生理解運(yùn)算的本質(zhì)特征，即相同的計(jì)數(shù)單位相加減，使算理和算法得到有效內(nèi)化，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力和合作探究能力。

（三）梳理回顧，感悟運(yùn)算一致性

師：請(qǐng)用豎式計(jì)算 “34.9+19.59”。

生1（出示圖9）：先把34.9和19.59的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，然后按照整數(shù)的加法法則進(jìn)行計(jì)算，最后加上小數(shù)點(diǎn)，得到54.49。

師：如果去掉小數(shù)點(diǎn)，變成整數(shù)了，又該怎么對(duì)齊呢？

生2（出示圖10）：末位對(duì)齊。

師：末位對(duì)齊和小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊看似不同，實(shí)際上都是——

生3：相同數(shù)位對(duì)齊。

師：相同數(shù)位對(duì)齊，也就是為了——

生4：相同計(jì)數(shù)單位相加減。

師：為什么可以直接相加呀？

生6：因?yàn)樗鼈冇?jì)數(shù)單位是相同的。

師：請(qǐng)觀察整數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法和小數(shù)加減法，它們的算理有什么相同之處？

生7：都是相同計(jì)數(shù)單位相加減。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在第二學(xué)段的“教學(xué)提示”中指出，通過(guò)小數(shù)加減法運(yùn)算、同分母分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算，與整數(shù)運(yùn)算進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生初步了解運(yùn)算的一致性，培養(yǎng)運(yùn)算能力。教師可以通過(guò)比較整數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法和小數(shù)加減法的算法和算理，幫助學(xué)生遷移所學(xué)知識(shí)，并構(gòu)建數(shù)的運(yùn)算體系的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過(guò)核心概念“計(jì)數(shù)單位”，學(xué)生可以深刻體驗(yàn)數(shù)的運(yùn)算一致性，這為以后學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)的加減法打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，有助于發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

三、基于數(shù)的運(yùn)算一致性的教學(xué)策略

（一）梳理教材，挖掘運(yùn)算一致性

目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教材將加減運(yùn)算分為整數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法和小數(shù)加減法三個(gè)部分，這種螺旋上升的結(jié)構(gòu)由淺入深，層層遞進(jìn)，在一定程度上符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。然而，這種結(jié)構(gòu)容易使學(xué)生誤以為整數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法和小數(shù)加減法有各自獨(dú)立的算理和算法，導(dǎo)致數(shù)的運(yùn)算一致性被割裂。因此，根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，有必要對(duì)教材進(jìn)行縱向梳理，聚焦計(jì)數(shù)單位，深度挖掘教材知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

教師應(yīng)了解小數(shù)加減法在教材中的位置，將與之相關(guān)的知識(shí)整合在一起，例如整數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法，并探索三者在算法和算理上的關(guān)聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)性的知識(shí)體系。

（二）遷移構(gòu)建，通過(guò)整數(shù)類(lèi)比小數(shù)

趙莉、吳正憲和史寧中提出了一個(gè)很好的觀點(diǎn)，即可以用“整數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)“數(shù)與運(yùn)算”主題。學(xué)生對(duì)整數(shù)運(yùn)算熟悉，在教學(xué)相同位數(shù)的加減法時(shí)，可以引入整數(shù)加減法運(yùn)算，通過(guò)在前測(cè)中加入整數(shù)加減法和一位小數(shù)加減法的題目，喚起學(xué)生對(duì)整數(shù)加減法的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)——將末位對(duì)齊即將相同數(shù)位對(duì)齊，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突：小數(shù)加減法應(yīng)該如何對(duì)齊？通過(guò)探究算理，學(xué)生得出小數(shù)加減法的算法——先讓小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，再按照整數(shù)加減法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。這樣可以建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)有效的知識(shí)遷移，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和理解能力。

（三）基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)數(shù)的運(yùn)算一致性

《課程標(biāo)準(zhǔn)》首次引入了“計(jì)數(shù)單位”的概念，它是關(guān)于個(gè)數(shù)和順序的計(jì)量單位，也是數(shù)與運(yùn)算領(lǐng)域的核心概念。不論是整數(shù)加減法中的“末位對(duì)齊”、小數(shù)加減法中的“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，還是分?jǐn)?shù)加減法中的“先通分再加減”，本質(zhì)上都是“相同計(jì)數(shù)單位相加減”。同樣，乘除運(yùn)算也可以歸納為“計(jì)數(shù)單位”的概念。只有將“計(jì)數(shù)單位”作為抓手，才能揭示運(yùn)算的本質(zhì)。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該聚焦于“計(jì)數(shù)單位”這一核心概念，并以此為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)的運(yùn)算一致性。

（四）重視過(guò)程，推進(jìn)算理理解

在計(jì)算教學(xué)中，理解算理和掌握算法是兩個(gè)重要的任務(wù)。算法是指探究“怎么算”，而算理是指探究“為什么要這樣算”，這兩者同等重要。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)注重推進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，基于計(jì)數(shù)單位的視角，突破位數(shù)不同的小數(shù)加減法運(yùn)算的難點(diǎn)。只有理解了算理，學(xué)生才能真正感受到數(shù)學(xué)的邏輯，感受到數(shù)的運(yùn)算一致性。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出要注重整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)運(yùn)算的一致性，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力和推理意識(shí)的發(fā)展。為了落實(shí)這一要求，教師應(yīng)該對(duì)教材內(nèi)容和學(xué)情進(jìn)行整體分析，并在教學(xué)中以“計(jì)數(shù)單位”這個(gè)核心概念為抓手，把握數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)，建立知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生充分感悟數(shù)的運(yùn)算一致性，并從點(diǎn)狀認(rèn)知發(fā)展成結(jié)構(gòu)認(rèn)知，從而落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 史寧中.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂與核心素養(yǎng)[J].教育研究與評(píng)論，2022（5）：18-27.

[3] 鞏子坤，史寧中，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性[J].課程 · 教材 · 教法，2022（6）：45-51，56.

[4] 趙莉，吳正憲，史寧中.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算一致性的研究與實(shí)踐：以“數(shù)與運(yùn)算”總復(fù)習(xí)為例[J].課程 · 教材 · 教法，2022（8）：122-129.