劉煜飛,葉晴晴

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇 南京 210044)

1.引言

流模型研究了一類輸入輸出系統(tǒng),此類系統(tǒng)在許多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用,例如制造系統(tǒng)[1]、計(jì)算機(jī)通信系統(tǒng)[2]、視頻流量[3]等領(lǐng)域,作為具有離散單元的標(biāo)準(zhǔn)排隊(duì)系統(tǒng)的近似,流模型可為系統(tǒng)優(yōu)化提供參考.關(guān)于流模型的具體介紹和經(jīng)典參考文獻(xiàn)的綜述,可參閱文[4].

完全可靠的排隊(duì)系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中幾乎不存在,因此,具有故障或工作故障策略的排隊(duì)系統(tǒng)在過去幾十年里受到了相當(dāng)多的關(guān)注,對(duì)于具有故障策略的排隊(duì)系統(tǒng)研究可以追溯到文[5],對(duì)于具有部分故障策略的排隊(duì)系統(tǒng)研究可以追溯到Kalidass等文[6]及其參考文獻(xiàn).隨后,眾多學(xué)者考慮了具有各種特征的不可靠排隊(duì)系統(tǒng).Sherman等[7]研究了具有無限容量的不可靠M/M/1重試排隊(duì)系統(tǒng),并給出了該系統(tǒng)的平穩(wěn)條件與系統(tǒng)性能指標(biāo)的顯示解.YE等[8]研究了具有工作故障的MAP/M/1排隊(duì)系統(tǒng),利用矩陣幾何解法得出了系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的客戶數(shù),并對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)進(jìn)行了分析.GAO等[9]研究了具有災(zāi)難與故障策略的離散時(shí)間排隊(duì)系統(tǒng),利用嵌入式馬爾可夫鏈和補(bǔ)充變量法,確定了顧客到達(dá)前時(shí)刻與任意時(shí)刻的系統(tǒng)隊(duì)長分布,并得到了顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間.YANG等[10]研究了一個(gè)具有異構(gòu)服務(wù)器的M/M/2排隊(duì)系統(tǒng),利用擬生滅過程與矩陣幾何解法得到了系統(tǒng)的平穩(wěn)分布,并利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)系統(tǒng)的近似最優(yōu)服務(wù)率進(jìn)行數(shù)值求解.

很少有學(xué)者研究具有故障或工作故障策略的流模型.Vijayalakshmi和Thangaraj[11]研究了由生滅過程驅(qū)動(dòng)的流模型,利用Laplace變換與連分?jǐn)?shù),得到了該模型性能指標(biāo)的穩(wěn)態(tài)概率分布.Vijayashree等[12]研究了一個(gè)由具有災(zāi)難與后續(xù)修復(fù)的M/M/1/N排隊(duì)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)的流模型,該驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在進(jìn)行維修時(shí)將以較低的速率為到達(dá)系統(tǒng)的流體提供服務(wù),通過構(gòu)建該模型所滿足的微分差分方程組,利用第一類Bessel 函數(shù)得到了該流模型庫存量穩(wěn)態(tài)概率分布的顯式表達(dá)式.Vijayashree等[13]在文[12]的基礎(chǔ)上將驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)拓展為具有災(zāi)難與后續(xù)修復(fù)的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng),利用該模型所滿足的微分差分方程組與Laplcae變換,得到了該排隊(duì)系統(tǒng)庫存量的穩(wěn)態(tài)概率的精確表達(dá)式.Seenivasan等[14]研究了一個(gè)包含工作休假和故障的多服務(wù)器流模型,利用矩陣幾何解法得到了該流模型庫存量的穩(wěn)態(tài)分布.Felicia等[15]研究了帶有反饋顧客和故障的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)的流模型,并通過Laplace變換得到了庫存量的平穩(wěn)分布.Nabli[16]在研究有限狀態(tài)不可約馬爾可夫鏈驅(qū)動(dòng)的流模型中,提出了一種基于遞推關(guān)系的用于逼近流模型庫存量尾分布的算法,并給出了計(jì)算截?cái)嗖介L(Truncation step)的算法.

隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,社會(huì)中對(duì)于大數(shù)據(jù)產(chǎn)品業(yè)務(wù)的需求不斷增長,為了提供此類產(chǎn)品,供應(yīng)商增加了服務(wù)器的數(shù)量,與此同時(shí)維護(hù)此類服務(wù)器的壓力也隨之增大.各種軟、硬件故障而造成的業(yè)務(wù)中斷成為影響大數(shù)據(jù)服務(wù)穩(wěn)定性的重要因素之一.為了減少因故障而產(chǎn)生的服務(wù)中斷,大數(shù)據(jù)服務(wù)供應(yīng)商不約而同的開始了硬件自愈的研究.在阿里云對(duì)于硬件自愈[17]的研究中提及當(dāng)系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)故障發(fā)生時(shí),系統(tǒng)將啟動(dòng)一階段維修,在降低服務(wù)速率的同時(shí)開始維修,當(dāng)維修完成時(shí)再以正常服務(wù)速率提供服務(wù);若在一階段維修時(shí)再次出現(xiàn)故障,系統(tǒng)將停止服務(wù)進(jìn)行徹底的維修.本文受這類硬件自愈研究與流模型的啟發(fā),考慮了一個(gè)具有兩階段故障策略的流模型,即當(dāng)系統(tǒng)處于正規(guī)忙期時(shí)若故障發(fā)生,系統(tǒng)將進(jìn)入部分故障期并立刻開始維修,且在維修期間緩沖器將以較低的服務(wù)速率為到達(dá)系統(tǒng)的流體提供服務(wù),直到維修完成系統(tǒng)重新進(jìn)入正規(guī)忙期;若當(dāng)系統(tǒng)處于部分故障期時(shí)再次發(fā)生故障,系統(tǒng)將完全停止服務(wù)并繼續(xù)維修,直到維修完成后進(jìn)入正規(guī)忙期.不失一般性,本文使用流體到達(dá)速率作為流模型的輸入率,使用緩沖器的輸出速率作為流模型的輸出率.

本文將兩階段故障策略與流模型相結(jié)合,利用歸一化技術(shù),通過遞推得到了該流模型庫存量尾分布函數(shù)的近似解,并給出了給定誤差限下截?cái)嗖介L的計(jì)算方式,為該模型性能指標(biāo)的求解提供了一種新的方法.其理論成果存在潛在的應(yīng)用,可將該模型應(yīng)用于云計(jì)算服務(wù)中具有硬件自愈的系統(tǒng)分析中.

2.流模型描述

考慮具有兩階段故障的流模型,假設(shè)如下: 流體以參數(shù)為λ的泊松流到達(dá)緩沖器,即流體的輸入速率為λ.當(dāng)系統(tǒng)處于正規(guī)忙期時(shí),流體的輸出速率為μ.在正規(guī)忙期內(nèi),每次故障發(fā)生的間隔時(shí)間服從參數(shù)為α的指數(shù)分布,即故障的發(fā)生服從參數(shù)為α的泊松過程,一旦遭遇故障,系統(tǒng)將進(jìn)入部分故障期,其長度服從參數(shù)為β的指數(shù)分布.在部分故障期內(nèi),流體的輸出速率降低為η(η<μ).在部分故障期內(nèi),緩沖器可能再次遭遇故障,不失一般性,假設(shè)在部分故障期內(nèi)故障的發(fā)生也服從參數(shù)為α的泊松過程.一旦處于部分故障期內(nèi)的緩沖器遭遇故障,系統(tǒng)將進(jìn)入完全故障期,其長度服從參數(shù)為β的指數(shù)分布.當(dāng)完全故障期結(jié)束時(shí),系統(tǒng)將進(jìn)入正規(guī)忙期.假設(shè)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔,緩沖器在正規(guī)忙期的輸出速率,緩沖器在部分故障期的輸出速率,故障發(fā)生時(shí)間與維修時(shí)間相互獨(dú)立.此外,假設(shè)服務(wù)順序?yàn)橄冗M(jìn)先出(FIFO).

該流模型的狀態(tài)可以用馬爾可夫過程X=(X(t),t ≥0)來表示,其中:X(t)為時(shí)刻t流模型所處的狀態(tài),且

狀態(tài)空間為S=(0,1,2),對(duì)應(yīng)的無窮小生成元為

令Q(t)表示時(shí)刻t的庫存量,且為非負(fù)隨機(jī)變量.設(shè)流模型庫存量的凈輸入速率(輸入速率-輸出速率)為二維隨機(jī)程{(Q(t),X(t)),t ≥0}的函數(shù),滿足

其中,d0>0,d2<0,d1符號(hào)待定.具體來說,當(dāng)流模型處于完全故障期時(shí),庫存量將以速率|d0|線性增加;當(dāng)流模型處于正規(guī)忙期時(shí),庫存量將以速率|d2|線性減少;當(dāng)流模型處于部分故障期時(shí),庫存量將以速率|d1|線性變化(d1>0時(shí)增加,d1<0時(shí)減小,d1=0時(shí)不變).當(dāng)庫存量為空時(shí),流模型所處的狀態(tài)不會(huì)發(fā)生改變,且只有故障發(fā)生或修復(fù)完成時(shí)流模型的狀態(tài)才會(huì)改變.此外,定義依賴于凈輸入速率的狀態(tài)空間

定義π=(π0,π1,π2)為X=(X(t))的穩(wěn)態(tài)概率.行向量π滿足

其中,0與1分別是由0和1構(gòu)成的三維行向量,T為轉(zhuǎn)置算子.該流模型的穩(wěn)態(tài)條件為

因此,過程{(Q(t),X(t)),t ≥0}是一個(gè)二維馬爾可夫過程,定義該馬爾可夫過程在時(shí)刻t的尾分布函數(shù)為

當(dāng)穩(wěn)態(tài)條件(2.5)成立時(shí),記過程{(Q(t),X(t)),t ≥0}的極限分布為{Q∞,X∞}.令

為了便于表示,引入矩陣

由文[18],行向量F(x)滿足下列微分方程

其中,F′(x)為F(x)在x處的導(dǎo)數(shù).為了求解尾分布函數(shù)Fi(x),需要求解微分方程(2.10),并確定初始條件F(0).當(dāng)Fi(x)確定時(shí),流模型庫存量在穩(wěn)態(tài)條件下的尾分布函數(shù)可由全概率公式計(jì)算得到

同時(shí),該流模型的平衡方程(輸出速率=輸入速率)可表示為

3.模型分析

在本部分中,本文將使用歸一化技術(shù)求解具有兩階段故障的流模型尾分布函數(shù)的近似解,并給出計(jì)算截?cái)嗖介L的算法,詳細(xì)的理論可參閱文[16].令a=max(-aii),其中:aii為矩陣A的第i個(gè)對(duì)角線元素,事實(shí)上a=α+β.同時(shí),令d=min{di|di>0}.隨后定義

其中:I是一個(gè)三維單位矩陣.顯然,矩陣P是隨機(jī)的,即矩陣P的所有元素都是非負(fù)的且每一行和為1.此外,矩陣P滿足

由式(2.2)與穩(wěn)態(tài)條件(2.5),可以確定d0>0且d2<0,但d1的符號(hào)是不確定的,故本部分將根據(jù)d1的符號(hào)進(jìn)行分類討論,用遞推表達(dá)式給出庫存量Q(t)的尾分布函數(shù)的近似解.

情形一d1>0

由于d1>0且d0>0,d2<0,故矩陣D是可逆的,由式(2.10),可得

隨后,需要確定初始條件F(0).由式(2.3),d1>0時(shí)依賴于凈輸入速率的狀態(tài)空間為S+={0,1}與S-={2}.顯然,當(dāng)X(t)=0,1時(shí),庫存量Q(t)以概率1滿足Q(t)>0,故當(dāng)i=0,1時(shí),Fi(0)=πi.此外,由平衡方程(2.12)與S-={2},得F2(0)=-(d0π0+d1π1)/d2.在下面的定理中,將給出一個(gè)數(shù)值穩(wěn)定的算法來計(jì)算向量F(x).

定理3.1當(dāng)穩(wěn)態(tài)條件(2.5)成立時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x ≥0,尾分布函數(shù)Fi(x)滿足

其中系數(shù)bi(k)≥0且滿足: 當(dāng)k=0時(shí),

證矩陣AD-1可以寫成分塊矩陣的形式

注意到,d/d2<0而1-αd/ad2>1,在進(jìn)行計(jì)算時(shí)可能會(huì)發(fā)生正負(fù)抵消而使得算法不穩(wěn)定.為了避免這一問題,給出另一個(gè)與i=2有關(guān)的遞推式,在這個(gè)式子中將只出現(xiàn)正數(shù).

定義行向量d=(d0,d1,d2),可得

對(duì)于所有整數(shù)k,可得

考慮到b(0)=F(0),可得

由此,得到d0b0(k)+d1b1(k)+d2b2(k)=0,這就是定理中提到的與i=2相關(guān)的表達(dá)式.

由參數(shù)d與α的定義,可知α/a,β/a與d/di,i=0,1都是以1為界的正數(shù),此外1-dβ/d0α與1-d/d1是非負(fù)的.由于bi(0)=Fi(0)且Fi(0),i=0,1,2是非負(fù)的,使用歸納法可證明對(duì)于所有k ≥0,有

證畢.

由式(2.11),可得

下一個(gè)定理將證明數(shù)列(bi(k))k∈N的單調(diào)性和收斂性.

定理3.2當(dāng)i=0,1,2時(shí),(bi(k))k∈N是一個(gè)以πi為上界的遞減數(shù)列,且滿足

證首先,通過歸納法證明數(shù)列(bi(k))k∈N的單調(diào)性.當(dāng)i=1時(shí),

由于b(0)=F(0),可得

考慮到πP=π,即π1[1-(α+β)/a]+π2α/a=π1,得到

由π0(1-β/a)+π2α/a=π0,得到

后,對(duì)b0(2)與b0(1)作差,得到

由于b0(1)-b0(0)=0,b1(1)≤b1(0),得到

由b2(0)=F2(0)=π2-P {Q=0}且d/d2<0,得到

由參數(shù)的定義,可知d/d0∈(0,1],d/d1∈(0,1],d2<0,同時(shí)α/a ∈(0,1],β/a ∈(0,1],(α+β)/a=1.由此,可以通過歸納法證明當(dāng)i=0,1,2時(shí),數(shù)列(bi(k))k∈N是單調(diào)遞減的.其次,證明數(shù)列(bi(k))k∈N的收斂性.由于數(shù)列(bi(k))k∈N是非負(fù)且遞減的,其極限一定存在.令li為數(shù)列(bi(k))k∈N的極限.由式(3.4),當(dāng)x趨向無窮時(shí),可得

由于當(dāng)x趨向無窮時(shí),尾分布函數(shù)Fi(x)=P {Q(t)>x,X(t)=i}趨向于0,故極限li必須為0.證畢.

為了計(jì)算定理3.1中給出的無窮級(jí)數(shù),下面給出了一個(gè)算法,該算法可以保證結(jié)果誤差不超過給定的誤差限ε.對(duì)于一個(gè)給定的正實(shí)數(shù)x,首先定義泊松級(jí)數(shù)的截?cái)嗖介L為R(x),滿足

具體的計(jì)算方式,可參閱文[19].由于數(shù)列(bi(k))k∈N的單調(diào)性與收斂性,定義另一個(gè)截?cái)嗖介L

由定理3.1和式(2.11),可得

同時(shí),誤差項(xiàng)e(n0)滿足

且,當(dāng)R(ax/d)

當(dāng)R(ax/d)≥nε時(shí),由k>nε時(shí)b(k)1T≤ε,得

從數(shù)值計(jì)算的角度來看,若想要計(jì)算庫存量的尾分布,并使得計(jì)算誤差在給定的誤差限ε內(nèi),只需要對(duì)式(3.4)從0到n0求和即可.

情形二d1≤0

由于d1≤0,無法確定矩陣D是否可逆.此時(shí),有S+={0}且S-={1,2}.求解式(2.10)在初始條件下的解這一問題可以轉(zhuǎn)化為下列有解問題

引理3.1[17]當(dāng)i=0,1,2,n ∈N+且k=0,···,n-1時(shí),可得

引理3.2[17]當(dāng)n ∈N+且k=0,···,n-1時(shí),可得

定理3.3式(3.31)存在一個(gè)解為Gi(x),且Gi(x)滿足

證與文[17]中定理3.4的證明類似.

由初始條件b0(n,0)=π0,b1(n,n)=b2(n,n)=0與式(3.2),可得d/d0=1,d/(d-di)∈[0,1],i=1,2,故當(dāng)i=0,1,2時(shí),數(shù)列bi(n,k)滿足

由于數(shù)列(bi(n,k))n≥k是以πi為上界的單調(diào)遞減數(shù)列,由引理3.1,其極限bi(k)存在.

為證明當(dāng)穩(wěn)態(tài)條件(2.5)成立時(shí)行向量G(x)=(G0(x),G1(x),G2(x))是式(3.31)的一個(gè)解.根據(jù)定理3.3中給出的遞推式,可得

定理3.4當(dāng)穩(wěn)態(tài)條件(2.5)成立時(shí),式(3.31)存在唯一解.

證與文[17]中定理3.5的證明類似,證明將分為2部分,即d1<0與d1=0.

當(dāng)d1<0時(shí),矩陣D是可逆的,此時(shí)式(2.10)可改寫為

與定理3.1類似,當(dāng)向量F(0)確定時(shí),庫存量尾聯(lián)合分布函數(shù)F(x)便可以唯一確定.由穩(wěn)態(tài)條件(2.5)可知F(0)是唯一的.同時(shí)注意到當(dāng)i=0,1,2時(shí)Fi(x)=0,且F0(0)=π0.由文[17]中定理3.4,此時(shí)式(3.31)的解是唯一的.

當(dāng)d1=0時(shí),定義狀態(tài)空間S0={1}與={0,2}.矩陣A與對(duì)角矩陣D可以改寫為以下形式

利用文[17]中定理3.5的證明方式,即可證明此時(shí)式(3.31)的解是唯一的.綜上,當(dāng)d1≤0時(shí)式(3.31)的解是唯一的.證畢.

由定理3.3與定理3.4,流模型庫存量的尾聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為

從數(shù)值計(jì)算的角度來看，當(dāng)(b(n,k))0≤k≤n=(b0(n,k),b1(n,k),b2(n,k))0≤k≤n確定后，便可得到庫存量尾聯(lián)合分布函數(shù)F(x).

為了計(jì)算定理3.3中給出的無窮級(jí)數(shù),與d1>0的情況類似,下面給出一個(gè)算法,該算法可以保證庫存量尾分布函數(shù)誤差不超過給定的誤差限ε的2倍.在計(jì)算庫存量尾分布前需要確定系數(shù)bi(k),即(n,k).故,首先定義截?cái)嗖介Ln∞為bi(n,k)的迭代次數(shù).由推論3.1,可以尋找到一個(gè)n∞使得b(n∞,n∞)1T≤ε.同時(shí),注意到,存在一個(gè)n∞,滿足

故,截?cái)嗖介Ln∞最終可定義為

由數(shù)列(bi(n,k))0≤k≤n的定義,可得

故,對(duì)于k=0,1,···,n∞-1有

由此,對(duì)于任意的k ∈N,數(shù)列b(n,k)1T

n的極限將在n∞取得,即對(duì)于任意的k ∈N

為了提高計(jì)算庫存量尾分布函數(shù)的效率,定義另一個(gè)截?cái)嗖介Ln0,滿足

由于n∞的存在,保證了b(n∞,n∞)1T≤ε,故截?cái)嗖介Ln0一定小于n∞.由式(3.33)與式(2.11),流模型庫存量尾分布的近似解可由下列表達(dá)式給出

通過對(duì)部分工作狀態(tài)下流模型凈輸入率d1的分類討論,本文最終得到了庫存量的尾分布函數(shù)的近似解,并通過確定截?cái)嗖介L,使得該近似解的誤差不超過給定誤差限ε的2倍.

4.庫存量的矩

5.數(shù)值例子

假設(shè)顧客流以參數(shù)為λ的泊松流到達(dá)某云計(jì)算服務(wù)系統(tǒng)緩沖器.該云計(jì)算服務(wù)系統(tǒng)允許發(fā)生兩次故障,且故障發(fā)生的間隔時(shí)間服從參數(shù)為α的指數(shù)分布,修理時(shí)間服從參數(shù)為β的指數(shù)分布.在正規(guī)忙期內(nèi)緩沖器的輸出速率為μ,故障發(fā)生時(shí),系統(tǒng)將進(jìn)入部分故障期,輸出速率降低為η(η<μ).系統(tǒng)處于部分故障期時(shí),若再次發(fā)生故障,系統(tǒng)將完全停止工作,直到修復(fù)完成后,系統(tǒng)進(jìn)入正規(guī)忙期.基于以上假設(shè),本部分將云計(jì)算服務(wù)中顧客到達(dá)視為輸入系統(tǒng)的流體,將服務(wù)器視為流模型中輸出流體的緩沖器,構(gòu)建了一個(gè)具有雙階段故障的云計(jì)算服務(wù)流模型.

情形一d1>0

當(dāng)d1>0時(shí),顧客流體的到達(dá)速率λ大于流模型在部分故障期內(nèi)緩沖器輸出速率η.

當(dāng)λ=2.5,α=1,β=1.25時(shí),圖5.1給出了部分故障期內(nèi)緩沖器輸出速率η分別為1.6,1.8,2.0的情況下平均庫存量E(Q)隨正規(guī)忙期內(nèi)緩沖器輸出速率μ的變化趨勢圖.可以看出,隨著參數(shù)μ的增大,平均庫存量E(Q)不斷減小,并趨于一個(gè)接近于0的常數(shù).

當(dāng)α=1,β=1.25,η=2時(shí),圖5.2給出了正規(guī)忙期內(nèi)緩沖器輸出速率μ分別為10,11,12的情況下平均庫存量E(Q)隨顧客流體到達(dá)速率λ的變化趨勢圖.可以發(fā)現(xiàn),隨著到達(dá)率λ的增加,平均庫存量也會(huì)增加.在到達(dá)率λ相同的情況下,正規(guī)忙期內(nèi)緩沖器輸出速率μ越大,平均庫存量越小.

圖5.2 d1 >0時(shí)E(Q)隨μ和λ的變化曲線

當(dāng)α=1,β=1.25,λ=5,μ=15時(shí),圖5.3給出了部分故障期內(nèi)緩沖器輸出速率η分別為4.0,4.2,4.4的情況下庫存量尾分布函數(shù)P {Q∞>x}的變化趨勢圖.顯然,當(dāng)x增大時(shí),尾分布函數(shù)P {Q∞>x}趨向于0.同時(shí),部分故障期內(nèi)緩沖器輸出速率η越大,尾分布函數(shù)P {Q∞>x}將越快的趨向于0.

當(dāng)α=1,β=1.25,λ=2.5,μ=4.4,η=1時(shí),表5.1中展示了對(duì)于給定誤差限ε=1×10-9與不同x的取值下獲得的截?cái)嗖介Lnε與R(ax/d).不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)固定時(shí),截?cái)嗖介LR(ax/d)隨著x的增加而增加,但是截?cái)嗖介Lnε是固定的.因此,當(dāng)x較小時(shí),可以選擇R(ax/d)作為計(jì)算尾分布函數(shù)截?cái)嗖介L,但隨著的x的增大,應(yīng)該選擇nε作為截?cái)嗖介L.

表5.1 不同x取值下的截?cái)嗖介L

情形二d1=0

當(dāng)d1=0時(shí),顧客流體到達(dá)速率λ與流模型在部分故障期內(nèi)緩沖器輸出速率η相同.

當(dāng)α=1,β=1.25時(shí),圖5.4給出了顧客流體到達(dá)率λ與部分故障期內(nèi)緩沖器輸出速率η相同時(shí)平均庫存量E(Q)隨到正規(guī)忙期內(nèi)緩沖器輸出速率μ的變化趨勢圖.可以發(fā)現(xiàn),隨著輸出速率μ的增加,平均庫存量隨之減小.且與d1>0情況下的圖5.1相比,平均庫存量E(Q)的值有顯著的下降.

圖5.4 d1=0時(shí)E(Q)隨μ的變化曲線

當(dāng)α=1,β=1.25,μ=15時(shí),圖5.5給出了庫存量尾分布函數(shù)P {Q∞>x}的變化趨勢圖.與圖5.3進(jìn)行對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn),P {Q∞>x}在x=0處的值明顯更小,這說明流模型庫存量Q(t)有更大的概率處于Q(t)=0,即系統(tǒng)庫存量將更容易清空.

圖5.5 d1=0時(shí)P {Q∞>x}隨x的變化曲線

情形三d1<0

當(dāng)d1<0時(shí),顧客流體到達(dá)速率λ小于流模型在部分故障期內(nèi)緩沖器輸出速率η.

當(dāng)α=1,β=1.25,λ=2.5時(shí),圖5.6給出了部分故障期內(nèi)緩沖器輸出速率η分別為3,4,5的情況下平均庫存量E(Q)隨正規(guī)忙期內(nèi)緩沖器輸出速率μ的變化趨勢圖.可以發(fā)現(xiàn),隨著輸出速率μ的增加,平均庫存量隨之減小.且與圖5.1,圖5.4相比,平均庫存量E(Q)的值更小.

圖5.6 d1 <0時(shí)E(Q)隨μ和η的變化曲線

表5.2給出了當(dāng)α=1,β=1.25,λ=2.5,μ=15時(shí)庫存量尾分布函數(shù)P {Q∞>x}的變化趨勢.仍然可以發(fā)現(xiàn),隨著x的增大,P {Q∞>x}的值隨之減小.同時(shí),在相同的x取值下,η越大,P {Q∞>x}的值越小.

表5.2 d1 <0時(shí)P {Q∞>x}隨η與x的變化

由圖5.1-5.6與表5.1-5.2可知,在存在硬件故障的云計(jì)算服務(wù)系統(tǒng)中,若想減少系統(tǒng)中顧客的排隊(duì)現(xiàn)象,降低顧客的平均等待時(shí)間,有以下解決方案: 1)提高正規(guī)忙期、部分故障期內(nèi)的服務(wù)速率;2) 降低服務(wù)器發(fā)生故障的頻率,提高服務(wù)器無故障工作時(shí)間;3) 提高維修效率,降低服務(wù)器維修所需要的時(shí)間.

6.總結(jié)與展望

本文研究了具有兩階段故障的流模型,利用歸一化技術(shù),得到了具有兩階段故障的流模型庫存量尾分布函數(shù)的遞推表達(dá)式,同時(shí)給出了給定誤差限條件下截?cái)嗖介L的計(jì)算方式,并給出了流模型各階矩的表達(dá)式.最后將該流模型應(yīng)用于云計(jì)算服務(wù)中,利用數(shù)值例子分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)整體系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響.

本文只研究了允許發(fā)生兩次故障的流模型,然而考慮到只允許發(fā)生兩次故障的系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中占比較少,在未來的研究中可以考慮具有更多工作狀態(tài)的流模型.也可將N-策略、負(fù)顧客等其他策略加入流模型中,并考慮如何優(yōu)化系統(tǒng)才能給社會(huì)帶來更多的經(jīng)濟(jì)效益.另一方面,在故障流模型中加入帶寬共享網(wǎng)絡(luò)中用戶的延遲因素是未來可行的研究方向.最后,還可以在包級(jí)模型和流級(jí)模型間嚴(yán)格連接方面進(jìn)行研究.