李春艷，李丹琳，劉繼紅，李可，蔣杰偉

（西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，西安 710121）

0 引言

光譜共焦位移傳感系統(tǒng)使用寬譜光源照射物體表面，利用光學(xué)色散原理使色散物鏡產(chǎn)生軸向色差，建立色散距離與波長(zhǎng)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用光譜儀探測(cè)聚焦于物體表面并反射回來的光譜響應(yīng)峰值波長(zhǎng)，獲得精確的軸向位置或微小位移數(shù)據(jù)，具有超高的距離測(cè)量分辨率，且對(duì)環(huán)境及材料具有廣泛的適應(yīng)性［1-3］。色散物鏡是光譜共焦位移傳感系統(tǒng)的核心器件，系統(tǒng)的測(cè)量精度與色散物鏡的分辨率有著密切的關(guān)系，測(cè)量值的精確度和測(cè)量范圍取決于色散物鏡軸向色散的大小，而色散物鏡的光學(xué)像差影響聚焦波長(zhǎng)的軸向分布，對(duì)采集的光譜響應(yīng)數(shù)據(jù)產(chǎn)生干擾，進(jìn)而影響系統(tǒng)的測(cè)量性能［4-6］。梯度折射率（Gradient Index，GRIN）透鏡具有多自由度的折射率參數(shù)，其效果等同于多面型復(fù)雜、工藝要求和成本較高的勻質(zhì)光學(xué)元件，具有幾何形狀簡(jiǎn)單、重量輕、體積小、光學(xué)性能優(yōu)良等特點(diǎn)，且便于光學(xué)集成［7-10］。SARAH L 等［11］提出使用衍射光學(xué)元件為色度深度測(cè)量提供聚焦波長(zhǎng)編碼，利用衍射透鏡進(jìn)行波長(zhǎng)的深度編碼和非機(jī)械深度掃描，在100 nm波段范圍軸向色散達(dá)到55 μm。LIU Q 等［12］使用的FK7l、LAF4 和ZF72A 玻璃分別產(chǎn)生線性正色散和負(fù)色散，在430～710 nm 波長(zhǎng)范圍內(nèi)，產(chǎn)生了1 mm 的軸向色散。MA J 等［13］根據(jù)光譜共焦位移傳感器的工作原理和軸向色散條件，選用3 種玻璃材料N-KZFS11、N-SF66 和N-PK52A，結(jié)合三個(gè)單透鏡和兩個(gè)雙膠合透鏡，在450～650 nm 波長(zhǎng)范圍內(nèi)，設(shè)計(jì)出了軸向色散約為1 050 μm 的色散物鏡。在上述研究中，色散范圍滿足設(shè)計(jì)要求的組合系統(tǒng)的線性度較差，影響了系統(tǒng)的靈敏度和測(cè)量精度。

使用小口徑色散物鏡光譜共焦位移傳感系統(tǒng)可以不受色散物鏡軸向色散大小的限制，深入產(chǎn)品獲得合適的工作距離，間接擴(kuò)大傳感器的測(cè)量范圍，因此，針對(duì)小孔內(nèi)徑或產(chǎn)品內(nèi)部缺陷檢測(cè)的應(yīng)用需求，在GRIN透鏡研究的基礎(chǔ)上［14-17］，本文利用GRIN 透鏡設(shè)計(jì)了微小口徑色散物鏡。為分析GRIN 色散物鏡光學(xué)像差對(duì)峰值波長(zhǎng)提取的影響，實(shí)現(xiàn)基于GRIN 色散物鏡的光譜共焦位移傳感系統(tǒng)的性能優(yōu)化，研究了GRIN 色散物鏡的光學(xué)像差對(duì)峰值波長(zhǎng)提取的影響，并建立了光學(xué)像差擬合算法。首先，利用傅立葉光學(xué)的波前像差方程，結(jié)合GRIN 色散透鏡的折射率隨不同波長(zhǎng)以及曲率半徑的變化，在光譜共焦垂直采樣序列中分別建立GRIN 色散物鏡的球差、像散以及彗差的物理模型進(jìn)行研究與分析。其次，模擬仿真了球差、像散以及組合像差對(duì)峰值波長(zhǎng)偏移的影響。最后，通過高斯擬合、Zernike 多項(xiàng)式擬合以及sinc2函數(shù)擬合三種方法對(duì)不同像差情況下的軸向響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行了數(shù)據(jù)擬合。

1 GRIN 色散透鏡的光學(xué)性能

光學(xué)像差在光學(xué)系統(tǒng)中不可避免，其畸變率通常在出瞳孔或聚焦區(qū)進(jìn)行分析。在出射光瞳處，比較真實(shí)波陣面和理想球面波陣面來評(píng)估像差［18］。在基于傅立葉光學(xué)的非均勻化成像模型中，衍射效應(yīng)是由出射光瞳產(chǎn)生的，因此可以求出軸向響應(yīng)信號(hào)的像差，將波前像差加入出射光光瞳函數(shù)中。在光譜共焦技術(shù)中，軸向響應(yīng)信號(hào)記錄在不同的垂直掃描位置，即垂直采樣序列。具有等距間隔的廣義序列為

式中，n和m為整數(shù)，其中Uj是垂直采樣序列中掃描截面的位置，j=-n，…，m，垂直采樣序列中的間隔是垂直掃描裝置的掃描步長(zhǎng)ΔU。樣品表面高度為待測(cè)樣品表面與參考點(diǎn)之間的相對(duì)距離，在不失真的情況下，選擇垂直采樣序列上的一個(gè)點(diǎn)作為參考點(diǎn)。

由GRIN 材料折射率分布常數(shù)［19］可得GRIN 色散透鏡的折射率分布為

式中，n0表示透鏡頂點(diǎn)處的折射率，λ為波長(zhǎng)，r為透鏡半徑。

徑向GRIN 透鏡內(nèi)部的折射率分布沿徑向梯度變化，有聚焦成像的特點(diǎn)，因此又稱為自聚焦透鏡，設(shè)計(jì)徑向平凸GRIN 色散透鏡幾何結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示，半徑為r，曲率半徑為RG，透鏡中心厚度為tc，直徑為D，焦距為f，當(dāng)GRIN 透鏡半徑r=0 時(shí)，透鏡頂點(diǎn)處的折射率n0=1.651。在波長(zhǎng)λ1=486 nm，λ2=587 nm，λ3=656 nm 時(shí)，梯度折射率半徑與折射率之間的關(guān)系如圖1（b）所示。

圖1 徑向平凸GRIN 色散透鏡結(jié)構(gòu)及梯度折射率半徑與折射率之間的關(guān)系Fig. 1 The radial GRIN dispersive lens structure and the relationship between the gradient refractive index radius and the refractive index

從圖1（b）中可以看出，波長(zhǎng)分別為λ1=486 nm、λ2=587 nm、λ3=656 nm 時(shí)，折射率均隨GRIN 半徑的增大而減小，在軸心處折射率最大，滿足設(shè)計(jì)要求。此外，使用MATLAB 對(duì)GRIN 透鏡折射率分布示意圖進(jìn)行了三維仿真，如圖1（c）所示，可以看出GRIN 透鏡的折射率隨不同波長(zhǎng)以及曲率半徑的變化關(guān)系為：光軸原點(diǎn)處的折射率最大，且呈拋物線分布，在波長(zhǎng)恒定的情況下，折射率隨GRIN 透鏡的半徑增大而減小。根據(jù)Go-Foton 公司［19］的GRIN 材料折射率分布常數(shù)清晰反映出的光學(xué)系統(tǒng)波長(zhǎng)、GRIN 半徑與折射率之間的內(nèi)在關(guān)系，利用式（2）獲得GRIN 色散透鏡軸向色散對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)λ與位移數(shù)據(jù)Z（λ）如表1 所示。

表1 GRIN 色散透鏡軸向色散對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)λ 與位移數(shù)據(jù)Z（λ）Table 1 The wavelength λ corresponding to the axial dispersion of the GRIN dispersion lens versus the displacement data Z（λ）

2 像差對(duì)GRIN 色散物鏡峰值波長(zhǎng)提取的影響

光譜共焦位移傳感系統(tǒng)軸向響應(yīng)信號(hào)峰值波長(zhǎng)提取的準(zhǔn)確性對(duì)保證系統(tǒng)測(cè)量精度具有重要意義，而色散物鏡光學(xué)系統(tǒng)的像差會(huì)對(duì)軸向響應(yīng)信號(hào)產(chǎn)生影響，引起峰值波長(zhǎng)偏移，使測(cè)量數(shù)據(jù)發(fā)生漂移。在實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用中，色散物鏡產(chǎn)生的軸向色散實(shí)現(xiàn)波長(zhǎng)與位置之間的精確編碼，通過解碼軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)獲取位置信息。因此，研究色散物鏡光學(xué)像差對(duì)峰值波長(zhǎng)的影響，對(duì)進(jìn)一步提高系統(tǒng)測(cè)量性能具有一定的指導(dǎo)意義。

2.1 GRIN 色散物鏡的設(shè)計(jì)

根據(jù)光譜共焦位移傳感系統(tǒng)的工作原理以及色散物鏡產(chǎn)生軸向色散的條件，對(duì)GRIN 色散物鏡進(jìn)行設(shè)計(jì)。首先結(jié)合光學(xué)系統(tǒng)的像差理論對(duì)玻璃材料進(jìn)行選擇，保證軸向色散的同時(shí)提高色散與波長(zhǎng)之間的線性關(guān)系；另外，色散物鏡光學(xué)系統(tǒng)成像聚焦在光軸上，軸外像差可以忽略不計(jì)。為了控制系統(tǒng)像差，采用徑向GRIN 色散透鏡與雙膠合透鏡組合的方式進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以通過分散系統(tǒng)的光焦度有效降低光學(xué)系統(tǒng)的球差；此外，選擇種類不同的透鏡材料可以提高光學(xué)系統(tǒng)的線性度。為滿足以上條件，采用徑向GRIN 透鏡作為單透鏡，在ZEMAX 玻璃庫中使用Gradient 6，雙膠合透鏡采用Schott 玻璃庫中的H-FK61、H-F51、H-ZF62。

徑向GRIN 色散物鏡的波長(zhǎng)設(shè)置為可見光波段，入瞳直徑設(shè)置為2 mm，視場(chǎng)角設(shè)置為歸一化視場(chǎng)坐標(biāo)，波長(zhǎng)與軸向色散之間的線性系數(shù)需滿足色散物鏡的線性度，提高分辨率，保證系統(tǒng)測(cè)量精度。GRIN 色散物鏡的初始結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 GRIN 色散物鏡的初始結(jié)構(gòu)Fig. 2 Diagram of the initial structure of the GRIN dispersive objective lens

在光學(xué)設(shè)計(jì)軟件ZEMAX 中對(duì)GRIN 色散物鏡光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在保證波長(zhǎng)與焦移線性度的同時(shí)，提高鏡頭的聚焦特性，降低球差。優(yōu)化過程中采用ZEMAX 操作數(shù)控制參數(shù)變化，使用AXCL 對(duì)光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生的軸向色差和線性度進(jìn)行控制；使用CONF 對(duì)系統(tǒng)全局結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化；其中徑向平凸GRIN 透鏡在設(shè)計(jì)過程中采用COVA 圓錐系數(shù)得到平凸結(jié)構(gòu)；使用LONA 對(duì)系統(tǒng)球差進(jìn)行控制。采用近軸系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，使用EFFL 控制有效焦距；使用IMAG 設(shè)置鏡頭分辨率，優(yōu)化后的GRIN 色散物鏡結(jié)構(gòu)如圖3（a）所示［17，20］。波長(zhǎng)聚焦能量如圖3（b）、（e）所示，主要采用點(diǎn)列圖進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì)評(píng)價(jià)，可以看出，點(diǎn)列圖中彌散斑半徑均小于艾里斑半徑，鏡頭聚焦效果良好，幾乎所有的光線都在艾里圓環(huán)內(nèi)，系統(tǒng)達(dá)到衍射極限，符合設(shè)計(jì)要求。

優(yōu)化后，在ZEMAX 中獲得軸向色散與波長(zhǎng)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如圖4（a）所示，可知GRIN 色散物鏡產(chǎn)生的色焦移約為1 215 μm，即色散范圍超過了1 mm。對(duì)波長(zhǎng)-焦移曲線數(shù)據(jù)使用最小二乘法進(jìn)行線性擬合，擬合結(jié)果如圖4（b）所示。

圖4 波長(zhǎng)-焦移關(guān)系及擬合曲線Fig. 4 The wavelength-focal shift relationship and the fitted curve

通過圖4（b）可知，波長(zhǎng)與軸向色散的線性相關(guān)系數(shù)為0.996 9，光學(xué)系統(tǒng)的線性度良好，系統(tǒng)分辨率約為6.075 nm，測(cè)量范圍較大的同時(shí)保證了色散物鏡良好的線性度，滿足設(shè)計(jì)要求。將色散物鏡的成像用傅里葉光學(xué)［21］表示為

式中，I（x）表示光譜圖像強(qiáng)度，T（v）表示空間頻率v的函數(shù)，為透射光譜函數(shù)，b（v）為相關(guān)傳遞函數(shù)，有

P（v）為色散物鏡的光瞳函數(shù)，?表示卷積。

為了研究像差對(duì)峰值波長(zhǎng)提取的影響，在色散物鏡的光瞳函數(shù)中引入相位因子

式中，函數(shù)W（σ，θ）表示像差相位函數(shù)，σ為出瞳的歸一化半徑，θ為歸一化場(chǎng)矢量與出瞳處歸一化半徑矢量之間的徑向角，u為實(shí)際軸向距離z和主波長(zhǎng)λ相關(guān)的垂直位置處的光學(xué)坐標(biāo)，即

α為孔徑角。

在后續(xù)的研究中，主要以主波長(zhǎng)λ為研究對(duì)象，分析不同像差對(duì)波長(zhǎng)提取的影響。此時(shí)，W（σ，θ）可以表示為

式中，WSA為球差系數(shù)，WC為彗差系數(shù)，WA為像散系數(shù)。

為分析GRIN 色散物鏡光學(xué)像差對(duì)峰值波長(zhǎng)提取的影響，GRIN 色散物鏡的光瞳函數(shù)為

在理想狀態(tài)無像差時(shí)，式（8）可以化簡(jiǎn)為

但在實(shí)際應(yīng)用中，光學(xué)系統(tǒng)不可能為無像差系統(tǒng)，因此式（9）并不能在實(shí)際系統(tǒng)中應(yīng)用，需利用式（8）分析各個(gè)像差的影響。

2.2 球差對(duì)峰值波長(zhǎng)的影響

首先研究球差的影響，由于球差是軸上像差，光瞳函數(shù)可以化簡(jiǎn)為

根據(jù)菲涅爾積分可知

式中

對(duì)式（12）進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開

因此

基于式（10）和（14），對(duì)球差分別為0、0.2、0.4、0.6、1、2、3 時(shí)的單峰軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)進(jìn)行仿真分析，獲得不同球差對(duì)單峰軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)的影響如圖5 所示，其中橫坐標(biāo)為垂直位置處的光學(xué)坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為歸一化強(qiáng)度。

圖5 不同球差對(duì)單峰軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)的影響Fig. 5 The effect of different spherical aberrations on the peak wavelength of single peak axial response

圖5（a）為球差分別等于0、0.2、0.4、0.6、1 時(shí)單峰的軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)的偏移情況，圖5（b）為球差等于2和3 時(shí)的軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)?？梢钥闯霾徽撌欠翊嬖谇虿睿鞣搴团园昊緦?duì)稱。球差越大，峰值波長(zhǎng)偏移的越多，越遠(yuǎn)離中心軸線u=0，球差為1 時(shí)，峰值波長(zhǎng)偏移6.28 nm；同時(shí)隨著球差的增大，峰值旁瓣逐漸變大，并且對(duì)峰值影響較大，球差為2 和3 時(shí)出現(xiàn)了混亂的雙峰，因此，球差越大對(duì)峰值波長(zhǎng)提取的影響越大。

2.3 像散對(duì)峰值波長(zhǎng)的影響

存在像散時(shí)，GRIN 色散物鏡的光瞳強(qiáng)度函數(shù)可以表示為

化簡(jiǎn)得

根據(jù)菲涅爾積分，式（16）可寫為

其中，

對(duì)式（18）進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開

基于式（16）和（17），對(duì)像散分別為0、0.5、0.7 和0.9 時(shí)的軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)進(jìn)行仿真分析，獲得不同像散引起的軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)偏移如圖6 所示，其中橫坐標(biāo)為垂直位置處光學(xué)坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為歸一化強(qiáng)度。

圖6 不同像散引起的軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)偏移Fig.6 Peak wavelength shift of axial response due to different dispersion

由圖6 可以看出，不論像散的大小為多少，軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)分布曲線始終對(duì)稱；與球差相比，像散增大引起的峰值波長(zhǎng)偏移不是很明顯，說明像散對(duì)峰值波長(zhǎng)偏移的影響沒有球差的影響大。

2.4 彗差對(duì)峰值波長(zhǎng)的影響

利用彗差存在時(shí)的光瞳強(qiáng)度函數(shù)進(jìn)行分析，計(jì)算傳遞函數(shù)所需的光瞳函數(shù)的幾何重疊如圖7 所示。

圖7 光瞳函數(shù)的幾何重疊Fig.7 Geometric overlap of pupil functions

通過式（5）和（7）對(duì)式（4）所求的卷積函數(shù)表示像差的傳遞函數(shù)b（v），即

式中，S表示傳遞函數(shù)的等距曲面。

式中，v?表示像差存在時(shí)的空間頻率。因此，可以推導(dǎo)出

式（20）可化簡(jiǎn)為

由式（23）的傳遞函數(shù)表達(dá)式可知，當(dāng)v?=0 時(shí)，慧差不會(huì)影響傳遞函數(shù)b(v，u，WSA，WA，WC)，因此峰值波長(zhǎng)不受彗差的影響。同理，場(chǎng)曲、畸變均為軸外像差，也不會(huì)引起峰值波長(zhǎng)偏移。

2.5 球差和像散對(duì)峰值波長(zhǎng)的影響

當(dāng)球差和像散同時(shí)存在時(shí)，組合像差引起的軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)偏移如圖8 所示，其中WSA=1，WA=1。

圖8 組合像差引起的軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)偏移Fig. 8 Peak wavelength shift of axial response due to combined aberration

由圖8 可知，組合像差對(duì)峰值波長(zhǎng)的影響最大，不僅對(duì)稱軸產(chǎn)生了較大幅度的曲線偏移，同時(shí)出現(xiàn)了三峰，旁瓣升高，且分布不對(duì)稱，打破了單像差存在時(shí)的對(duì)稱分布規(guī)律；結(jié)果表明GRIN 色散物鏡組合像差會(huì)引起較大的光譜共焦位置偏差或系統(tǒng)誤差。

3 峰值波長(zhǎng)提取擬合算法

光譜共焦位移傳感系統(tǒng)基于色散物鏡對(duì)波長(zhǎng)與位置之間的編碼關(guān)系，通過解碼軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)進(jìn)行位移測(cè)量或表面位置信息的獲取。因此，快速、準(zhǔn)確、高效的峰值波長(zhǎng)提取是保證系統(tǒng)測(cè)量精度的必要前提。通過比較不同峰值波長(zhǎng)提取算法的擬合效果，選擇最佳算法。

3.1 高斯擬合

高斯擬合［22］是根據(jù)高斯算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合的方法，擬合函數(shù)為

式中，ymax為峰值，xmax為峰值位置，M為峰值半寬度，對(duì)式（24）取對(duì)數(shù)得

假設(shè)，

則式（25）可化簡(jiǎn)為

將式（27）用矩陣形式表示并記為G=XB，則

根據(jù)矩陣原理，可以寫為

根據(jù)以上分析對(duì)球差分別為0.2 和0.4 時(shí)的軸向響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行高斯擬合，結(jié)果如圖9 所示。

圖9 軸向響應(yīng)信號(hào)的高斯擬合Fig. 9 Gaussian fitting of the axial response signal

根據(jù)圖9 可以看出，高斯擬合算法能夠?qū)φ麄€(gè)曲線進(jìn)行較好的擬合，峰值提取誤差較小，但整個(gè)擬合過程中對(duì)旁瓣的擬合效果不是特別好。由于本文使用的高斯擬合算法是最小二乘法擬合，它是通過對(duì)非線性高斯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，將非線性高斯函數(shù)轉(zhuǎn)換為線性函數(shù)，再通過最小二乘法進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算，從而完成高斯擬合的計(jì)算。所以在擬合線性度較高的峰值波長(zhǎng)數(shù)據(jù)的過程中可以準(zhǔn)確地進(jìn)行擬合，在對(duì)非線性旁瓣進(jìn)行擬合時(shí)，該方法的擬合效果不是很理想。因此，高斯擬合提高了峰值波長(zhǎng)的提取精度，但是對(duì)旁瓣的擬合處理相對(duì)較差。

3.2 Zernike 多項(xiàng)式擬合

Zernike 多項(xiàng)式擬合方法［23］廣泛應(yīng)用于光學(xué)像差分析，光學(xué)系統(tǒng)的像差函數(shù)可以表示為

式中，n和m分別為多項(xiàng)式的徑向數(shù)與角向數(shù)，且同時(shí)滿足n≥0，m≥0，n≥m，n-m為偶數(shù)多項(xiàng)式為

式中，δmn為Kronecker 符號(hào)，多項(xiàng)式的徑向函數(shù)為

式中，s為Zernike 多項(xiàng)式的序號(hào)，正交Zernike 表示為

式中，n'和m'分別為理論上的徑向數(shù)與角向數(shù)，當(dāng)n=n'時(shí)，δnn'=1；當(dāng)n≠n'時(shí)，δnn'=0，δmm'同理。

在光譜共焦位移傳感系統(tǒng)中，像差W（σ，θ）可以依據(jù)Zernike 多項(xiàng)式表示為

式中，Zi是多項(xiàng)式的第i項(xiàng)，ci表示對(duì)應(yīng)的系數(shù)，N為總項(xiàng)數(shù)，因此Zernike 多項(xiàng)式的展開系數(shù)可以表示為

根據(jù)以上分析，對(duì)球差分別為0.2 和0.4 時(shí)的軸向響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行Zernike 多項(xiàng)式擬合，結(jié)果如圖10 所示。

圖10 軸向響應(yīng)信號(hào)的Zernike 多項(xiàng)式擬合Fig. 10 Zernike polynomial fitting of axial response signal

由圖10 可以看出，Zernike 算法基本上可以對(duì)整個(gè)曲線進(jìn)行完整的擬合，峰值提取誤差較小，對(duì)旁瓣也可以實(shí)現(xiàn)比較完整的擬合。主要是由于Zernike 算法是線性模型擬合，Zernike 多項(xiàng)式模型和所需擬合的參數(shù)之間是線性關(guān)系，對(duì)被測(cè)區(qū)域進(jìn)行分析處理構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)，且確保多項(xiàng)式函數(shù)盡可能近似地表達(dá)被擬合數(shù)據(jù)的輸入輸出關(guān)系。因此Zernike 算法不僅可以對(duì)線性度較高的峰值波長(zhǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確擬合，也可以對(duì)非線性旁瓣進(jìn)行有效擬合。

3.3 sinc2擬合

sinc2函數(shù)［24］擬合首先通過對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與載入，然后通過設(shè)置初始迭代值進(jìn)行數(shù)據(jù)迭代擬合，對(duì)迭代過程設(shè)置終止條件，滿足終止條件則終止數(shù)據(jù)迭代，從而對(duì)結(jié)果進(jìn)行處理，結(jié)果輸出；如果不滿足結(jié)束條件，則返回上一步繼續(xù)進(jìn)行迭代，直至滿足終止條件。sinc2函數(shù)的表達(dá)式為

式中，e、h分別為sinc2擬合函數(shù)模型參數(shù)，對(duì)球差分別為0.2 和0.4 時(shí)的軸向響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行sinc2擬合，結(jié)果如圖11 所示。

圖11 軸向響應(yīng)信號(hào)的sinc2擬合Fig. 11 sinc2 fitting of the axial response signal

如圖11 所示，sinc2函數(shù)擬合利用目標(biāo)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)信息迭代收斂，通過設(shè)置擬合參數(shù)的初始數(shù)據(jù)區(qū)域，對(duì)數(shù)據(jù)多次迭代進(jìn)行擬合，最終得到擬合結(jié)果。通過圖10（a）和（b）可以看出，原始藍(lán)色波長(zhǎng)峰值點(diǎn)和sinc2函數(shù)擬合結(jié)果幾乎一致重合，能夠?qū)崿F(xiàn)波長(zhǎng)與位置信息的精確轉(zhuǎn)換，不僅對(duì)峰值具有較好的擬合效果，同時(shí)也能夠?qū)崿F(xiàn)旁瓣的精準(zhǔn)擬合。因此，相比高斯擬合和Zernike 多項(xiàng)式擬合，sinc2函數(shù)擬合不僅對(duì)主峰進(jìn)行良好的擬合，而且對(duì)旁瓣的擬合效果優(yōu)于高斯擬合和Zernike 多項(xiàng)式擬合。

3.4 擬合算法誤差分析

為獲得更準(zhǔn)確的峰值波長(zhǎng)提取算法，在不同采樣間隔ΔU和球差下進(jìn)行了高斯擬合、Zernike 多項(xiàng)式擬合和sinc2擬合誤差分析，對(duì)分別使用三種方法時(shí)的具體誤差進(jìn)行了計(jì)算，如表2 所示。

表2 不同像差時(shí)的擬合誤差Table 2 The fitting errors at different aberrations

通過表2 可以看出，在球差為0.2 時(shí)，Zernike 多項(xiàng)式擬合的誤差小于高斯擬合，sinc2擬合的最大誤差為0.025 6±3.882×10-4，最小為0.003 8±3.781×10-5；而高斯擬合的最大誤差為0.035 6±4.892×10-4，最小誤差為0.012 2±1.257×10-5；Zernike 多項(xiàng)式擬合的最大誤差和最小誤差介于高斯擬合和sinc2擬合之間。當(dāng)球差分別為0.6 和0.8 時(shí)，sinc2擬合的誤差最小，在三種方法中具有最高的擬合準(zhǔn)確性。因此，在進(jìn)行GRIN 色散物鏡光學(xué)像差影響下軸向響應(yīng)的峰值波長(zhǎng)提取時(shí)，高斯擬合的準(zhǔn)確性最差，其次是Zernike 多項(xiàng)式擬合，sinc2擬合最準(zhǔn)確。

4 結(jié)論

本文主要研究了GRIN 色散物鏡光學(xué)像差對(duì)軸向響應(yīng)峰值提取的影響。首先分析了GRIN 色散透鏡的光學(xué)性能，給出了GRIN 透鏡折射率與阿貝數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)分別仿真了特定波長(zhǎng)下的GRIN 色散透鏡半徑與折射率之間的關(guān)系，獲得了GRIN 色散透鏡的軸向色散數(shù)據(jù)。其次，通過建立優(yōu)化后GRIN 色散物鏡的光學(xué)像差物理模型，研究并分析了球差、像散以及組合像差對(duì)峰值波長(zhǎng)的影響。結(jié)果表明，球差和像散以及組合像差會(huì)引起軸向響應(yīng)峰值波長(zhǎng)偏移，球差為1 時(shí)，峰值波長(zhǎng)偏移6.28 nm，球差大于1 時(shí)，出現(xiàn)雙峰，球差越大引起的峰值波長(zhǎng)偏移越大；像散對(duì)峰值波長(zhǎng)偏移的影響小于球差；組合像差對(duì)峰值波長(zhǎng)的影響最大，出現(xiàn)了三峰旁瓣同時(shí)升高，引起較大的光譜共焦位置偏差或系統(tǒng)誤差，其中軸外像差的影響可忽略。最后，利用高斯擬合、Zernike 多項(xiàng)式擬合和sinc2函數(shù)擬合方法對(duì)不同像差影響下的軸向響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行了數(shù)據(jù)擬合和擬合誤差分析，結(jié)果表明，在進(jìn)行GRIN 色散物鏡光學(xué)像差影響下軸向響應(yīng)的峰值波長(zhǎng)提取時(shí)，sinc2擬合最準(zhǔn)確。研究結(jié)果對(duì)建立像差影響的峰值波長(zhǎng)提取誤差修正和補(bǔ)償算法，并進(jìn)一步提高光譜共焦系統(tǒng)測(cè)量性能具有參考意義。