黃志鋒,劉媛華,張 聰

(上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200093)

0 引 言

目前,算法可以分為經(jīng)典啟發(fā)式算法和新型智能優(yōu)化算法.經(jīng)典啟發(fā)式算法有粒子群算法(PSO)、模擬退火算法(SA)和蟻群算法(ACO)等,雖然經(jīng)典算法應(yīng)用范圍廣,但由于建模簡(jiǎn)單,求解精度不高.因此,近年來,許多學(xué)者針對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)和重新設(shè)計(jì),提出了許多新型智能優(yōu)化算法,如灰狼算法(GWO)[1]、鯨魚優(yōu)化算法(WOA)[2]和獅群算法(LSO)[3]等,雖然新型智能優(yōu)化算法較經(jīng)典算法在求解精度上有所提高,但還存在些許缺點(diǎn),如搜索能力不足、后期搜索效率低下等缺點(diǎn).

獅群優(yōu)化(Lion Swarm Optimization,LSO)算法是近年提出的一種新型智能優(yōu)化算法.目前,LSO算法已經(jīng)成功應(yīng)用于二維路徑規(guī)劃、汽輪機(jī)熱耗功率模型預(yù)測(cè)、極限學(xué)習(xí)機(jī)廢水處理、水電站優(yōu)化調(diào)度和二氧化碳排放預(yù)測(cè)等領(lǐng)域中.針對(duì)獅群算法存在的問題,學(xué)者們提出了許多改進(jìn)策略來提高LSO算法的性能.黃志鋒[4]使用雙種群結(jié)構(gòu),重新構(gòu)造獅群算法,提高算法尋優(yōu)性能,使其能夠在二維路徑規(guī)劃當(dāng)中具有較好的表現(xiàn).汪嬋嬋[5]將禁忌搜索算法和獅群算法相結(jié)合,并加入非線性擾動(dòng)因子和黃金正弦策略,提高算法的尋優(yōu)能力.Yang等人[6]針對(duì)預(yù)測(cè)問題,首先將混沌理論融入獅群算法,將改進(jìn)獅群算法對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,實(shí)驗(yàn)表明,改進(jìn)后算法搜索性能有所提高.Wu等人[7]針對(duì)獅群算法后期收斂速度緩慢、尋優(yōu)能力不足等問題,提出了自適應(yīng)參數(shù)和混沌搜索融入到算法中.Qiao等[8]針對(duì)獅群算法多樣性不足的問題,提出將遺傳算法與獅群算法融合,提高了算法的多樣性和隨機(jī)性,但融合遺傳算法增加了算法運(yùn)行時(shí)間.李彥蒼等[9]針對(duì)獅群算法在不同解空間當(dāng)中,幼獅步長(zhǎng)擾動(dòng)因子影響變化大,且后期收斂速度不足,提出了引入信息熵值實(shí)現(xiàn)算法自適應(yīng)調(diào)節(jié)并增大算法的魯棒性.雖然以上改進(jìn)提高了算法的性能,但改進(jìn)后的算法很難在加快算法收斂度和避免陷入局部最優(yōu)方面取得平衡,且改進(jìn)后在測(cè)試函數(shù)方面提升不夠顯著.因此,本文提出一種使用混沌種群初始化、融合柯西變異、改進(jìn)獅群步長(zhǎng)和融合精英反向?qū)W習(xí)的多策略融合的改進(jìn)獅群算法,以下稱MFLSO.

在標(biāo)準(zhǔn)LSO算法中,獅王負(fù)責(zé)全局最優(yōu)個(gè)體的引導(dǎo),即獅王位置為全局最優(yōu),且獅王只在最優(yōu)值附近搜索,這樣導(dǎo)致算法側(cè)重局部搜索能力,全局尋優(yōu)能力不足,易陷入局部極值.另外,獅群算法在計(jì)算高緯度問題時(shí),跳出局部最優(yōu)的能力不足.針對(duì)以上的不足,首先采用Tent映射,進(jìn)行混沌種群初始化操作,使算法能夠歷遍解空間并提升初始解的質(zhì)量;其次,融合柯西變異,修改獅群最優(yōu)解的更新方程,對(duì)獅群最優(yōu)位置進(jìn)行擾動(dòng)變異操作,提高擺脫局部極值的能力;再次,改進(jìn)母獅更新方式和獅群步長(zhǎng)公式,提高算法后期的搜索能力和尋優(yōu)精度.最后,引入精英反向?qū)W習(xí),避免算法早熟,提升算法收斂精度.

1 獅群優(yōu)化算法

在LSO算法中,每只獅子的位置代表所求問題的潛在解決方案(答案),獵物的質(zhì)量相對(duì)應(yīng)于解決方案的質(zhì)量即適應(yīng)度值.現(xiàn)假設(shè)所求問題f(x)的空間維度為D,設(shè)置種群的數(shù)量為N,獅群可以用矩陣表示:

(1)

獅群的每一個(gè)獅子可以用一個(gè)D維向量表示:

Xi=(Xi1,Xi2,…,XiD),1≤i≤N

(2)

種群初始化:

xi,j=xmin,j+rand(0,1)·(xmax,j-xmin,j)

(3)

式中i=1,2,…,n;j=1,2,…,D;rand(0,1)是隨機(jī)數(shù);xmin,j和xmax,j是第j維度的下限和上限.

獅群中成年獅的數(shù)量會(huì)影響最終優(yōu)化結(jié)果.成年獅負(fù)責(zé)尋優(yōu),而幼獅的位置更新使算法更具有多樣性,有利于增強(qiáng)算法的差異性,使算法具有更強(qiáng)的搜索能力.成年獅比例因子β∈(0,1),因此為了平衡算法的收斂速度和尋優(yōu)能力,設(shè)置β=0.3.

首先,為保證獅王能優(yōu)先于其他獅子進(jìn)食獵物,獅王會(huì)在最佳位置周圍內(nèi)進(jìn)行搜索和小范圍移動(dòng),即適應(yīng)度值最小的位置,獅王的更新公式為:

(4)

式(4)中xk+1代表獅王每次迭代后獅群中的最優(yōu)個(gè)體,gbestk為第k次迭代后獅群的最優(yōu)解,Pbestk代表經(jīng)歷k次循環(huán)后,獅王歷史最優(yōu)位置,γ是[0,1]區(qū)間內(nèi)服從高斯分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù).

其次,母獅群體主要負(fù)責(zé)識(shí)別并包圍獵物,狩獵時(shí)會(huì)選擇另一只母獅進(jìn)行合作.母獅位置更新公式為:

(5)

(6)

其中:

(7)

(8)

(9)

幼獅的移動(dòng)需要在規(guī)定范圍內(nèi),ac為隨迭代次數(shù)遞減的線性擾動(dòng)因子,隨著算法計(jì)算次數(shù)增加,步長(zhǎng)隨之縮小,從而幫助幼獅先在更廣的范圍內(nèi)搜索獵物,然后演變?yōu)楂C物相鄰域的局部搜索:

(10)

2 改進(jìn)獅群算法

2.1 基于混沌的種群初始化方法

對(duì)于采用并行迭代方式尋優(yōu)的智能優(yōu)化算法,種群初始化能決定算法求解的好壞,標(biāo)準(zhǔn)的LSO算法初始化采用式(3)rand函數(shù)隨機(jī)初始化個(gè)體,這種生成方式具有較大的隨機(jī)性,不會(huì)覆蓋整個(gè)解的空間區(qū)域,會(huì)降低算法的尋優(yōu)效率.因此本文采用Tent混沌初始化種群的方法,混沌初始化能夠提高算法搜索的隨機(jī)性并充分分布解空間.

Tent混沌種群初始化操作如下:

(11)

當(dāng)φ∈(0,1)且x∈[0,1]時(shí),系統(tǒng)(11)處于混沌狀態(tài).

2.2 融合柯西變異

在標(biāo)準(zhǔn)的LSO算法中,獅王只會(huì)在自身的附近進(jìn)行小范圍的搜索,在算法的前中后期都可能陷入局部最優(yōu)解.因此本研究為增強(qiáng)LSO算法跳出局部最優(yōu)解的能力,采用柯西變異擾動(dòng)對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行變異,確保算法在局部尋優(yōu)時(shí)具有更大的種群多樣性,加快種群逼近最優(yōu)位置的速度.柯西變異是由柯西分布產(chǎn)生的,柯西分布概率密度如式(12)所示:

(12)

當(dāng)a=1時(shí),稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布.從圖1可以看到,柯西分布,在0處的峰值為0.3,小于高斯;此外柯西分布更為平緩,下降的速度更為緩慢,柯西分布更加均勻,因此柯西相比高斯具有更強(qiáng)的變異擾動(dòng)能力,更易擺脫局部最優(yōu),較小的峰值指導(dǎo)個(gè)體快速搜尋最優(yōu)位置,所以本文將柯西變異引入到獅群算法每代最優(yōu)個(gè)體中,發(fā)揮柯西變異算子的擾動(dòng)能力,提升算法全局尋優(yōu)性能.

圖1 標(biāo)準(zhǔn)柯西、高斯分布概率密度曲線Fig.1 Probability density curve of standard Cauchy and Gaussian distribution

因此,獅群最優(yōu)位置公式為:

Gbest(k)=gbestk+cauchy(0,1)⊕gbestk

(13)

其中,Gbest(k)表示第k代經(jīng)柯西擾動(dòng)后獅群的最優(yōu)位置;gbestk表示第k代最優(yōu)位置.柯西變異算子在獅群最優(yōu)解位置即獅王位置進(jìn)行擾動(dòng)變異操作,加強(qiáng)算法跳出最優(yōu)解的能力.

2.3 改進(jìn)獅群步長(zhǎng)公式和母獅行為

LSO算法中,幼獅和母獅位置的更新能決定算法尋優(yōu)的質(zhì)量,但如果優(yōu)化問題的維度很大,即獅群的搜索空間很大,會(huì)使算法的步長(zhǎng)step、參數(shù)αf和αc比較大,即隨著迭代次數(shù)增加,參數(shù)減小,但優(yōu)化問題很大時(shí),參數(shù)變化就不明顯,這會(huì)使得在算法的后期,母獅還在大范圍的搜索解,更像隨機(jī)搜索,算法的效率降低.因此,需要修改獅群的步長(zhǎng)公式,使之能夠更好適應(yīng)不同維度的問題.

(14)

改進(jìn)后的步長(zhǎng)和參數(shù)會(huì)隨著迭代次數(shù)的變化更加敏感,在大維度問題優(yōu)化過程中,隨著迭代次數(shù)增加,算法后期能進(jìn)行更精確的搜索,提高搜索效率.

為提高尋優(yōu)能力,對(duì)母獅位置移動(dòng)公式進(jìn)行修改:

(15)

式中r∈[0,1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)分布的一個(gè)數(shù),當(dāng)0≤r≤0.5時(shí)執(zhí)行原來的更新方式;當(dāng)0.5

2.4 融合精英反向?qū)W習(xí)

Tizhoosh等人[10]于2015年提出反向?qū)W習(xí)機(jī)制,根據(jù)學(xué)者研究發(fā)現(xiàn),反向解可以有效增加種群的多樣性和質(zhì)量.郭雨鑫等人[11]提出融合反向?qū)W習(xí)的HHO算法,實(shí)驗(yàn)顯示反向?qū)W習(xí)提升了算法的收斂性能和尋優(yōu)能力.Saunhita[12]等人利用反向?qū)W習(xí)優(yōu)化蛾焰算法,改善了其趨同性.反向?qū)W習(xí)的原理是根據(jù)當(dāng)前解計(jì)算方向位置的解,接著從當(dāng)前解和方向解的種群中選擇最優(yōu)解作為下一代個(gè)體.

設(shè)在D維搜索空間中,獅群的可行解為:

Xi=(xi,1,xi,2…,xi,D),(xj∈[xmin,j,xmax,j])

(16)

xmin,j和xmax,j是第j維度的最小值(下限)和最大值(上限),其反向解為:

(17)

其中:

(18)

其中r是區(qū)間[0,1]上的隨機(jī)數(shù)字.

為避免反向解比當(dāng)前解更難搜索到最優(yōu)值,本文采用精英反向?qū)W習(xí),能夠提高算法多樣性,避免早熟.

設(shè)獅群的可行解的極值點(diǎn)作為種群的精英個(gè)體:

(19)

其反向解:

(20)

其中:

(21)

(22)

2.5 MFLSO算法步驟

綜上所述,本文提出的融合多策略獅群算法(記作MFLSO)的算法如下所示:

算法.MFLSO

1.Randomly generate ofNlion individuals using chaotic initialization.

2.while t

3.Calculate the number of lion king and lionesses in the lion swarm

4.Generate the opposite solution

5.Calculate Individual Search Boundary According to Upper and Lower Bounds

7. fori=1∶Number of adult lions

8. Update the location of the i-th lioness based on Eq.(14)

9. end for

10. fori=1∶Number of cubs

11. q=rand(0,1);

12. if q<1/3

13. The cub moves to the lion king and eats near the lion king

14. else if 1/3

15. The cub moves around the lioness and learns to hunt

16. else

17. The cub is driven away from the lion king

18. end if

19. end for

20. Update the location of the lion king according to Eq.(13)

21. fori=1∶Number of adult lions

22. The lion and the lioness mate to create a new cub

23. end for

24. Calculate the fitness value all updated lion positions

25.According to fitness,the firstnlions are retained and the rest were eliminated

26. t=t+1

27.end while

2.6 MFLSO算法復(fù)雜度分析

下面將對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的LSO算法和本文的MFLSO算法進(jìn)行復(fù)雜度分析比對(duì).

假設(shè)獅群的規(guī)模為N,優(yōu)化問題的維度為D,最大迭代次數(shù)為T,種群初始化的時(shí)間為t0,每一維隨機(jī)數(shù)的生成時(shí)間維t1,求解適應(yīng)度值得時(shí)間維f(D),則標(biāo)準(zhǔn)的LSO初始化過程得時(shí)間復(fù)雜度用下式表示:

T1=O(t0+N(f(D)+t1D))=O(f(D)+D)

(23)

對(duì)獅群進(jìn)行分類,獅王占據(jù)最優(yōu)位置、母獅合作捕獵、幼獅跟隨學(xué)習(xí)的時(shí)間復(fù)雜度為O(N),計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度得時(shí)間復(fù)雜度為O(N*f(D)),所以LSO總的時(shí)間復(fù)雜度為:

TLSO=O(f(D)+D)+O(N*f(D))

(24)

故LSO算法最終得復(fù)雜度為O(N),只有最高次數(shù)的N才有意義.

在獅王更新階段,采用式(13)進(jìn)行柯西變異擾動(dòng)策略產(chǎn)生最優(yōu)解的時(shí)間為t1,母獅更新階段只是改變更新公式,時(shí)間復(fù)雜度并未改變,反向解的時(shí)間復(fù)雜度為O(N),綜上分析MFLSO時(shí)間復(fù)雜度為:

TCLSO=O((f(D)+D)+O(N*f(D))+t1)+O(N)=O(f(D)+D)

(25)

因此,MFLSO算法和LSO算法的復(fù)雜度相同,對(duì)算法的改進(jìn)并沒有增加計(jì)算的負(fù)擔(dān).

3 實(shí)驗(yàn)仿真及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)環(huán)境:操作系統(tǒng)Windows 11(64bit),處理器AMD R7 5800H with Radeon Graphics.3.20 GHz,電腦內(nèi)存16G,仿真平臺(tái)Matlab 2021a.

3.1 求解標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)實(shí)驗(yàn)

為了測(cè)試MFLSO算法處理函數(shù)優(yōu)化問題的能力,本節(jié)將選取13個(gè)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù),如表1所示,其中F1～F6為多維單峰測(cè)試函數(shù),F7～F9為多維多峰測(cè)試函數(shù),F10～F13為固定維數(shù)多峰測(cè)試函數(shù).

表1 國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Table 1 International standard test functio

選取8種算法作為對(duì)照組算法:GA、PSO、GWO、WOA、LSO、DCSOA-S[13](2021)、IHHO[14](2021)和ILSO[5](2021)以全面評(píng)估本文所提MFLSO算法的性能.其中GA交叉概率pc=0.8,變異概率pm=0.1;PSO學(xué)習(xí)因子c1=2,c2=2,慣性權(quán)重ω=0.8;GWO系數(shù)A=2;WOA狩獵行為概率ps=0.6,螺旋形態(tài)常數(shù)b=1;LSO和MFLSO成年獅比例β=0.3,其他算法參數(shù)見參考文獻(xiàn).

為避免偶然性,所有算法參數(shù)設(shè)置一致,迭代次數(shù)tmax=500,維度D=30,種群規(guī)模均取N=30,每種算法獨(dú)立運(yùn)行10輪,取每輪結(jié)果的平均值.

表2為測(cè)試結(jié)果,對(duì)于單峰測(cè)試函數(shù)F1～F4,本文所提算法能找到最優(yōu)值并且算法在10輪運(yùn)行中,均值和標(biāo)準(zhǔn)差最小,說明改進(jìn)后的算法更具有穩(wěn)定性和更好的收斂精度.在F5～F6沒有搜索到最優(yōu)值,但是對(duì)比算法也沒有搜索到最優(yōu)值,但相比于其他算法,本文算法收斂精度更高.

表2 測(cè)試函數(shù)結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of test function results

多峰測(cè)試函數(shù)F7～F9的結(jié)果顯示,本文所提MFLSO算法相較于對(duì)比算法平均值和標(biāo)準(zhǔn)差最小,說明MFLSO算法在處理更復(fù)雜的問題時(shí)有更強(qiáng)的穩(wěn)定性.雖然在函數(shù)F8上沒有找到最優(yōu)值,但在幾個(gè)對(duì)比算法中,MFLSO尋優(yōu)結(jié)果相比對(duì)比算法最接近理論最優(yōu)值,表明算法具有較強(qiáng)的搜索能力.對(duì)于固維函數(shù)F10～F13,由于維數(shù)降低,9種算法求解的準(zhǔn)確率均有所提高,運(yùn)算簡(jiǎn)單函數(shù)方面,算法的性能相差不大.

通過13個(gè)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所提的MFLSO算法,相比LSO算法有較大的提升.相較于對(duì)比算法,大部分測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)過程中,MFLSO算法平均值和標(biāo)準(zhǔn)差最小,穩(wěn)定性最高、結(jié)果最接近理論最優(yōu)值.總體而言,MFLSO算法在測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)中具有明顯優(yōu)勢(shì).部分函數(shù)收斂圖如圖2所示.

圖2 6種對(duì)比算法在部分測(cè)試函數(shù)上的收斂曲線Fig.2 Convergence curves of 6 comparison algorithm on some functions

3.2 CEC2014復(fù)雜函數(shù)分析

為了更好地驗(yàn)證MFLSO算法尋優(yōu)的能力和魯棒性,本文選取CEC2014(國(guó)際進(jìn)化計(jì)算大會(huì))復(fù)雜函數(shù)中的部分單峰函數(shù)(UN)、多峰函數(shù)(MN)、混合型函數(shù)(HF),見表3.該測(cè)試函數(shù)相比標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)更加復(fù)雜.設(shè)置種群數(shù)量為N=30,維度D=30,迭代次數(shù)tmax=1000,獨(dú)立運(yùn)算10輪,計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)差.將本文算法與GA、PSO、GWO、WOA、LSO五個(gè)算法進(jìn)行對(duì)比.

由表4可知,MFLSO在單峰、多峰和混合類型的CEC測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)上表現(xiàn)最佳,相較于另外5種算法,MFLSO的結(jié)果最接近理論最佳值,標(biāo)準(zhǔn)差大多數(shù)情況下小于對(duì)比函數(shù),說明MFLSO算法具有較好的尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性.

表4 CEC2014函數(shù)測(cè)試結(jié)果(部分)Table 4 CEC2014 function test results(part)

結(jié)合3.1節(jié)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的結(jié)果和CEC2014測(cè)試函數(shù)的結(jié)果可以看出,LSO算法在一些國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)表現(xiàn)不錯(cuò),但在CEC測(cè)試函數(shù)表現(xiàn)較差,LSO算法可能存在零點(diǎn)搜索偏好陷阱[13],即當(dāng)測(cè)試函數(shù)的最優(yōu)值為0時(shí),LSO算法能快速收斂到最優(yōu)值,但是當(dāng)測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值不為0時(shí),如CEC2014測(cè)試函數(shù)的最優(yōu)值均不為0,LSO算法表現(xiàn)最差.MFLSO擺脫了零點(diǎn)搜索偏好陷阱,在國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和CEC2014測(cè)試函數(shù)的尋優(yōu)表現(xiàn)較好,進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)算法的尋優(yōu)能力.

總體而言,MFLSO在較為復(fù)雜的CEC2014函數(shù)上,也具有很好的穩(wěn)定性和尋優(yōu)能力.

3.3 壓力容器設(shè)計(jì)問題

壓力容器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖3所示,目的是使各項(xiàng)成本總和最小.其中包括4個(gè)決策變量和4個(gè)約束條件,決策變量是外殼的厚度Ts(x1)、封蓋厚度Th(x2)、殼體半徑R(x3)以及圓柱形截面長(zhǎng)度Ls(x4),其模型表示為:

圖3 壓力容器設(shè)計(jì)圖Fig.3 Structure design drawing of welded beam

(26)

分別使用GA、PSO、GWO、WOA、LSO和MFLSO對(duì)該問題進(jìn)行求解,并將6種算法的求解結(jié)果進(jìn)行比較.

3.4 壓拉彈簧設(shè)計(jì)問題

彈簧設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)如圖4所示,使其在外力、震動(dòng)頻率等約束條件下質(zhì)量最小化,共有3個(gè)決策變量和4個(gè)約束條件,其中決策變量分別是直徑d(x1)、平均線圈直接D(x2)、繞線圈數(shù)N(x3),其數(shù)學(xué)模型如下:

圖4 彈簧結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)圖Fig.4 Structure design drawing of tension spring

(27)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5和表6,從結(jié)果可以看出,MFLSO算法對(duì)拉壓壓力容器設(shè)計(jì)和彈簧設(shè)計(jì)優(yōu)化問題效果要優(yōu)于其他5種算法.通過對(duì)兩種工程實(shí)例測(cè)試,進(jìn)一步驗(yàn)證了MFLSO算法在實(shí)際工程領(lǐng)域具有可行性和一定應(yīng)用前景,且效果較其他算法較好.

表5 7種不同算法求解壓力容器設(shè)計(jì)問題的最優(yōu)解對(duì)比Table 5 Comparsion of optimal solution for the pressure vessel design problem by seven different algorithm

表6 7種不同算法求解壓力容器設(shè)計(jì)問題的最優(yōu)解對(duì)比Table 6 Comparsion of optimal solution for the pressure vessel design problem by seven different algorithm

4 結(jié) 論

針對(duì)基礎(chǔ)LSO算法搜索效率低、易陷入局部極值和后期收斂性不足等問題,提出了一種改進(jìn)獅群算法.首先,使用混沌生成初始種群,提高算法初始解的質(zhì)量,使之能夠平均分布在整個(gè)解空間;其次,在算法最優(yōu)解處引入柯西變異,提高算法逃出局部極值的能力;再次,改進(jìn)母獅位置更新方式和獅群步長(zhǎng)方程,提高算法后期的收斂精度和速度;最后,融合了精英反向?qū)W習(xí),避免算法早熟,提高算法解的質(zhì)量.

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性,選取了13個(gè)國(guó)際通用測(cè)試函數(shù)和部分CEC2014測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明MFLSO算法性能最優(yōu),且具有較好的收斂精度;將MFLSO算法應(yīng)用在工程實(shí)例中,所得結(jié)果最優(yōu).通過實(shí)驗(yàn)證明本文所提MFLSO算法在測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)上和工程實(shí)際應(yīng)用中相比其他算法具有明顯優(yōu)勢(shì).當(dāng)然本算法也存在局限性,雖然在測(cè)試函數(shù)中所提算法收斂精度最高,但個(gè)別函數(shù)只能接近理論最優(yōu)值,本算法還有進(jìn)一步提高的空間.