王忠明，吳國(guó)慶，茅靖峰，胡 坤

（南通大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇 南通 226019）

1 引言

為了進(jìn)一步滿足現(xiàn)代機(jī)床加工業(yè)的技術(shù)需求，機(jī)床加工必然朝著高速化和精密化方向發(fā)展。微織構(gòu)機(jī)床憑借其可以精確的加工出復(fù)雜微觀形貌結(jié)構(gòu)，并滿足快速定位系統(tǒng)的技術(shù)要求，因此被廣泛應(yīng)用于機(jī)床加工領(lǐng)域。伺服系統(tǒng)和滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)構(gòu)成了微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)，而伺服系統(tǒng)的性能影響著微織構(gòu)機(jī)床的速度跟蹤精度[1-3]。在設(shè)計(jì)伺服系統(tǒng)的進(jìn)程中，PID控制器憑借其適用性強(qiáng)和簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際使用中[4]。然而PID參數(shù)整定困難成為科研一大難點(diǎn)，隨著智能算法研究的不斷深入，人們開(kāi)始將其應(yīng)用于PID參數(shù)尋優(yōu)中。文獻(xiàn)[5]為了解決系統(tǒng)階躍響應(yīng)超調(diào)以及振蕩的問(wèn)題，提出使用人群搜索優(yōu)化算法進(jìn)行參數(shù)整定，提高系統(tǒng)的控制精度；文獻(xiàn)[6]針對(duì)微織構(gòu)機(jī)床位置跟蹤精度不高的問(wèn)題，建立微織構(gòu)機(jī)床伺服傳動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，采用前饋與反饋結(jié)合的改進(jìn)方法，提高了機(jī)床的位置跟蹤精度；文獻(xiàn)[7]針對(duì)水泵系統(tǒng)控制精度不高的問(wèn)題，使用人群搜索優(yōu)化算法獲得良好的PID參數(shù)自整定效果，提高了灌溉系統(tǒng)的運(yùn)行穩(wěn)定性。

綜上所述，為了進(jìn)一步提高微織構(gòu)機(jī)床速度伺服跟蹤精度，在建立機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出基于改進(jìn)人群搜索優(yōu)化算法的前饋PID 控制策略，實(shí)現(xiàn)微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)的PID參數(shù)尋優(yōu)設(shè)計(jì)。為驗(yàn)證該控制策略的實(shí)際效果，采用Matlab搭建仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，與傳統(tǒng)智能優(yōu)化算法相比較。仿真結(jié)果表明，基于ISOA優(yōu)化的前饋補(bǔ)償PID優(yōu)化效果更好，速度跟蹤性能得到很大改善，驗(yàn)證了其正確有效性。

2 微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)建模

2.1 交流永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)假設(shè)為理想電機(jī)：渦流損耗被忽略；永磁體也無(wú)阻尼作用；電機(jī)阻尼繞組等效于d、q軸上兩個(gè)短路的阻尼繞組。建立坐標(biāo)的等效變換，根據(jù)矢量控制原理，進(jìn)而得到d-q坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型[8]，其矢量圖模型，如圖1所示。

圖1 永磁同步電機(jī)矢量圖Fig.1 Permanent Magnet Synchronous Motor Vector

由圖1可得出其d-q軸上電壓平衡方程式為：

式中：R—等效電阻值；Lq=Ld—dq軸電感；ωr—電機(jī)輸出軸轉(zhuǎn)子角速度；id、iq—dq軸電流；ud、uq—dq軸電壓；pn—磁極對(duì)數(shù)；φf(shuō)—永磁體上恒定磁通。

根據(jù)式（1）可推導(dǎo)出PMSM的電流方程為：

PMSM的電磁轉(zhuǎn)矩Te為[9]：

2.2 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)建模

滾珠絲杠與伺服電機(jī)通過(guò)聯(lián)軸器相連在一起，滾珠絲杠通過(guò)兩端的軸承支撐，工作臺(tái)由滾珠絲杠螺母旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，沿著直線導(dǎo)軌副做直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，光柵尺作為負(fù)反饋裝置，構(gòu)成系統(tǒng)全閉環(huán)，其模型[10]，如圖2所示。

圖2 滾珠絲杠進(jìn)給機(jī)構(gòu)模型Fig.2 Ball Screw Feed Mechanism Model

式中：TL—擾動(dòng)；J—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，可由等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jo1、Jo2、絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jg和電機(jī)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JM求出；F—總的阻尼系數(shù)，可由電機(jī)軸的阻尼FM、滾珠絲杠阻尼Fg和絲杠與電機(jī)間等效阻尼F1、F2求出；Z1∕Z2—折算比。

2.3 機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)模型

在假設(shè)理想電機(jī)的條件下，使Ld=Lq=L，F(xiàn)M=0，為了實(shí)現(xiàn)快速調(diào)速，采用id=0方法用于控制PMSM調(diào)速系統(tǒng)定子電流解耦，完全解耦的微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

根據(jù)式（5）的狀態(tài)方程，微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)框圖可描述，如圖3所示。

圖3 微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)框圖Fig.3 Block Diagram of the Servo Feed System for Micro-Texture Machine Tools

根據(jù)圖3，微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)傳遞函數(shù)GM(s)為：

3 進(jìn)給系統(tǒng)線性控制器設(shè)計(jì)

3.1 PID控制

微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)所采用的傳統(tǒng)PID控制器，主要是對(duì)三個(gè)環(huán)節(jié)參數(shù)Ki、Kp、Kd整定，PID控制器框圖，如圖4所示。

圖4 PID控制器框圖Fig.4 PID Controller Block Diagram

其控制規(guī)律表示為：

式中：e(t)—速度跟蹤誤差；Ti、Td—積分時(shí)間常數(shù)和微分時(shí)間常數(shù)。

3.2 前饋補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

考慮到傳統(tǒng)PID控制的反饋控制環(huán)節(jié)存在延時(shí)問(wèn)題，這些問(wèn)題會(huì)造成控制滯后甚至失效，因此提出前饋補(bǔ)償?shù)腜ID 控制方式。其原理框圖，如圖5所示。

圖5 前饋PID控制器框圖Fig.5 Feedforward PID Controller Block Diagram

系統(tǒng)傳遞函數(shù)ωr(s)∕r(s)和系統(tǒng)誤差關(guān)于輸入的傳遞函數(shù)e(s)∕r(s)為：

式中：r(s)—初始輸入的信號(hào)；uq(s)—拉氏變換下的電壓輸入；GPID(s)—拉氏變換下PID傳遞函數(shù)；e(s)—拉氏變換下的速度跟蹤誤差；Kf1、Kf2—前饋增益系數(shù)。

由上式得可知，當(dāng)f1(s)+f2(s)=1∕GM(s)時(shí)，理論上可消除系統(tǒng)誤差。盡管在實(shí)際使用中無(wú)法完全消除系統(tǒng)誤差，但可以將其降低到可接受的水平，盡可能不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，機(jī)床速度伺服跟蹤精度得到很大提升。

對(duì)于PID采樣周期Tc較短的情況，可通過(guò)PID離散化處理，直接將連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換離散系統(tǒng)，因此前饋補(bǔ)償PID離散控制律可表示為：

式中：e(k)—速度跟蹤誤差。

對(duì)于一個(gè)存在非線性和滯后性的微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的PID控制器調(diào)參困難成為難題，因此采用改進(jìn)的人群搜索優(yōu)化算法的PID參數(shù)自整定，來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)全局最優(yōu)控制。

4 人群搜索算法及其改進(jìn)

4.1 PID控制

人群搜索算法[11]是一種新型人類(lèi)種群行為的智能算法，把搜索行為的集和當(dāng)作初始種群，行為個(gè)體作為個(gè)體解，對(duì)位置和方向推理判斷是通過(guò)人類(lèi)在進(jìn)行搜索時(shí)的模擬，實(shí)現(xiàn)所求問(wèn)題的最優(yōu)求解。

使用時(shí)間積分的絕對(duì)值來(lái)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，以期得到合適的動(dòng)態(tài)迭代特性，構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)f為：

人群搜索優(yōu)化算法遵循人群搜索規(guī)則，利用Fuzzy系統(tǒng)的逼近功能，可得到搜索步長(zhǎng)αfj關(guān)系式為：

式中：ψfj—隸屬度函數(shù)的參數(shù)；

?fj—搜索空間目標(biāo)函數(shù)的隸屬度。

通過(guò)對(duì)預(yù)動(dòng)方向de、利他方向da和利己方向dp的理性分析，得出搜索方向df為：

式中：sign()—符號(hào)函數(shù)；m1、m2—[0，1] 區(qū)間隨機(jī)實(shí)數(shù)。

得到搜索步長(zhǎng)αfj和搜索方向df后，再進(jìn)行個(gè)體位置更新，得到更新后的位置xfj(t+1)為：

4.2 改進(jìn)的SOA算法

為了解決人群搜索算法在前期搜索效率低以及后期搜索陷入局部極值而無(wú)法求出全局最優(yōu)解的問(wèn)題[12]，提出了混沌初始化優(yōu)化策略，并且引入cauchy變異算子，Logistic混沌映射函數(shù)反復(fù)迭代[13-14]：

模擬試塊注漿試驗(yàn)結(jié)束后，在頂面位置和側(cè)面位置各取一組芯樣(6塊)，并對(duì)其芯樣進(jìn)行抗壓試驗(yàn)。由于試驗(yàn)1的注漿固結(jié)效果較差，漿液擴(kuò)散不均勻?qū)е旅撃：笸暾圆?，無(wú)法取芯，故只對(duì)試驗(yàn)2—試驗(yàn)4進(jìn)行取芯和單軸抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)。代表性試樣及單軸壓縮試驗(yàn)見(jiàn)圖5，不同模擬試驗(yàn)方案下的試樣取樣部位及其單軸抗壓強(qiáng)度值見(jiàn)表2。

式中：Φ—迭代次數(shù)；μ—調(diào)節(jié)參數(shù)。

在(0，1) 區(qū)間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)H維的基準(zhǔn)粒子y0，y0=(y01，y02，y03···y0H)，產(chǎn)生混沌種群集合yn+1，j為：

接著將式(0，1) 映射到搜尋空間[-Γ，Γ]中，得到H維粒子種群xn+1，j為：

式中：n=0，1，2，···，N，j=1，2，···，H。

為了解決搜索后期陷入局部極值的現(xiàn)象，引入cauchy變異算子，柯西分布的主要表現(xiàn)為其分布函數(shù)擁有較長(zhǎng)的兩翼，其生成的隨機(jī)數(shù)的變異范圍更廣，因此柯西變異算子增大的變異范圍使改進(jìn)算法擁有更廣的搜索范圍。

柯西變異的計(jì)算公式為［15-16］：

式中：p—隨機(jī)變異率；

cauchy()—準(zhǔn)柯西分布函數(shù)。

接著使用柯西分布對(duì)Gbest執(zhí)行變異操作為：

式中：r—變異權(quán)重；Gbestj—全局最優(yōu)第j維分量；λ—常數(shù)10；A()—柯西分布最初產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)。

5 基于ISOA算法的前饋控制器設(shè)計(jì)

5.1 ISOA-PID控制器原理圖

利用基于ISOA的前饋補(bǔ)償PID控制策略，對(duì)輸出速度跟蹤值及其誤差值分別進(jìn)行優(yōu)化處理，調(diào)節(jié)控制器的三個(gè)參數(shù)Kp、Ki、Kd，提高速度跟蹤精度，消除速度跟蹤誤差，到其控制系統(tǒng)原理，如圖6所示。

圖6 控制系統(tǒng)原理框圖Fig.6 Block Diagram of the Control System

5.2 ISOA-PID的算法流程

ISOA優(yōu)化PID參數(shù)流程圖，如圖7所示。

圖7 ISOA優(yōu)化PID參數(shù)流程圖Fig.7 Flow Chart of ISOA Optimization PID Parameters

6 仿真測(cè)試與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證ISOA+前饋PID算法的正確有效性，設(shè)計(jì)耦合模型參數(shù)，得出微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)傳遞函數(shù)，基于MATLAB仿真與人群搜索優(yōu)化（SOA）、粒子群優(yōu)化算法（PSO）和遺傳優(yōu)化算法（GA）進(jìn)行結(jié)果對(duì)比。建模所需參數(shù)，如表1所示。

表1 機(jī)電耦合模型參數(shù)Tab.1 Parameters of Electromechanical Coupling Model

微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

針對(duì)微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真研究，分別編寫(xiě)基于ISOA、SOA、PSO和GA優(yōu)化算法程序，設(shè)置起始種群為30，維數(shù)為3，采樣周期為1ms，最大迭代次數(shù)為100代，隸屬度最小值為0.0111，隸屬度峰值為0.9500，最小權(quán)重值為0.1，權(quán)重峰值為0.9，四種優(yōu)化算法仿真Kp、Ki、Kd參數(shù)，如表2所示。仿真得到SOA、GA、ISOA和PSO控制適應(yīng)度值函數(shù)控制構(gòu)制曲線，如圖8所示。四種算法的迭代次數(shù)和最優(yōu)適應(yīng)度值，如表3所示。

表2 四種優(yōu)化算法仿真Kp、Ki和Kd參數(shù)Tab.2 Four Kinds of Optimization Algorithm Simulation Kp、Ki and Kd Parameters

表3 四種算法的迭代次數(shù)與最優(yōu)適應(yīng)度表Tab.3 The Number of Iterations and Optimal Fitness of the Algorithms

圖8 適應(yīng)度函數(shù)控制曲線Fig.8 Fitness Function Control Curve

PSO優(yōu)化算法經(jīng)過(guò)3次迭代獲得的最優(yōu)適應(yīng)度值最差且為5.3×10-3，SOA優(yōu)化算法經(jīng)過(guò)10次迭代獲得其適應(yīng)度函數(shù)的最優(yōu)適應(yīng)度為4.9742×10-4，GA優(yōu)化算法經(jīng)過(guò)21次迭代找到的最優(yōu)適應(yīng)度為7.6817×10-5，而ISOA 優(yōu)化算法找到的最優(yōu)適應(yīng)度為1.3618×10-6，且僅需要12次迭代。由此可見(jiàn)，四種優(yōu)化算法相比較，PSO優(yōu)化算法穩(wěn)定性最差，而ISOA優(yōu)化算法在尋找最優(yōu)適應(yīng)度值速度最快且最穩(wěn)定,如表2、圖8所示。

將式(19)作為仿真的基礎(chǔ)，輸入為r=0.5 sin(2πt)的正弦加速度信號(hào)，接著使用6種算法仿真，正弦響應(yīng)速度跟蹤曲線，如圖9所示。正弦響應(yīng)速度跟蹤誤差曲線，如圖10所示。分別將正弦響應(yīng)速度跟蹤曲線和正弦響應(yīng)速度跟蹤誤差曲線進(jìn)行局放大，使改進(jìn)方法與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的比對(duì)能更清楚直觀的表達(dá)，正弦響應(yīng)速度跟蹤曲線部分放大圖，如圖11所示。正弦響應(yīng)速度跟蹤誤差曲線部分放大圖，如圖12、圖13所示。

圖9 正弦響應(yīng)速度跟蹤曲線Fig.9 Sinusoidal Response Speed Tracking Curve

圖10 正弦響應(yīng)速度跟蹤誤差曲線Fig.10 Sine Response Velocity Tracking Error Curve

圖11 正弦響應(yīng)速度跟蹤曲線部分放大圖Fig.11 Partial Enlarged View of the Sine Response Speed Tracking Curve

圖12 正弦響應(yīng)速度跟蹤誤差曲線部分放大圖Fig.12 Partial Enlarged View of Sine Response Velocity Tracking Error Curve

圖13 正弦響應(yīng)速度跟蹤誤差曲線部分放大圖Fig.13 Partial Enlarged View of Sine Response Velocity Tracking Error Curve

由圖11可知，6種算法中，ISOA+前饋補(bǔ)償PID 速度伺服跟蹤效果最佳，跟蹤精度較高，而常規(guī)PID跟蹤精度最差。由圖12所知，在6種算法中，GA+前饋PID誤差峰值最大且為0.058rad∕s，而ISOA+前饋PID 誤差峰值最小且為0.046rad∕s。由圖13所示，ISOA+前饋補(bǔ)償PID 方法調(diào)節(jié)最快，0.06s 達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，其次PSO+前饋補(bǔ)償PID方法0.08s達(dá)到穩(wěn)態(tài)，其他算法速度跟蹤性能略差。綜上所述，對(duì)于大多數(shù)非線性帶有遲滯環(huán)節(jié)系統(tǒng)，微織構(gòu)機(jī)床伺服運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)基于ISOA優(yōu)化的前饋補(bǔ)償PID控制效果最優(yōu)。

7 結(jié)論

（1）基于ISOA算法優(yōu)化的前饋補(bǔ)償PID控制在微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給控制中調(diào)節(jié)時(shí)間最短，速度伺服跟蹤精確，動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性較好，通過(guò)該改進(jìn)方法可以實(shí)現(xiàn)微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)中的最佳控制策略。

（2）在ISOA 算法的使用過(guò)程中，調(diào)整其適應(yīng)度函數(shù)值和粒子種群的大小能夠改善PID參數(shù)優(yōu)化效果，很大程度消除PID控制器在微織構(gòu)機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)中存在的非線性、時(shí)變性和滯后性問(wèn)題；前饋補(bǔ)償作為延時(shí)系統(tǒng)中常用的模型控制方法，該方法在盡可能不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，獲得更好的動(dòng)態(tài)特性和更高的控制精度。

（3）仿真結(jié)果表明，基于ISOA 的微織構(gòu)機(jī)床前饋伺服控制可以很好的滿足機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)的自動(dòng)控制要求，可應(yīng)用于實(shí)際工業(yè)機(jī)床控制中。