劉一萌 白銘陽 張小可 李大慶

摘要：隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，社會技術(shù)系統(tǒng)的體系化、網(wǎng)絡(luò)化、智能化程度逐漸加深，形成系統(tǒng)的復(fù)雜性。這些復(fù)雜系統(tǒng)的“故障”，諸如交通擁堵、謠言傳播、金融崩潰，可以看作是一種“1+1<2”的系統(tǒng)能力負(fù)向涌現(xiàn)，難以直接通過系統(tǒng)單元的還原解析來理解，這對原有可靠性理論提出了挑戰(zhàn)?，F(xiàn)有復(fù)雜系統(tǒng)可靠性的研究主要從故障規(guī)律展開，從兩個角度出發(fā)進(jìn)行，一是考慮故障傳播的系統(tǒng)脆弱性研究；二是考慮故障恢復(fù)的系統(tǒng)適應(yīng)性研究。系統(tǒng)脆弱性研究的重點(diǎn)在于挖掘系統(tǒng)崩潰的內(nèi)在機(jī)理，即故障的傳播機(jī)理。系統(tǒng)適應(yīng)性研究的重點(diǎn)關(guān)注于系統(tǒng)適應(yīng)恢復(fù)能力，包括系統(tǒng)故障恢復(fù)機(jī)理。在此基礎(chǔ)上，本文介紹了相關(guān)的可靠性方法研究。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜系統(tǒng)；可靠性；脆弱性；適應(yīng)性

中圖分類號：N945?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?? 文章編號：1002-4026（2024）02-0074-11

Complex system reliability

Abstract∶With the development of science and technology， the systematization， networking and intelligentization of the social technology system gradually deepen， forming the complexity of the system. The failures of these complex systems， such as traffic jams， rumor spreading， and financial collapse， can be regarded as a kind of "1+1<2" negative emergence of system capability， which is difficult to understand directly through the reduction analysis of system components. It challenges the classical reliability theory. Research on the complex systems reliability mainly focuses on failures laws， which includes two perspectives. One is the study of system vulnerability considering failure propagation. The other is the study of system adaptability considering failure recovery. System vulnerability studies focus on exploring the internal mechanism of system collapse， namely the failure propagation mechanism. System adaptability studies focus on the capacity to adapt and recover， including the system failure recovery mechanism. Based on this， the article introduces relevant research on reliability method.

Key words∶complex system; reliability; vulnerability; adaptability

復(fù)雜系統(tǒng)具有涌現(xiàn)性，難以簡單地由單元的規(guī)律推理得到整體的規(guī)律[1-2]。系統(tǒng)工程為構(gòu)建復(fù)雜社會技術(shù)系統(tǒng)提供指導(dǎo)，并被廣泛應(yīng)用于各個工業(yè)部門中。在錢學(xué)森等老一輩領(lǐng)軍學(xué)者帶領(lǐng)下，我國的系統(tǒng)科學(xué)和工程取得較大發(fā)展，從工程系統(tǒng)走向社會系統(tǒng)，提出開放的復(fù)雜巨系統(tǒng)方法論[3]及其實(shí)踐形式[4]。近年來，系統(tǒng)學(xué)內(nèi)涵得到不斷深化并形成豐富理論成果[5-12]，在社會管理[13]、應(yīng)急救援[14]、農(nóng)業(yè)[15-16]、交通運(yùn)輸[17-18]等各領(lǐng)域均做出積極貢獻(xiàn)。在系統(tǒng)工程方法論與技術(shù)上，我國學(xué)者提出的WSR（物理-事理-人理）方法論[19]、灰色系統(tǒng)方法[20]、TEI@I方法論[21]等都在國內(nèi)外產(chǎn)生了一定影響。

基于火箭及計算機(jī)的工程實(shí)踐，Lusser、馮·諾伊曼等人指出隨著系統(tǒng)越來越復(fù)雜，可靠性成為了決定社會技術(shù)系統(tǒng)能否成功運(yùn)行的關(guān)鍵問題[22-23]，可靠性學(xué)科隨之迅速發(fā)展。20世紀(jì)90年代，可靠性系統(tǒng)工程理論被提出[24]，進(jìn)而學(xué)者們又進(jìn)一步細(xì)化了可靠性系統(tǒng)工程理論并提出其技術(shù)框架[25]。近幾年，系統(tǒng)復(fù)雜性隨著信息技術(shù)和智能技術(shù)的進(jìn)步而不斷提高。一方面，這種復(fù)雜性給系統(tǒng)帶來了脆弱性挑戰(zhàn)，系統(tǒng)出現(xiàn)了不同于簡單系統(tǒng)的故障模式，形成了“1+1<2”的負(fù)向涌現(xiàn)。例如復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)單元之間存在故障耦合，這使得少量單元的故障可能引發(fā)級聯(lián)失效，導(dǎo)致整個系統(tǒng)崩潰。另一方面，復(fù)雜性也可能帶來系統(tǒng)的適應(yīng)性，可使系統(tǒng)具備從擾動中恢復(fù)和適應(yīng)的能力。例如生態(tài)系統(tǒng)中物種多樣性[26]、內(nèi)穩(wěn)態(tài)機(jī)制[27]、共生網(wǎng)絡(luò)的嵌套性[28]等在增加了系統(tǒng)復(fù)雜度的同時，也使得種群和個體能在各種各樣的風(fēng)險挑戰(zhàn)和環(huán)境變化下幸存。

傳統(tǒng)可靠性方法是在元件數(shù)相對較少、元件間關(guān)系較為簡單的系統(tǒng)上發(fā)展起來的，難以適用于分析復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性。為此想要解決這些復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性問題，必須借助系統(tǒng)科學(xué)研究和發(fā)展新理論、新方法應(yīng)對新挑戰(zhàn)。可靠性系統(tǒng)工程的實(shí)質(zhì)是與故障做斗爭，通過研究有關(guān)故障的規(guī)律，從而基于故障規(guī)律對故障進(jìn)行事前預(yù)防和事后修理[24]。對復(fù)雜系統(tǒng)可靠性的研究也需要圍繞其特有故障機(jī)理展開。系統(tǒng)可能因故障擴(kuò)散而全面崩潰，也可能因故障恢復(fù)而穩(wěn)定維持自身性能。因此可將復(fù)雜系統(tǒng)可靠性研究分為考慮故障傳播的系統(tǒng)脆弱性研究和考慮故障恢復(fù)的系統(tǒng)適應(yīng)性研究兩類。

1 考慮故障傳播的系統(tǒng)脆弱性研究

系統(tǒng)脆弱性是指系統(tǒng)被干擾后容易發(fā)生全局性崩潰的性質(zhì)，一些具有罕見性、突發(fā)性等特點(diǎn)的重大事件往往是引發(fā)系統(tǒng)崩潰的原因之一。這類事件通常危害性高且迅速發(fā)生，后果嚴(yán)重并且難以預(yù)測。最為常見的導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生全局性崩潰的原因是故障在系統(tǒng)中的傳播。識別故障傳播的機(jī)制和途徑，有助于減少系統(tǒng)故障，降低系統(tǒng)脆弱性并提高可靠性。

1.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)滲流理論

對故障傳播的研究可以基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)滲流理論。滲流屬于幾何相變現(xiàn)象[29]，統(tǒng)計物理中的滲流理論[30]定量地刻畫了網(wǎng)絡(luò)整體層面的連通性喪失。在滲流過程中，網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)/連邊被逐步移除，導(dǎo)致最大連通子團(tuán)規(guī)模（其度量了網(wǎng)絡(luò)連通性）降低。網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)/連邊移除的方法包括逐步隨機(jī)移除節(jié)點(diǎn)/連邊，或給定某屬性的閾值，通過提高閾值來逐步移除屬性低于閾值的節(jié)點(diǎn)/連邊等。滲流過程中存在臨界點(diǎn)，稱為滲流閾值，在臨界點(diǎn)附近，最大連通子團(tuán)統(tǒng)計上變?yōu)?。以交通網(wǎng)絡(luò)為例[31]（如圖1所示），該研究對每條連邊（道路）計算了當(dāng)前道路車速與最大限速的比例 （r）。對于給定的閾值q，每條道路可以被分為功能正常的道路（r>q）和故障的道路（r

1.2 故障傳播機(jī)理

利用滲流理論對系統(tǒng)故障傳播機(jī)理進(jìn)行研究主要關(guān)注系統(tǒng)的擾動模式以及故障傳播方式。系統(tǒng)的擾動模式是指故障出現(xiàn)的方式，主要包括隨機(jī)擾動和蓄意攻擊兩類。故障傳播方式主要指故障的擴(kuò)散方式，包括傳染病故障模型和級聯(lián)失效模型等。下面主要介紹以上兩種擾動模式和兩種傳播方式。

1.2.1 系統(tǒng)的擾動模式

隨機(jī)擾動是指節(jié)點(diǎn)/連邊的故障在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)產(chǎn)生。研究發(fā)現(xiàn)隨機(jī)擾動下的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有優(yōu)于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性[32]。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是一種度分布（即對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)的總體描述）服從或者接近冪律分布P（k）～k-α的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[33]。理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真表明冪律分布的參數(shù)α<3的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊下難以解體[34]。此外研究還發(fā)現(xiàn)，像互聯(lián)網(wǎng)這種度分布近似為冪律分布的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，雖然對于隨機(jī)刪除節(jié)點(diǎn)這種攻擊具有高度魯棒性，但是針對蓄意攻擊卻相對脆弱。

蓄意攻擊是指挑選復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中具有度數(shù)高、介數(shù)高等特征的重要節(jié)點(diǎn)，或權(quán)重高、重要度高的重要連邊進(jìn)行攻擊使其故障的擾動方式。在蓄意攻擊下，如果按照度的大小順序來移除節(jié)點(diǎn)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)只要刪除極少數(shù)的中心節(jié)點(diǎn)就會崩潰，比隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)更加脆弱[32]。這也表明了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的高度異質(zhì)性，即大部分連邊集中于中心節(jié)點(diǎn)處。除了基于節(jié)點(diǎn)度數(shù)的攻擊策略外，許多研究也基于其他原則的攻擊策略分析故障傳播，例如介數(shù)或基于其他不同中心性的攻擊策略[35]。

1.2.2 系統(tǒng)的故障傳播方式

常見的系統(tǒng)故障傳播模型主要有傳染病模型和級聯(lián)失效模型。傳染病模型是一種引入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論來對流行病傳染現(xiàn)象進(jìn)行分析的方法。傳染病模型框架主要基于兩個假設(shè)：可劃分性和均勻混合性。可劃分性是指傳染病模型按照個體所處階段對其進(jìn)行分類，并且個體可以在不同階段之間轉(zhuǎn)化。均勻混合性是指可以認(rèn)為任何人都可以感染其他任何人[36]，而不需要確切地知道疾病傳播所依賴的接觸網(wǎng)。傳染病模型可以應(yīng)用于不同學(xué)科領(lǐng)域的場景，分析不同類型系統(tǒng)的故障傳播特征，對系統(tǒng)的脆弱性進(jìn)行研究[37]。通過傳染病模型研究發(fā)現(xiàn)，在故障動態(tài)傳播過程中，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是很大的影響因素。例如在疾病傳播過程中，個體主動與已感染個體徹底斷開聯(lián)系[38-39]，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因此變化，進(jìn)而會產(chǎn)生磁滯等豐富的動力學(xué)現(xiàn)象。

級聯(lián)失效是指初始一小部分單元的故障有可能引發(fā)其他單元故障，進(jìn)而產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，最終導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)無法履行正常功能[40]。因此級聯(lián)失效模型可用于研究少數(shù)單元的故障是否會觸發(fā)整個系統(tǒng)的故障等問題。級聯(lián)失效模型大致可分為基于負(fù)載重新分配、基于節(jié)點(diǎn)相互依賴關(guān)系和基于鄰居生存數(shù)量等三大類[41]。

在基于負(fù)載重新分配的級聯(lián)失效模型中，每個單元有相應(yīng)的容量并承擔(dān)一定的負(fù)載。當(dāng)某單元故障時，其所承擔(dān)的負(fù)載會重新分配給其他單元。重新分配后，其他單元節(jié)點(diǎn)的負(fù)載可能超出容量，然后出現(xiàn)新的故障，從而引起故障傳播。最直接的一類假設(shè)是，故障節(jié)點(diǎn)的負(fù)載會傳播給鄰居節(jié)點(diǎn)，如纖維束模型（fiber bundle model） [42]、沙堆模型[43-44]等。研究者圍繞這些模型分析了網(wǎng)絡(luò)的脆弱度如何隨網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)異質(zhì)性等因素而改變。此外，在輸送物質(zhì)、能量、信息的基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)中，流量重配策略并不只是簡單地分配給鄰居[45]。2002年Motter等[46]提出的級聯(lián)失效模型則假定每對節(jié)點(diǎn)之間的流量（如因特網(wǎng)中的數(shù)據(jù)流量、交通系統(tǒng)中的車輛流量）按照最短路徑分配，每個節(jié)點(diǎn)的負(fù)載是該節(jié)點(diǎn)的介數(shù)（通過該節(jié)點(diǎn)的最短路徑數(shù)量），容量是初始負(fù)載的1+α倍，其中α為大于0的容忍（tolerance）參數(shù)。該模型表明，對于該類流量為負(fù)載的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，級聯(lián)失效機(jī)制也會引發(fā)類似于只攻擊關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)而造成整個系統(tǒng)崩潰的現(xiàn)象。

在基于節(jié)點(diǎn)相互依賴關(guān)系的級聯(lián)失效模型中，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間存在依賴關(guān)系，某個節(jié)點(diǎn)故障會引發(fā)依賴于該節(jié)點(diǎn)的相關(guān)節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障。例如，互聯(lián)網(wǎng)依賴于電力網(wǎng)絡(luò)供電，電力網(wǎng)絡(luò)依賴于互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)行控制，電力網(wǎng)與互聯(lián)網(wǎng)形成了相互耦合的網(wǎng)絡(luò)。電力網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)失效，將會導(dǎo)致依賴該節(jié)點(diǎn)的互聯(lián)網(wǎng)中的節(jié)點(diǎn)失效，進(jìn)而引發(fā)依賴于這些互聯(lián)網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的電力網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)失效，故障不斷傳播導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰。對該耦合網(wǎng)絡(luò)模型[47]的研究發(fā)現(xiàn)，耦合關(guān)系較強(qiáng)時會產(chǎn)生不連續(xù)的滲流相變，即最大連通子團(tuán)規(guī)模隨著刪去節(jié)點(diǎn)比例的增加而不連續(xù)地跳變?yōu)?。這對于系統(tǒng)風(fēng)險的預(yù)測、管理是十分不利的。Parshani 等[48]提出了一個分析框架，用于研究同時包括連接關(guān)系連邊和依賴關(guān)系連邊的網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)健性。研究表明連接關(guān)系連邊的故障和依賴關(guān)系連邊之間存在協(xié)同作用，并引發(fā)了級聯(lián)故障的迭代過程，對網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)健性產(chǎn)生破壞性影響。Li等[49]建立了空間嵌入的相互依賴網(wǎng)絡(luò)模型，并發(fā)現(xiàn)首次故障的范圍超過閾值半徑時就可能導(dǎo)致全局崩潰。上述負(fù)載重新分配的級聯(lián)失效模型也可以建模為節(jié)點(diǎn)間相互依賴關(guān)系[50]。

在基于鄰居存活數(shù)量的級聯(lián)失效模型中，當(dāng)節(jié)點(diǎn)鄰居存活數(shù)量小于給定閾值時節(jié)點(diǎn)故障。這一類模型包括閾值模型（threshold model）[51]、k-core滲流[52]以及Bootstrap滲流[53]等模型。閾值模型中，每個節(jié)點(diǎn)故障當(dāng)且僅當(dāng)鄰居故障的比例超過該節(jié)點(diǎn)的閾值，從而初始故障節(jié)點(diǎn)可能觸發(fā)整個系統(tǒng)的崩潰。k-core滲流過程中，度小于k的節(jié)點(diǎn)會被移除，移除節(jié)點(diǎn)可能帶來其他節(jié)點(diǎn)的度也小于k，從而引發(fā)級聯(lián)失效的現(xiàn)象。k-core滲流能夠區(qū)分出核心節(jié)點(diǎn)與邊緣節(jié)點(diǎn)，可用于分析網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、識別脆弱節(jié)點(diǎn)[54]。Bootstrap滲流模型中，初始激活f比例的節(jié)點(diǎn)，其他節(jié)點(diǎn)若有k個鄰居激活則也會被激活，從而產(chǎn)生級聯(lián)現(xiàn)象。此外，除了基于故障傳播模型之外，隨著人工智能的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、圖學(xué)習(xí)等方法也逐漸用于研究故障傳播[55]。

1.3 基于故障傳播模型的可靠性研究

上述故障機(jī)理揭示了復(fù)雜系統(tǒng)故障的傳播規(guī)律，為分析和降低系統(tǒng)脆弱性提供有力的理論支持。目前研究者們基于故障傳播模型展開了對系統(tǒng)可靠性方法的研究，包括對復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性設(shè)計、可靠性評估、關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)識別等。

在復(fù)雜系統(tǒng)可靠性設(shè)計方面，Adilson等[56]提出了一種基于在初始攻擊后選擇性地進(jìn)一步移除部分節(jié)點(diǎn)和連邊的無成本防御策略，通過移除部分單元阻斷了故障級聯(lián)傳播，提高系統(tǒng)的可靠性。Yingrui等[57] 研究了相互依賴網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載重分配策略。相互依賴網(wǎng)絡(luò)中，故障連邊的一部分負(fù)載會通過耦合關(guān)系轉(zhuǎn)移給相互依賴的另一個網(wǎng)絡(luò)上。該研究提出了通過恰當(dāng)選擇網(wǎng)絡(luò)耦合強(qiáng)度（一個網(wǎng)絡(luò)中分配給其他網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載比例）可以增加兩個網(wǎng)絡(luò)生存的可能性。Christian等[58]提出了通過正確選擇一小部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行自治（獨(dú)立于網(wǎng)絡(luò)其他部分）可以顯著提高魯棒性。研究發(fā)現(xiàn)介數(shù)和度是選擇此類節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵參數(shù)，通過保護(hù)介數(shù)最高的少數(shù)節(jié)點(diǎn)可顯著降低系統(tǒng)崩潰的可能性。Schfer等[59]提出了在故障發(fā)生時重新分配負(fù)載的策略。該策略中基于最短流路徑的策略能夠?qū)⒅暗漠悩?gòu)負(fù)載分布的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)和鏈路變?yōu)楦泳鶆虻呢?fù)載分布。這些流路徑的使用能夠增加網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，同時減少網(wǎng)絡(luò)容量布局的投入成本。Pastor-Satorras等[60]提出了依賴于網(wǎng)絡(luò)特定無標(biāo)度結(jié)構(gòu)的最佳免疫策略，為避免故障傳播并提高系統(tǒng)魯棒性提供了理論分析。

在復(fù)雜系統(tǒng)可靠性評估方面，Li等[31]對交通流網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行滲流分析，發(fā)現(xiàn)在滲流閾值附近交通系統(tǒng)的連通狀態(tài)會從全局連通變?yōu)榫植窟B通，為控制系統(tǒng)擁堵提供了有效幫助。此外，Li等[50]發(fā)現(xiàn)因局部故障引發(fā)的故障呈現(xiàn)輻射狀以近似常速進(jìn)行傳播，通過理論分析給出故障傳播速度則隨著單元對故障的容忍程度的升高而降低，并在大量網(wǎng)絡(luò)中得到了驗(yàn)證。Zeng等[61]基于滲流理論對故障模式進(jìn)行研究，提出了涵蓋交通擁堵從出現(xiàn)、演化到消散整個生命周期的健康管理框架，為未來交通的智能管理提供了理論支撐。

在識別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)方面，Yang等[62]提出了一個動態(tài)級聯(lián)失效模型，模擬了電網(wǎng)系統(tǒng)中的級聯(lián)故障。研究基于該模型識別出了電網(wǎng)的關(guān)鍵脆弱節(jié)點(diǎn)并發(fā)現(xiàn)給定電網(wǎng)中的相同擾動會在不同條件下導(dǎo)致不同的結(jié)果，即從沒有損壞到大規(guī)模級聯(lián)。Nesti等[63]構(gòu)建了故障傳播模型，對電網(wǎng)的故障模式進(jìn)行識別，根據(jù)故障的可能性對線路故障模式進(jìn)行排序，并確定了此類電網(wǎng)最可能的故障發(fā)生方式和故障傳播方式。Liu等[64]利用小世界網(wǎng)絡(luò)理論分析了系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)統(tǒng)計特性，提出了基于小世界聚類的故障傳播模型，并利用Dijkstra算法找到了具有高擴(kuò)散能力的故障傳播路徑和相關(guān)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，驗(yàn)證了該方法能夠有效地發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的薄弱點(diǎn)，為設(shè)計改進(jìn)和故障預(yù)防提供重要依據(jù)。

2 考慮故障恢復(fù)的系統(tǒng)適應(yīng)性研究

適應(yīng)性是指系統(tǒng)在不斷變化的環(huán)境中仍然保持自身性能的能力。系統(tǒng)適應(yīng)性使系統(tǒng)能從壓力中恢復(fù)[65]，反映系統(tǒng)適應(yīng)性的兩個關(guān)鍵因素分別是系統(tǒng)降級程度和系統(tǒng)性能恢復(fù)時間[66]。圖2展示了系統(tǒng)性能在擾動前后的變化[67]。te時刻系統(tǒng)受到擾動，td時刻系統(tǒng)受擾結(jié)束，系統(tǒng)性能水平由F（t0） 降至F（td）。ts時刻系統(tǒng)開始恢復(fù)性能，tf時刻系統(tǒng)到達(dá)最終平衡狀態(tài)，系統(tǒng)性能水平恢復(fù)至F（tf）。

2.1 復(fù)雜系統(tǒng)適應(yīng)性的景觀理論

復(fù)雜系統(tǒng)對擾動的適應(yīng)過程可用動力系統(tǒng)理論進(jìn)行建模。動力系統(tǒng)理論中，系統(tǒng)由一組狀態(tài)變量所刻畫，系統(tǒng)狀態(tài)變量的各個分量聯(lián)合定義了系統(tǒng)是否健康可靠。一個處在健康狀態(tài)的復(fù)雜系統(tǒng)，在擾動下可能會突然進(jìn)入故障狀態(tài)，例如生態(tài)系統(tǒng)的物種滅絕[65]、熱帶雨林的沙地化[68]、金融危機(jī)[69]等等。系統(tǒng)狀態(tài)變量的演化規(guī)律由微分方程或隨機(jī)微分方程所描述，系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)就是微分方程的吸引子[70]，系統(tǒng)內(nèi)可能存在多個吸引子。外界對一個復(fù)雜系統(tǒng)的狀態(tài)變量x或者系統(tǒng)參數(shù)θ進(jìn)行擾動，系統(tǒng)因適應(yīng)性不會直接脫離現(xiàn)有吸引子狀態(tài)，依舊維持穩(wěn)定。但當(dāng)擾動足夠大，超過系統(tǒng)恢復(fù)能力的臨界點(diǎn)，使系統(tǒng)無法適應(yīng)該變化時，系統(tǒng)可能脫離原有的吸引子狀態(tài)，被其他吸引子吸引。

由于微分方程或隨機(jī)微分方程常?？捎赡芰烤坝^所表示，復(fù)雜系統(tǒng)擾動前后的適應(yīng)過程可以用景觀進(jìn)行直觀描述[71]（如圖3所示）。系統(tǒng)可以看作景觀曲面上運(yùn)動的小球，景觀高度表示系統(tǒng)的能量（Lyapunov函數(shù)值），小球傾向于往系統(tǒng)能量低的狀態(tài)運(yùn)動，即小球會傾向于向谷底運(yùn)動。如圖3（a）所示該景觀有兩個“谷底”，每個“谷底”表示一個吸引子。對處于健康態(tài)的系統(tǒng)施加擾動，系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變，對應(yīng)于圖中實(shí)心小球的移動。小擾動下系統(tǒng)狀態(tài)不會脫離健康態(tài)吸引子。大擾動下系統(tǒng)則會脫離健康態(tài)吸引子，進(jìn)入故障態(tài)。對系統(tǒng)參數(shù)θ的擾動，對應(yīng)于圖中三維景觀形狀的改變（如圖3（b）所示）。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)改變到臨界點(diǎn)時，健康態(tài)失穩(wěn)，系統(tǒng)發(fā)生故障。而當(dāng)系統(tǒng)健康態(tài)對應(yīng)的吸引域越大、越深時，系統(tǒng)越容易在擾動后保持在健康態(tài)。

在處理由少數(shù)變量描述的低維系統(tǒng)時，只需沿用經(jīng)典的動力系統(tǒng)理論即可。但當(dāng)處理由高維狀態(tài)變量描述的系統(tǒng)時，例如大量基因組成的調(diào)控網(wǎng)絡(luò)或由大量物種組成的生態(tài)系統(tǒng)，就會面臨狀態(tài)空間指數(shù)爆炸、系統(tǒng)參數(shù)多等困難。對于此類高維系統(tǒng)，可結(jié)合統(tǒng)計物理中的粗?；?、平均場近似等技術(shù)來克服局限性[72-73]。近年來，自旋玻璃理論被引入用于分析生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)[74]。例如Altieri 等[75]使用自旋玻璃中的Replica方法對廣義L-V方程進(jìn)行求解，發(fā)現(xiàn)了低噪音下存在玻璃相，系統(tǒng)吸引子的個數(shù)正比于變量數(shù)的指數(shù)倍。Gao等[76]對包括基因、化學(xué)反應(yīng)等多種類型網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)進(jìn)行粗粒化得到了系統(tǒng)崩潰的臨界點(diǎn)。

2.2 基于景觀理論的系統(tǒng)適應(yīng)性分析

景觀理論能夠衡量系統(tǒng)是否即將發(fā)生故障或者崩潰，并揭示復(fù)雜系統(tǒng)崩潰的根源，為分析系統(tǒng)適應(yīng)性提供支持，被廣泛應(yīng)用于不同領(lǐng)域。例如在生物領(lǐng)域， Huang等[77]發(fā)現(xiàn)了癌癥等疾病可以理解為基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)中的吸引子。這種吸引子可能是正常細(xì)胞中本就具備的，也可能是基因突變后產(chǎn)生的。在生態(tài)領(lǐng)域，Hoegh-Guldberg等[78]分析了珊瑚礁的恢復(fù)能力，識別了珊瑚生長速率（系統(tǒng)參數(shù)）的臨界點(diǎn)。當(dāng)珊瑚生長速率下降到臨界點(diǎn)，原本由珊瑚主導(dǎo)的生態(tài)環(huán)境將突變?yōu)樗逯鲗?dǎo)的生態(tài)環(huán)境。在社會科學(xué)領(lǐng)域，極端思想的傳播在互聯(lián)網(wǎng)屬于一種故障態(tài)對應(yīng)的吸引子。Johnson等[79]建立了網(wǎng)絡(luò)極端思想的模型，指出了由于極端思想網(wǎng)絡(luò)的適應(yīng)性，單個平臺大幅度封殺并不足以使極端思想在互聯(lián)網(wǎng)上滅絕，反而可能加劇極端思想的發(fā)展。

將復(fù)雜系統(tǒng)的崩潰或者故障建模為健康狀態(tài)吸引子的失穩(wěn)，也可以指導(dǎo)不同領(lǐng)域復(fù)雜系統(tǒng)可靠性設(shè)計和診斷。在復(fù)雜系統(tǒng)可靠性設(shè)計方面，研究發(fā)現(xiàn)元素間存在強(qiáng)耦合的系統(tǒng)容易存在臨界點(diǎn)，減少耦合可避免系統(tǒng)發(fā)生突變[40]。隨著復(fù)雜系統(tǒng)單元之間的交互變強(qiáng)，系統(tǒng)單元的行為可能會嚴(yán)重改變或損害其他單元的功能或操作。因?yàn)閺?qiáng)耦合系統(tǒng)的動態(tài)變化往往很快，可能超過人類反應(yīng)的速度。金融危機(jī)就是強(qiáng)耦合導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰的事例。因此為了使系統(tǒng)具有更高的可靠性，需要適當(dāng)降低系統(tǒng)中的耦合強(qiáng)度。在可靠性診斷方面，有研究利用臨界點(diǎn)附近存在臨界慢化[80]以及閃爍（flickerling）[81]等現(xiàn)象實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)（是否達(dá)到臨界點(diǎn)）的預(yù)測[82]。例如，Veraart等[83]構(gòu)建了藍(lán)藻微觀世界來測試臨界慢化現(xiàn)象，藍(lán)藻微觀世界受到擾動的實(shí)驗(yàn)表明，臨界慢化確實(shí)發(fā)生，恢復(fù)速度可用于衡量復(fù)雜系統(tǒng)的恢復(fù)能力，預(yù)測系統(tǒng)到臨界狀態(tài)的距離，從而判斷系統(tǒng)是否即將崩潰。

3 討論與結(jié)論

可靠性學(xué)科是一門與故障做斗爭的學(xué)科，復(fù)雜系統(tǒng)可靠性的研究主要圍繞故障展開。故障有兩種演化方向：故障擴(kuò)散與故障恢復(fù)。研究從這兩個角度出發(fā)，一是考慮故障傳播的系統(tǒng)脆弱性研究；二是考慮故障恢復(fù)的系統(tǒng)適應(yīng)性研究。系統(tǒng)脆弱性研究的重點(diǎn)在于挖掘系統(tǒng)崩潰的內(nèi)在機(jī)理，即故障的傳播機(jī)理。系統(tǒng)適應(yīng)性研究的重點(diǎn)在于基于動力系統(tǒng)與景觀理論挖掘系統(tǒng)故障恢復(fù)機(jī)理，包括分析系統(tǒng)故障恢復(fù)的臨界點(diǎn)?；诠收蟼鞑31，50]和故障恢復(fù)機(jī)理[84-86]，提出了一系列復(fù)雜系統(tǒng)可靠性技術(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜系統(tǒng)的評估、診斷、調(diào)控[87-89]。

伴隨著全球化以及信息技術(shù)的發(fā)展，交通系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、金融系統(tǒng)等系統(tǒng)必將越發(fā)復(fù)雜，系統(tǒng)內(nèi)單元數(shù)量以及關(guān)聯(lián)程度都將大大增加。單元間的相互依賴可能使少數(shù)單元的故障引發(fā)整個系統(tǒng)的級聯(lián)失效，單元間的復(fù)雜相互作用也可能產(chǎn)生未知的故障態(tài)吸引子，產(chǎn)生負(fù)向涌現(xiàn)。因此，構(gòu)建、維護(hù)復(fù)雜系統(tǒng)必將面臨可靠性的挑戰(zhàn)。在過度耦合帶來風(fēng)險的同時，也可以利用系統(tǒng)的復(fù)雜性來增強(qiáng)系統(tǒng)的可靠性。如何通過在系統(tǒng)內(nèi)恰當(dāng)?shù)匾霃?fù)雜性（單元之間恰當(dāng)?shù)慕M織形式）以賦予系統(tǒng)自我恢復(fù)能力，將是未來構(gòu)建高可靠復(fù)雜系統(tǒng)的關(guān)鍵[90]。

參考文獻(xiàn)：

［1］于景元. 錢學(xué)森系統(tǒng)科學(xué)思想和系統(tǒng)科學(xué)體系[J]. 科學(xué)決策， 2014（12）： 1-22. DOI： 10.3773/j.issn.1006-4885.2014.12.002.

[2]GALLAGHER R， APPENZELLER T. Beyond reductionism[J]. Science， 1999， 284（5411）： 79. DOI： 10.1126/science.284.5411.79.

[3]錢學(xué)森， 于景元， 戴汝為. 一個科學(xué)新領(lǐng)域：開放的復(fù)雜巨系統(tǒng)及其方法論[J]. 自然雜志， 1990， 12（1）： 3-10.

[4]錢學(xué)森．創(chuàng)建系統(tǒng)學(xué)[M]．太原： 山西科學(xué)技術(shù)出版社， 2001：11.

[5]郭雷. 系統(tǒng)科學(xué)進(jìn)展[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2017.

[6]方?？? 神經(jīng)系統(tǒng)中的復(fù)雜性研究[J]. 上海理工大學(xué)學(xué)報， 2011， 33（2）： 103-110. DOI： 10.13255/j.cnki.jusst.2011.02.006.

[7]方福康， 袁強(qiáng). 經(jīng)濟(jì)增長的復(fù)雜性與 “J” 結(jié)構(gòu)[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐， 2002， 22（10）： 12-20. DOI： 10.3321/j.issn： 1000-6788.2002.10.003.

[8]王眾托.知識系統(tǒng)工程與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)體系[J]. 上海理工大學(xué)學(xué)報， 2011， 33（6）： 613-630. DOI： 10.13255/j.cnki.jusst.2011.06.007.

[9]彭張林，張強(qiáng)，楊善林.綜合評價理論與方法研究綜述[J].中國管理科學(xué)，2015，23（S1）：245-256.

[10][ZK（#]陳光亞. 向量優(yōu)化問題某些基礎(chǔ)理論及其發(fā)展[J]. 重慶師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2005， 22（3）： 6-9. DOI： 10.3969/j.issn.1672-6693.2005.03.002.

[11]狄增如.探索復(fù)雜性是發(fā)展系統(tǒng)學(xué)的重要途徑[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2011，31（S1）：37-42.

[12]吳俊， 鄧宏鐘， 譚躍進(jìn). 基于自然連通度的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究[C]// 第五屆全國復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)學(xué)術(shù)會議論文（摘要）匯集. 青島：中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會， 2009： 100.

[13]盛昭瀚， 張維. 管理科學(xué)研究中的計算實(shí)驗(yàn)方法[J]. 管理科學(xué)學(xué)報， 2011， 14（5）： 1-10.

[14]徐玖平， 盧毅. 地震災(zāi)后重建系統(tǒng)工程的綜合集成模式[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐， 2008， 28（7）： 1-16. DOI： 10.3321/j.issn： 1000-6788.2008.07.001.

[15]趙慶禎， 王文賓， 趙培忻. 農(nóng)業(yè)物流績效評價的ANP方法[J]. 農(nóng)業(yè)系統(tǒng)科學(xué)與綜合研究， 2005， 21（3）： 237-240.

[16]陳錫康， 楊翠紅. 農(nóng)業(yè)復(fù)雜巨系統(tǒng)的特點(diǎn)與全國糧食產(chǎn)量預(yù)測研究[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐， 2002， 22（6）： 108-112. DOI： 10.3321/j.issn： 1000-6788.2002.06.019.

[17]高自友， 趙小梅， 黃海軍等. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與城市交通系統(tǒng)復(fù)雜性問題的相關(guān)研究[J]. 交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息， 2006， 6（3）： 41-47. DOI： 10.16097/j.cnki.1009-6744.2006.03.007.

[18]黃海軍. 城市交通網(wǎng)絡(luò)平衡分析： 理論與實(shí)踐[M]. 北京： 人民交通出版社， 1994.

[19]顧基發(fā)， 唐錫晉， 朱正祥. 物理-事理-人理系統(tǒng)方法論綜述[J]. 交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息， 2007， 7（6）： 51-60. DOI： 10.16097/j.cnki.1009-6744.2007.06.001.

[20]鄧聚龍. 灰色系統(tǒng)綜述[J]. 世界科學(xué)， 1983（7）： 1-5.

[21]汪壽陽， 余樂安， 黎建強(qiáng). TEI@I方法論及其在外匯匯率預(yù)測中的應(yīng)用[J]. 管理學(xué)報， 2007， 4（1）： 21-27. DOI： 10.3969/j.issn.1672-884X.2007.01.004.

[22]TAIT N. Robert lusser and lussers law[J]. Safety and Reliability， 1995， 15（2）： 15-18. DOI： 10.1080/09617353.1995.11690648.

[23]von NEUMANN J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components[M]//Automata Studies. （AM-34）. Princeton： Princeton University Press， 1956： 43-98. DOI： 10.1515/9781400882618-003.

[24]楊為民， 阮鐮， 屠慶慈. 可靠性系統(tǒng)工程：理論與實(shí)踐[J]. 航空學(xué)報， 1995 （S1）： 1-8.

[25]康銳， 王自力. 可靠性系統(tǒng)工程的理論與技術(shù)框架[J]. 航空學(xué)報， 2005， 26（5）： 633-636. DOI： 10.3321/j.issn： 1000-6893.2005.05.018.

[26]DONALDSON-MATASCI M C， LACHMANN M， BERGSTROM C T. Phenotypic diversity as an adaptation to environmental uncertainty[J]. Evolutionary Ecology Research， 2008， 10（4）： 493-515.

[27]REY K， AMIOT R， FOUREL F， et al. Oxygen isotopes suggest elevated thermometabolism within multiple Permo-Triassic therapsid clades[J]. eLife， 2017， 6： e28589. DOI： 10.7554/eLife.28589.

[28]BASCOMPTE J， JORDANO P， MELIN C J， et al. The nested assembly of plant-animal mutualistic networks[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America， 2003， 100（16）： 9383-9387. DOI： 10.1073/pnas.1633576100.

[29]HAVLIN S， BUNDE A. 3. percolation[M]//Contemporary Problems in Statistical Physics. Philadelphia： Society for Industrial and Applied Mathematics， 1994： 103-146. DOI： 10.1137/1.9781611971552.ch3.

[30]STAUFFER D， AHARONY A. Introduction to percolation theory[M]. London： Taylor & Francis， 2018. DOI： 10.1201/9781315274386.

[31]LI D Q， FU B W， WANG Y P， et al. Percolation transition in dynamical traffic network with evolving critical bottlenecks[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America， 2015， 112（3）： 669-672. DOI： 10.1073/pnas.1419185112.

[32]ALBERT R， JEONG H， BARABSI A L. Error and attack tolerance of complex networks[J]. Nature， 2000， 406： 378-382. DOI： 10.1038/35019019.

[33]BARABSI A L. Scale-free networks： a decade and beyond[J]. Science， 2009， 325（5939）： 412-413. DOI： 10.1126/science.1173299.

[34]COHEN R， EREZ K， BEN-AVRAHAM D， et al. Resilience of the Internet to random breakdowns[J]. Physical Review Letters， 2000， 85（21）： 4626-4628. DOI： 10.1103/PhysRevLett.85.4626.

[35]HOLME P， KIM B J， YOON C N， et al. Attack vulnerability of complex networks[J]. Physical Review E， 2002， 65（5）： 056109. DOI： 10.1103/physreve.65.056109.

[36]ANDERSON R M， MAY R M. Infectious diseases of humans dynamics and control[M]. Oxford： Oxford University Press， 1991.

[37]PASTOR-SATORRAS R， CASTELLANO C， van MIEGHEM P， et al. Epidemic processes in complex networks[EB/OL]. （2014-08-12）［2024-02-01］. http：//arxiv.org/abs/1408.2701

[38]GROSS T， DOMMAR DLIMA C J， BLASIUS B. Epidemic dynamics on an adaptive network[J]. Physical Review Letters， 2006， 96（20）： 208701. DOI： 10.1103/PhysRevLett.96.208701.

[39]QIU Z R， ESPINOZA B， VASCONCELOS V V， et al. Understanding the coevolution of mask wearing and epidemics： a network perspective[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America， 2022， 119（26）： e2123355119. DOI： 10.1073/pnas.2123355119.

[40]HELBING D. Globally networked risks and how to respond[J]. Nature， 2013， 497： 51-59. DOI： 10.1038/nature12047.

[41]VALDEZ L D， SHEKHTMAN L， LA ROCCA C E， et al. Cascading failures in complex networks[J]. Journal of Complex Networks， 2020， 8（2）： cnaa013. DOI： 10.1093/comnet/cnaa013.

[42]MORENO Y， GMEZ J B， PACHECO A F. Instability of scale-free networks under node-breaking avalanches[J]. Europhysics Letters， 2002， 58（4）： 630-636. DOI： 10.1209/epl/i2002-00442-2.

[43]GOH K I， LEE D S， KAHNG B， et al. Sandpile on scale-free networks[J]. Physical Review Letters， 2003， 91（14）： 148701. DOI： 10.1103/PhysRevLett.91.148701.

[44]GAI P， KAPADIA S. Contagion in financial networks[J]. Proceedings of the Royal Society A： Mathematical， Physical and Engineering Sciences， 2010， 466（2120）： 2401-2423. DOI： 10.1098/rspa.2009.0410.

[45]WANG W X， CHEN G R. Universal robustness characteristic of weighted networks against cascading failure[J]. Physical Review E， Statistical， Nonlinear， and Soft Matter Physics， 2008， 77（2）： 026101. DOI： 10.1103/PhysRevE.77.026101.

[46]MOTTER A E， LAI Y C. Cascade-based attacks on complex networks[J]. Physical Review E， 2002， 66（6）： 065102. DOI： 10.1103/physreve.66.065102.

[47]BULDYREV S V， PARSHANI R， PAUL G， et al. Catastrophic cascade of failures in interdependent networks[J]. Nature， 2010， 464： 1025-1028. DOI： 10.1038/nature08932.

[48]PARSHANI R， BULDYREV S V， HAVLIN S. Critical effect of dependency groups on the function of networks[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America， 2011， 108（3）： 1007-1010. DOI： 10.1073/pnas.1008404108.

[49]LI W， BASHAN A， BULDYREV S V， et al. Cascading failures in interdependent lattice networks： the critical role of the length of dependency links[J]. Physical Review Letters， 2012， 108（22）： 228702. DOI： 10.1103/PhysRevLett.108.228702.

[50]ZHAO J C， LI D Q， SANHEDRAI H， et al. Spatio-temporal propagation of cascading overload failures in spatially embedded networks[J]. Nature Communications， 2016， 7： 10094. DOI： 10.1038/ncomms10094.

[51]WATTS D J. A simple model of global cascades on random networks[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America， 2002， 99（9）： 5766-5771. DOI： 10.1073/pnas.082090499.

[52]DOROGOVTSEV S N， GOLTSEV A V， MENDES J F F. K-Core organization of complex networks[J]. Physical Review Letters， 2006， 96（4）： 040601. DOI： 10.1103/PhysRevLett.96.040601.

[53]BAXTER G J， DOROGOVTSEV S N， GOLTSEV A V， et al. Bootstrap percolation on complex networks[J]. Physical Review E， Statistical， Nonlinear， and Soft Matter Physics， 2010， 82（1）： 011103. DOI： 10.1103/PhysRevE.82.011103.

[54]LEE D， JO M， KAHNG B. Critical behavior of k-core percolation： Numerical studies[J]. Physical Review E， 2016， 94（6）： 062307. DOI： 10.1103/PhysRevE.94.062307.

[55]GRASSIA M， DE DOMENICO M， MANGIONI G. Machine learning dismantling and early-warning signals of disintegration in complex systems[J]. Nature Communications， 2021， 12： 5190. DOI： 10.1038/s41467-021-25485-8.

[56]MOTTER A E. Cascade control and defense in complex networks[J]. Physical Review Letters， 2004， 93（9）： 098701. DOI： 10.1103/PhysRevLett.93.098701.

[57]ZHANG Y R， ARENAS A， YAGAN O. Cascading failures in interdependent systems under a flow redistribution model[J]. Physical Review E， 2018， 97（2）： 022307. DOI： 10.1103/PhysRevE.97.022307.

[58]SCHNEIDER C M， YAZDANI N， ARAJO N A M， et al. Towards designing robust coupled networks[J]. Scientific Reports， 2013， 3： 1969. DOI： 10.1038/srep01969.

[59]SCHFER M， SCHOLZ J， GREINER M. Proactive robustness control of heterogeneously loaded networks[J]. Physical Review Letters， 2006， 96（10）： 108701. DOI： 10.1103/PhysRevLett.96.108701.

[60]PASTOR-SATORRAS R， VESPIGNANI A. Immunization of complex networks[J]. Physical Review E， 2002， 65（3）： 036104. DOI： 10.1103/physreve.65.036104.

[61]ZENG G W， SUN Z Y， LIU S Y， et al. Percolation-based health management of complex traffic systems[J]. Frontiers of Engineering Management， 2021， 8（4）： 557-571. DOI： 10.1007/s42524-021-0174-0.

[62]YANG Y， NISHIKAWA T， MOTTER A E. Small vulnerable sets determine large network cascades in power grids[J]. Science， 2017， 358（6365）： eaan3184. DOI： 10.1126/science.aan3184.

[63]NESTI T， ZOCCA A， ZWART B. Emergent failures and cascades in power grids： a statistical physics perspective[J]. Physical Review Letters， 2018， 120（25）： 258301. DOI： 10.1103/PhysRevLett.120.258301.

[64]LIU X F， AN S Q. Failure propagation analysis of aircraft engine system based on the small-world net model[C]//Proceedings of the 32nd Chinese Control Conference. Xian， China：IEEE， 2013： 1214-1219.

[65]HOLLING C S. Resilience and stability of ecological systems[J]. Annual Review of Ecology and Systematics， 1973， 4： 1-23. DOI： 10.1146/annurev.es.04.110173.000245.

[66]ZOBEL C W. Representing perceived tradeoffs in defining disaster resilience[J]. Decision Support Systems， 2011， 50（2）： 394-403. DOI： 10.1016/j.dss.2010.10.001.

[67]HENRY D， EMMANUEL RAMIREZ-MARQUEZ J. Generic metrics and quantitative approaches for system resilience as a function of time[J]. Reliability Engineering & System Safety， 2012， 99： 114-122. DOI： 10.1016/j.ress.2011.09.002.

[68]HIROTA M， HOLMGREN M， VAN NES E H， et al. Global resilience of tropical forest and savanna to critical transitions[J]. Science， 2011， 334（6053）： 232-235. DOI： 10.1126/science.1210657.

[69]HALDANE A G， MAY R M. Systemic risk in banking ecosystems[J]. Nature， 2011， 469： 351-355. DOI： 10.1038/nature09659.

[70]STROGATZ S H. Nonlinear dynamics and chaos with student solutions manual： with applications to physics， biology， chemistry， and engineering[M]. Second edition. Florida： CRC Press， 2018. DOI： 10.1201/9780429399640.

[71]WALKER B， HOLLING C S， CARPENTER S R， et al. Resilience， adaptability and transformability in social-ecological systems[J]. Ecology and Society， 2004， 9（2）： 5. DOI： 10.5751/es-00650-090205.

[72]VOLO M D， ROMAGNONI A， CAPONE C， et al. Biologically realistic mean-field models of conductance-based networks of spiking neurons with adaptation[J]. Neural Computation， 2019， 31（4）： 653-680. DOI： 10.1162/neco_a_01173.

[73]FERET J， DANOS V， KRIVINE J， et al. Internal coarse-graining of molecular systems[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America， 2009， 106（16）： 6453-6458. DOI： 10.1073/pnas.0809908106.

[74]CUI W P， MARSLAND R， MEHTA P. Effect of resource dynamics on species packing in diverse ecosystems[J]. Physical Review Letters， 2020， 125（4）： 048101. DOI： 10.1103/PhysRevLett.125.048101.

[75]ALTIERI A， ROY F， CAMMAROTA C， et al. Properties of equilibria and glassy phases of the random lotka-volterra model with demographic noise[J]. Physical Review Letters， 2021， 126（25）： 258301. DOI： 10.1103/PhysRevLett.126.258301.

[76]GAO J X， BARZEL B， BARABSI A L. Universal resilience patterns in complex networks[J]. Nature， 2016， 530： 307-312. DOI： 10.1038/nature16948.

[77]HUANG S， ERNBERG I， KAUFFMAN S. Cancer attractors： a systems view of tumors from a gene network dynamics and developmental perspective[J]. Seminars in Cell & Developmental Biology， 2009， 20（7）： 869-876. DOI： 10.1016/j.semcdb.2009.07.003.

[78]HOEGH-GULDBERG O， MUMBY P J， HOOTEN A J， et al. Coral reefs under rapid climate change and ocean acidification[J]. Science， 2007， 318（5857）： 1737-1742. DOI： 10.1126/science.1152509.

[79]JOHNSON N F， LEAHY R， RESTREPO N J， et al. Hidden resilience and adaptive dynamics of the global online hate ecology[J]. Nature， 2019， 573： 261-265. DOI： 10.1038/s41586-019-1494-7.

[80]WISSEL C. A universal law of the characteristic return time near thresholds[J]. Oecologia， 1984， 65（1）： 101-107. DOI： 10.1007/BF00384470.

[81]DAKOS V， VAN NES E H， SCHEFFER M. Flickering as an early warning signal[J]. Theoretical Ecology， 2013， 6（3）： 309-317. DOI： 10.1007/s12080-013-0186-4.

[82]SCHEFFER M， CARPENTER S R， LENTON T M， et al. Anticipating critical transitions[J]. Science， 2012， 338（6105）： 344-348. DOI： 10.1126/science.1225244.

[83]VERAART A J， FAASSEN E J， DAKOS V， et al. Recovery rates reflect distance to a tipping point in a living system[J]. Nature， 2012， 481： 357-359. DOI： 10.1038/nature10723.

[84]GAO S L， LI D Q， ZHENG N， et al. Resilient perimeter control for hyper-congested two-region networks with MFD dynamics[J]. Transportation Research Part B： Methodological， 2022（156）： 50-75.

[85]LIU T， GUO S， LIU H， et al. Network resilience in the aging brain[EB/OL]. （2022-02-03）［2024-02-01］.? http：//arxiv.org/abs/2202.01516.

[86]ZHANG L M， ZENG G W， LI D Q， et al. Scale-free resilience of real traffic Jams[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America， 2019， 116（18）： 8673-8678. DOI： 10.1073/pnas.1814982116.

[87]ZENG G W， GAO J X， SHEKHTMAN L， et al. Multiple metastable network states in urban traffic[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America， 2020， 117（30）： 17528-17534. DOI： 10.1073/pnas.1907493117.

[88]ZHONG J L， SANHEDRAI H， ZHANG F M， et al. Network endurance against cascading overload failure[J]. Reliability Engineering & System Safety， 2020， 201： 106916. DOI10.1016/j.ress.2020.106916.

[89]HAMEDMOGHADAM H， ZHENG N， LI D Q， et al. Percolation-based dynamic perimeter control for mitigating congestion propagation in urban road networks[J]. Transportation Research Part C： Emerging Technologies， 2022， 145： 103922. DOI： 10.1016/j.trc.2022.103922.

[90]LIU X M， LI D Q， MA M Q， et al. Network resilience[J]. Physics Reports， 2022， 971： 1-108. DOI： 10.1016/j.physrep.2022.04.002.