摘 要 一本數(shù)學(xué)教科書提出并“證明”勾股定理可以用愛因斯坦質(zhì)能關(guān)系式推導(dǎo)出來。教科書的編寫者混淆了愛因斯坦少年時(shí)對勾股定理的簡潔而睿智的純數(shù)學(xué)推導(dǎo)，與多年后提出的著名的物理大發(fā)現(xiàn)———質(zhì)能關(guān)系式?？茖W(xué)和教育界類似的荒謬貽害深遠(yuǎn)，必須予以澄清。

關(guān)鍵詞 勾股定理;質(zhì)能關(guān)系式;荒謬

1 故事的由來

最近關(guān)于人民教育出版社義務(wù)教科書八年級《數(shù)學(xué)自讀課本》[1]（以下簡稱“教科書”）的“勾股定理與愛因斯坦質(zhì)能關(guān)系式”的匪夷所思的勾連，引起物理界一陣感嘆。勾股定理與愛因斯坦質(zhì)能關(guān)系式在科學(xué)上都是重量級的發(fā)現(xiàn)，而把它們勾連在一起，也可以算是這本號稱“教科書”的編者們的相當(dāng)驚人的發(fā)現(xiàn)。教科書的封面就以勾股定理作圖，可見它的編者們是拿這件事很以為傲的。

愛因斯坦本人在11歲時(shí)還真的給出一個(gè)勾股定理的證明，于是想象力豐富的編者就杜撰了下面的故事：

“2005年是愛因斯坦建立相對論100周年。愛因斯坦在相對論中提出了一個(gè)著名的質(zhì)能方程E=mc2，其中E 表示物質(zhì)所含的所有能量，m 是物質(zhì)的質(zhì)量，c 是光速。這個(gè)質(zhì)能方程是現(xiàn)代制造核武器、核電站的理論基礎(chǔ)?！钡竭@兒，沒大毛病。接下去：

“據(jù)說，勾股定理也曾經(jīng)引起了這位偉大的物理學(xué)家的濃厚興趣，”這也沒錯(cuò)。然后：“與眾不同的是，愛因斯坦是用相對論來證明勾股定理的?！弊x到這兒，筆者不由驚出一身冷汗。相對論可以證明勾股定理，How？ 這怎么可能呢，怎么有關(guān)聯(lián)了呢？ 學(xué)了這么多年物理竟然不知這等妙聞？ 有趣的還在下面，這個(gè)“證明”原來如此：

假設(shè)直角三角形的三條邊為a， b， c，過直角頂點(diǎn)作斜邊 c 的垂線段。

假設(shè)原三角形面積為E，根據(jù)相對論，有E=mc2。

同理，內(nèi)部被分割出來的兩個(gè)小三角形的面積為

E（a）=ma2，E（b）=mb2

因?yàn)閮?nèi)部兩個(gè)小三角形拼成原三角形，所以

E =E（a） + E（b）

也就是

mc2 =ma2 +mb2

兩邊約去m ，就得到了勾股定理

c2 =a2 +b2

看到這里，不禁拍案叫絕，原來愛因斯坦質(zhì)能關(guān)系式可以用來算直角三角形的面積！ 原來質(zhì)能關(guān)系式中的光速c，可以就是直角三角形的斜邊長度c。這種類比真是異想天開，匪夷所思。為了讓故事更吸引人，教科書繼續(xù)編造：

“愛因斯坦這個(gè)證明發(fā)表以后，震驚了國際數(shù)學(xué)界，大家發(fā)現(xiàn)相對論原來有這么大的威力。后來德國著名的數(shù)學(xué)刊物‘Mathematische Annolen聘請愛因斯坦去做了多年的主編?！?/p>

好一個(gè)完美動聽的故事。愛因斯坦發(fā)表過這樣的證明嗎？ 他因此而震驚了國際數(shù)學(xué)界了嗎？ 物理界和數(shù)學(xué)界的朋友們聽到這里都目瞪口呆：謊言就這樣明目張膽地寫入官方教科書里？

2 愛因斯坦對勾股定理的天才論證

事實(shí)又是如何呢？ 愛因斯坦證明過勾股定理還真是歷史事實(shí)，但那是他11歲時(shí)的天才萌發(fā)，離他發(fā)明相對論還有15年之久，談何以相對論證明勾股定理？ 一本著名的科學(xué)史著作《分形、混沌和指數(shù)律（Fractals， chaos， power laws）》[2]，論述了勾股定理（西方稱之為畢達(dá)哥拉斯定理）的由來，其中介紹了愛因斯坦的證明。那一節(jié)的題目就是愛因斯坦的名言：“我要稍微想一想”（I will alittle think）。這個(gè)稍微想一想，發(fā)生在愛因斯坦11歲學(xué)習(xí)歐幾里得幾何學(xué)時(shí)。他那時(shí)已經(jīng)有了追求簡約的思想風(fēng)格，因此覺得歐幾里得關(guān)于畢達(dá)哥拉斯定理的證明是不必要的繁復(fù)（如果你認(rèn)真看看歐幾里得最初的證明，那里有若干條輔助線，一定會同意愛因斯坦的看法），于是只經(jīng)過簡單的思考（A little thinking），愛因斯坦給出了一個(gè)十分簡潔的證明，只需要一根輔助線。這根輔助線把原來的三角形分成兩個(gè)，顯然這兩個(gè)小三角形和原來的大三角形彼此相似。如果大三角形斜邊長度為c，兩個(gè)直角邊長度分別為a 和b，則a和b 分別成為兩個(gè)小三角形的斜邊長度（見圖1）。根據(jù)相似三角形的歐幾里得幾何學(xué)，可以證明這三個(gè)三角形的面積之比等于它們相應(yīng)的一個(gè)邊（例如斜邊）長度平方之比，因此，這三個(gè)三角形的面積可以用Ea =ma2、Eb=mb2 和Ec=mc2 來表示，m 是個(gè)無量綱的常數(shù)。簡單來說，直角三角形的面積是兩個(gè)直角邊長度的乘積之半，而兩個(gè)直角邊長度之比取決于內(nèi)角，例如圖中b=αa，面積即可以寫成ab/2=αa2/2，也就是與一個(gè)邊長的平方成正比。圖中的三個(gè)三角形是相似三角形，這個(gè)比例系數(shù)a 是相同的，所以這三個(gè)三角形的面積之比等于它們相應(yīng)的一個(gè)邊（例如斜邊）長度平方之比。這樣，這三個(gè)三角形的面積之間顯然有下列關(guān)系：

Ea +Eb =Ec

即

ma2 +mb2 =mc2

約去常數(shù)m ， 就得到勾股定理。

多么巧妙而簡潔的證明，出自一位11歲少年之手。細(xì)心的讀者可能會發(fā)現(xiàn)，這里真出現(xiàn)了類似相對論質(zhì)能關(guān)系式的公式：Ec =mc2，于是“教科書”大加發(fā)揮，說成是愛因斯坦用相對論的質(zhì)能關(guān)系式證明了勾股定理。這些編輯絕對是沒經(jīng)過大腦，也不想想在上面的勾股定理證明中，m 只是個(gè)無量綱的常數(shù)而不是質(zhì)量，c 是個(gè)長度而不是光速，E 也不是能量而是面積。兩者之間的關(guān)系，除了表面形似，可以說風(fēng)馬牛不相及！ 讓人不得不佩服編輯們的想象力！

3 勾股定理的各種傳奇證明

至于震驚了國際數(shù)學(xué)界，更是一個(gè)神話。勾股定理的證明從公元前400多年，至今2600多年，有無數(shù)智者徜徉于其中尋求樂趣。就連一位后來當(dāng)了美國總統(tǒng)的加菲爾德先生，也給出一個(gè)頗為聰明的證法（見圖2），后被戲稱為總統(tǒng)證法[2]。如圖2所示，三角形ABC 的面積是c2/2，AEB 和CBD 兩個(gè)三角形面積都是ab/2。這三者面積之和為直角梯形ABED 的面積（a+b）（a+b）/2。因此

因而

a2 +b2 =c2

這個(gè)證明也頗有新意，說明這位后來的美國總統(tǒng)確實(shí)智力過人。

總而言之，勾股定理自古至今堪稱人類智慧的一個(gè)大賽場，包括吸引了11歲的愛因斯坦，但是無論如何，與相對論無關(guān)，與質(zhì)能關(guān)系式完全無關(guān)。

4 相對論質(zhì)能關(guān)系式

那么相對論質(zhì)能關(guān)系式又是何方神圣呢？ 讓我們引述張?zhí)烊卦凇渡系廴绾卧O(shè)計(jì)世界：愛因斯坦的困惑》的介紹[3]：

“愛因斯坦善于‘從一團(tuán)亂麻中尋找出最重要最核心的東西，他天才地在狹義相對論中導(dǎo)出了描述能量質(zhì)量關(guān)系的質(zhì)能公式：E =mc2，……這個(gè)公式已經(jīng)深入人心，是人類歷史上最有名的公式之一，已成為人類文化的一部分。”

“狹義相對論中，三維空間被四維時(shí)空所代替：（t，x，y，z），質(zhì)能關(guān)系表明了靜止質(zhì)量m 和其內(nèi)稟能量的關(guān)系。它表明物體相對于一個(gè)參照系靜止時(shí)仍然有能量mc2。反之，在真空中傳播的一束光，其靜止質(zhì)量是0，但由于它們有運(yùn)動能量，因此它們也有所謂因運(yùn)動而具有的‘相對論質(zhì)量……這個(gè)等式所描述的不是質(zhì)量和能量的互相轉(zhuǎn)化，而是表明了質(zhì)量能量是同一個(gè)東西，物體的質(zhì)量實(shí)際上就是它自身能量的量度?！?/p>

質(zhì)量和能量這種關(guān)聯(lián)，不但是物理學(xué)的重大飛躍，也是哲學(xué)上非凡的突破，是人類認(rèn)識史一個(gè)里程碑式的發(fā)展。

質(zhì)能關(guān)系式的證明，正需要四維時(shí)空的概念。在四維時(shí)空中，可以定義一個(gè)協(xié)變的四維速度：

愛因斯坦很快意識到這一項(xiàng)應(yīng)該被理解為能量，因?yàn)楫?dāng)速度v 極大地小于光速c 的時(shí)候，可以用平方根式的二項(xiàng)式展開而得到：

E 中包含了兩部分，后面一項(xiàng)顯然就是牛頓力學(xué)中質(zhì)量為m 的粒子的動能表達(dá)式，而第一項(xiàng)則可看成是粒子內(nèi)部的能量。當(dāng)速度v=0時(shí)，便得到：E=mc2，即眾所周知的質(zhì)能關(guān)系。

5 結(jié)語

關(guān)于這個(gè)勾股定理與質(zhì)能關(guān)系式的糾纏故事到此可以落幕了?！敖炭茣钡木幷邆儸F(xiàn)在感到尷尬，于是發(fā)了個(gè)聲明，表示“確有文獻(xiàn)記載愛因斯坦在少年時(shí)，曾運(yùn)用相似、利用兩個(gè)小直角三角形的面積和等于大直角三角形的面積，證明過勾股定理。但其證明過程中涉及的公式Ec=mc2 等與相對論的質(zhì)能方程具有類似的形式是一種偶然，并不能說明他是利用相對論證明了勾股定理，因此自讀課本中的有關(guān)表述存在錯(cuò)誤。”這里用“偶然”和“表述存在錯(cuò)誤”來輕描淡寫，實(shí)在看不出誠意所在。他們承認(rèn)：“在自讀課本中出現(xiàn)這樣的問題，說明我們在編輯、審稿過程中不夠嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)?！比欢@僅僅是不夠嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)嗎？ 這是在褻瀆科學(xué)，是以偽科學(xué)在誤導(dǎo)孩子。最后，這個(gè)聲明的著眼點(diǎn)，其實(shí)是欲蓋彌彰、息事寧人，不想太丟人而已：“現(xiàn)在這個(gè)事已經(jīng)形成了一波輿情，還請老師看到有關(guān)內(nèi)容后不再轉(zhuǎn)發(fā)?！比绻嬲J(rèn)識到自己的錯(cuò)誤，以及危害之嚴(yán)重，為什么要遮遮蓋蓋呢？ 難道不應(yīng)該勇敢地向最廣大的讀者群承認(rèn)錯(cuò)誤，挽回?fù)p失嗎？

真誠地認(rèn)識和承認(rèn)錯(cuò)誤，是改正錯(cuò)誤的開始。其實(shí)這個(gè)錯(cuò)誤也不完全在幾位編者，他們水平有限、自以為是，固然是事件的直接起因，但更要追究的是：誰把教科書這樣重大的社會責(zé)任交付給他們？ 在美國，像費(fèi)曼這樣頂尖的物理學(xué)家曾經(jīng)是中小學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)的評審人。我們這里呢？ 誰把中小學(xué)教育和他們的教科書真正當(dāng)回事了？ 教育，當(dāng)然要從娃娃抓起，幼兒、兒童和少年的教育會奠定一個(gè)人一生認(rèn)知的基礎(chǔ)，其無可替代的重要性是不言而喻的！

借鑒于這個(gè)小小的事件，我們期待教育的改革和發(fā)展，期待中國教育強(qiáng)盛的一天。

6 “荒謬”又一例

最近，一則小魔術(shù)風(fēng)靡一時(shí)。表演者擺出六張帶人物形象的撲克牌（J，Q，K），請觀眾任選一張，默記于心。表演者聲稱可以讀出你選的是哪張牌。然后洗牌，重新亮出五張，觀眾選定的那張牌果然不見了?？雌饋矸浅Ｉ衿?、不可思議，號稱世紀(jì)之謎。于是各種解釋匪夷所思。最荒謬的一種是把這說成是“量子糾纏”效應(yīng)，認(rèn)為表演者基于量子糾纏，“讀出”了觀眾的量子信息。

其實(shí)說穿了，這是一個(gè)極為簡單的魔術(shù)。帶人物形象的撲克牌總共有12張。表演者先擺出任意六張，然后從另外剩下的六張中任選五張擺出，當(dāng)然原先的都不在里面。所以你任意選定一張，都不會出現(xiàn)。如此而已。請看下圖。這樣簡單的魔術(shù)騙過了許多人。

由此可見，關(guān)于量子糾纏，已經(jīng)被誤解到何種程度。筆者在《物理》雜志上曾經(jīng)撰文闡述2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的科學(xué)內(nèi)涵[4]，其摘要為：“

2022年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，被一些人誤解為證明了量子糾纏現(xiàn)象。實(shí)際上，包括愛因斯坦本人都承認(rèn)量子糾纏，關(guān)鍵在于如何詮釋。今年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的價(jià)值在于這幾位物理學(xué)家以無可爭辯的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，證明了基于定域隱變量的貝爾不等式是不對的。目前的一些介紹文字，沒有認(rèn)真解釋量子力學(xué)在理論上是如何批駁貝爾不等式的，同時(shí)雖對量子糾纏的物理價(jià)值多有闡述，但對其哲學(xué)意義卻鮮有評述，對社會上濫用糾纏概念缺少直接批判和闡釋。本文希望在這兩方面有所補(bǔ)充。”有興趣的讀者可以參考。

參考文獻(xiàn)

[1] 人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.數(shù)學(xué) 八年級下冊 自讀課本[M]. 北京：人民教育出版社.

[2] SCHROEDER M. Fractals， chaos， power laws： Minutesfrom an Infinite Paradise[M]. New York： Dover Publications，2009.

[3] 張?zhí)烊? 上帝如何設(shè)計(jì)世界：愛因斯坦的困惑[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2015.

[4] 葛惟昆.2022年物理學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)的科學(xué)內(nèi)涵辨識[J].物理，2022，51（12）：821.GE W K. On the interpretation of the 2022 Nobel Prize inphysics[J]. Physics， 2022， 51（12）： 821. （in Chinese）