董佳豪　王槿　李文華　文小青　惠王偉

摘 要 本文給出了居家環(huán)境下基于智能手機(jī)研究硬幣彈跳的聲學(xué)頻率和產(chǎn)生的共振模式一種方案。理論上首先根據(jù)圓板的振動(dòng)方程，給出了硬幣固有振動(dòng)頻率的表達(dá)式。之后結(jié)合特定邊界條件，利用有限元的方法分析了三種類型硬幣的固有振動(dòng)模式及對(duì)應(yīng)頻率。實(shí)驗(yàn)上利用智能手機(jī)測(cè)量了不同硬幣在自由振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的聲音頻率，并與模擬計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，給出了合理的誤差分析。該居家實(shí)驗(yàn)方案簡(jiǎn)單有趣，物理原理豐富，易于在基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中推廣。

關(guān)鍵詞 硬幣;聲學(xué)頻率;智能手機(jī);居家實(shí)驗(yàn)

探究式學(xué)習(xí)通過以學(xué)生為中心的探索、反思和討論，深入了解自然現(xiàn)象和背后原理，有效培養(yǎng)本科生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度、自主學(xué)習(xí)能力和實(shí)踐創(chuàng)新能力等。由于疫情影響，居家實(shí)驗(yàn)已經(jīng)成為了中外諸多高校的實(shí)驗(yàn)教學(xué)替代方案[1-3]。居家實(shí)驗(yàn)要求實(shí)驗(yàn)取材簡(jiǎn)單廣泛， 源于生活，同時(shí)具有可定量測(cè)量、可探究、物理思想和原理豐富的特點(diǎn)。智能手機(jī)的普及以及其集成的高精度傳感器，為居家開展探究式實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)提供了可能。

1904年，瑞利獲得諾貝爾獎(jiǎng)，他對(duì)現(xiàn)代聲學(xué)理論基礎(chǔ)做出了開創(chuàng)性的工作。其撰寫的兩卷本《聲學(xué)原理》為近代聲學(xué)奠定了基礎(chǔ)[4]。物體振動(dòng)模式研究一直是基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的重要內(nèi)容，主要包括弦振動(dòng)、板振動(dòng)、膜振動(dòng)等形式，如利用弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量駐波波長(zhǎng)[5]、通過頻率共振測(cè)量動(dòng)態(tài)楊氏模量[6]、2017年IYPT第十四題ResonatingGlass、2022年IYPT第十四題Ball on Membrane實(shí)驗(yàn)[7]等。物體振動(dòng)會(huì)產(chǎn)生一定頻率的聲波，因此可以利用智能手機(jī)收集聲音信號(hào)并進(jìn)行頻譜分析，探究物體振動(dòng)頻率。Rakestraw 等利用智能手機(jī)測(cè)量了若干種不同的實(shí)心硬幣的振動(dòng)，并從硬幣材質(zhì)、歷史等方面進(jìn)行了比較與探討[8]。Manas等利用聲音振動(dòng)來鑒別硬幣真?zhèn)蝃9]。

本文介紹了一種居家環(huán)境下基于聲學(xué)特性研究硬幣彈跳的方法。實(shí)驗(yàn)中使用了日常生活中常見的實(shí)心硬幣、外圓中空的日本硬幣、乾隆通寶和面積較大的銀元。通過智能手機(jī)的上的聲學(xué)軟件探測(cè)硬幣撞到堅(jiān)硬的表面時(shí)產(chǎn)生本征振動(dòng)聲音的頻率，進(jìn)行建模和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該居家實(shí)驗(yàn)可以讓同學(xué)們了解平板振動(dòng)的規(guī)律，即平板振動(dòng)的頻率與平板的物理性質(zhì)相關(guān)，包括其質(zhì)量分布、形狀、尺寸、彈性模量和泊松比等。

1 實(shí)驗(yàn)方法與原理

本實(shí)驗(yàn)中采用了智能手機(jī)（Redmi K20，小米科技有限責(zé)任公司）的Spectroid軟件進(jìn)行聲音的頻譜分析。實(shí)驗(yàn)可以選擇在不同材質(zhì)桌面（例如地板、木桌、實(shí)驗(yàn)臺(tái)等）進(jìn)行，本實(shí)驗(yàn)中選用的是宿舍的木質(zhì)桌面。實(shí)驗(yàn)操作如圖2所示，在安靜的環(huán)境中打開手機(jī)測(cè)量軟件。為了滿足自由空間振動(dòng)的條件，硬幣被兩手指夾持在桌面上方約1厘米處，垂直釋放銀幣并記錄其在桌面彈跳的聲音頻譜。

在進(jìn)行從時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換時(shí)，有幾個(gè)重要參數(shù)將影響頻域的測(cè)量效果。Spectroid軟件參數(shù)設(shè)置界面如圖3所示，需要設(shè)置的參數(shù)Samplingrate、FFT size、Desired transform interval分別對(duì)應(yīng)于采樣率、傅里葉變換采樣點(diǎn)規(guī)模、期待數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換時(shí)間間隔。采樣頻率表示單位時(shí)間內(nèi)從連續(xù)信號(hào)中提取并組成離散信號(hào)的采樣個(gè)數(shù)。FFT size 設(shè)置了每個(gè)傅里葉變換FFT 計(jì)算中包含的數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量，通?？扇?56、512、1024、2048、4096、8192或16385。計(jì)算中包含的數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，頻域中的帶寬越小。Desired transform interval參數(shù)可以反映FFT 計(jì)算的次數(shù)，求平均值以提高信噪比測(cè)量的結(jié)果。綜合權(quán)衡時(shí)間分辨率和頻率帶寬之間的關(guān)系，本實(shí)驗(yàn)采樣頻率為48kHz，F(xiàn)FT采樣點(diǎn)數(shù)參數(shù)為2048，期待數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換時(shí)間間隔為100ms，實(shí)驗(yàn)中設(shè)定的顯示的最高頻率為24kHz。

2 理論模擬

采用COMSOL軟件的特征頻率模塊進(jìn)行模態(tài)分析和固有振動(dòng)頻率的理論值計(jì)算。建模步驟為，首先按照硬幣的幾何形狀建立模型，再寫入硬幣金屬材料的物理屬性，然后采用自由四面體的方式對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，劃分大小為超細(xì)化，劃分結(jié)果如圖4所示。最后將約束條件設(shè)為自由狀態(tài)，對(duì)硬幣結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)求解。

模擬結(jié)果如圖5至圖7所示，可以看出，三種類型硬幣的本征振動(dòng)模式具有相似性，因?yàn)樗鼈兙哂腥缡剑?）所示的相同的振動(dòng)頻率表達(dá)式 。由于其需要滿足不同的邊界方程，故λij 具有不同的取值。對(duì)于許多不同類型的板（例如圓盤、矩形、環(huán)形圓盤）和許多不同類型的邊界條件（例如自由、夾緊、簡(jiǎn)支），文獻(xiàn)中已將系數(shù)λij 制成表格[10]。

通過軟件的模擬，我們得到各硬幣的理論振動(dòng)頻率如表3所示。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

3.1 實(shí)心硬幣實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)心硬幣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示，實(shí)驗(yàn)值為多次測(cè)量的平均值。Spectroid軟件可以探測(cè)和顯示的聲波頻率范圍是有限的，實(shí)驗(yàn)中設(shè)定的顯示的最高頻率為24kHz。和表3模擬結(jié)果相比較，只有部分模態(tài)的頻率數(shù)據(jù)可以被探測(cè)到。將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較，我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模擬相對(duì)誤差小于7%， 證明了實(shí)驗(yàn)的可靠性。

3.2 中心孔對(duì)硬幣振動(dòng)測(cè)量結(jié)果的影響

將四枚含孔型硬幣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果相比較，如表5所示，實(shí)驗(yàn)值為多次測(cè)量的平均值。我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模擬的總體相對(duì)誤差小于8%。其中，除銅錢3硬幣的（0，1）振動(dòng)模式頻率，其他實(shí)驗(yàn)值與理論值相對(duì)誤差都低于6%，其相對(duì)誤差范圍與實(shí)心硬幣的相對(duì)誤差范圍是一致的，說明此實(shí)驗(yàn)方法對(duì)含孔型硬幣的振動(dòng)測(cè)量依然有效，且實(shí)驗(yàn)精度相當(dāng)。

為進(jìn)一步探究中心孔對(duì)硬幣振動(dòng)模式的影響，我們根據(jù)四枚帶孔硬幣的尺寸和材料特性重新建模（去除中心孔），將方孔和圓孔的理論結(jié)果與實(shí)心模型相比，如表6所示。

經(jīng)過比較，可以發(fā)現(xiàn)：由于中心孔邊界條件的限制，會(huì)使得相應(yīng)模式的振動(dòng)頻率降低。例如日本五元圓孔型硬幣，在含圓孔時(shí)（2，0）模式的振動(dòng)頻率為8.3kHz，要比不含圓孔時(shí)的振動(dòng)頻率低0.5kHz。這與文獻(xiàn)[12]的分析結(jié)果是一致的。

3.3 實(shí)驗(yàn)的可重復(fù)測(cè)量

由表7可知，本實(shí)驗(yàn)有很好的可重復(fù)性。

3.4 模式分裂現(xiàn)象探究

在實(shí)驗(yàn)過程中，觀察到多枚硬幣（一角硬幣、一元硬幣、5美分硬幣、25美分硬幣、日本五元硬幣、銅錢1硬幣）在（2，0）振動(dòng)模態(tài)的共振聲學(xué)頻率明顯分為兩個(gè)可分辨頻率。如圖8（a）所示，一角硬幣a的兩個(gè)頻率分別為：20789Hz和21961Hz;如圖8（b）所示，25美分的兩個(gè)頻率分別為：9258Hz和9352Hz;如圖8（c）所示，日本五元的兩個(gè)頻率分別為：8109Hz和8227Hz。同時(shí)，在第一枚銅錢的（1，1）振動(dòng)模態(tài)處也觀察到了兩個(gè)模式分裂現(xiàn)象，如圖8（d）所示，在（2，0）模式下的兩個(gè)相近頻率分別為6422Hz和6539Hz，在（1，1）模式下的兩個(gè)相近頻率分別為22570Hz和22805Hz。Manas[9]指出，這些硬幣不是簡(jiǎn)單的扁平圓盤，由于造幣過程的不對(duì)稱，可能是造成分裂的原因。

3.5 材質(zhì)對(duì)于測(cè)量結(jié)果的影響

硬幣制造所用的材料會(huì)根據(jù)實(shí)用性和成本而更改變[13]。硬幣的材料成分變化會(huì)導(dǎo)致楊氏模量和泊松比發(fā)生變化，進(jìn)而導(dǎo)致物理尺寸接近的硬幣的振動(dòng)頻率發(fā)生顯著差異。如我國的第五套蘭花一角硬幣共有兩種材質(zhì)，一種是鋁材質(zhì)（1999年發(fā)行，楊氏模量70.6Gpa），一種是鋼材質(zhì)（2005年發(fā)行，200Gpa），其物理尺寸幾乎完全一致[14]。如表8所示，在（2，0）模式的共振頻率處，鋼材質(zhì)硬幣的共振頻率要高于鋁材質(zhì)硬幣的共振頻率。盡管鋁和鐵的楊氏模量明顯不同，但由于鋁和鐵密度的顯著差異，分別為2.102g/cm3 和7.810g/cm3，使得它們?cè)冢?，0）模式的振動(dòng)頻率相近。同時(shí)，它們?cè)谀Ｊ剑?，0）處都發(fā)生了頻率分裂現(xiàn)象。

3.6 面積和硬幣邊緣的影響

在所有的樣品中，只有表面積較大的銀元可以在實(shí)驗(yàn)中探測(cè)到清晰的6種模式的共振頻率，實(shí)驗(yàn)值為多次測(cè)量的結(jié)果（表9）。由理論計(jì)算可知，銀元的共振模式中，共振頻率低于24 kHz的共有8種。通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量共觀測(cè)到其中的6種共振頻率，其中有一種共振頻率的相對(duì)誤差為6.7%，三種共振頻率的相對(duì)誤差為10%左右，一種共振頻率的相對(duì)誤差為20%左右，相對(duì)誤差值要高于上述硬幣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

經(jīng)分析，誤差主要來源可能是硬幣成分和邊緣影響。由于歷史和政治原因，所用的民國三年銀元曾發(fā)行過多個(gè)版本，先后在天津、江蘇、湖北、浙江、安徽、沈陽等各省造幣廠鑄造。在新中國建國初期（1949—1951），隨著解放軍向西北、西南等地挺進(jìn)及解放西藏等，沈陽造幣廠和四川省分行等也鑄造過不同形態(tài)的該版本銀元[15]。不同時(shí)期鑄造的硬幣其成分和尺寸或略有差異，共振頻率也會(huì)有所改變。我們使用的銀元質(zhì)量為19.32g，與一般所說的七錢二分（合26.8g）有差異[15]，不排除偽造或者磨損嚴(yán)重的因素。

另外，銀元硬幣的側(cè)邊為齒狀分布，而非光滑的圓面，導(dǎo)致其邊界方程發(fā)生改變，進(jìn)而使理論值計(jì)算產(chǎn)生一定誤差，如圖9所示。

3.7 實(shí)驗(yàn)中的其他誤差分析

硬幣振動(dòng)將會(huì)產(chǎn)生聲波，可以使用智能手機(jī)的麥克風(fēng)精確測(cè)量。其他物體與硬幣的任何接觸都會(huì)影響其邊界條件，從而影響其振動(dòng)模式和振動(dòng)頻率，因此應(yīng)當(dāng)測(cè)量硬幣在自由空間振動(dòng)時(shí)的共振聲學(xué)頻率。

對(duì)于本實(shí)驗(yàn)所產(chǎn)生的誤差，還可能產(chǎn)生于以下方面：（1）硬幣的表面并不是平整光滑的，而是有圖案的凹凸形表面。建模時(shí)簡(jiǎn)化為表面平整光滑的平板，會(huì)造成一定的誤差。（2）硬幣的材料大多為合金材料，其楊氏模量和泊松比等物理參數(shù)較為復(fù)雜。建模中，我們選擇硬幣中主要金屬成分的楊氏模量和泊松比進(jìn)行模擬計(jì)算，會(huì)造成一定誤差。（3）硬幣在長(zhǎng)期使用過程中會(huì)造成一定的磨損，從而對(duì)硬幣的厚度、邊緣光滑性造成影響，進(jìn)而影響硬幣的振動(dòng)頻率。（4）硬幣在使用過程中會(huì)粘上一些非金屬材質(zhì)的污垢，其物理屬性與金屬的物理屬性相差較大，對(duì)硬幣的振動(dòng)頻率會(huì)造成影響。

4 結(jié)語

本文通過對(duì)不同種類的硬幣彈跳的共振聲學(xué)頻率的探究，提供了一個(gè)生動(dòng)有趣的居家實(shí)驗(yàn)方案。通過此項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，可以培養(yǎng)學(xué)生以下方面的能力：（1）探索平板振動(dòng)中的力、表面波和能量等物理概念與原理。（2）研究表征本征振動(dòng)的頻率模式如何取決于樣品的形狀尺寸和材料特性。（3）培養(yǎng)提出問題和解決方案的能力，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型進(jìn)行比較，構(gòu)建解釋并發(fā)現(xiàn)新問題。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)過程中，可以通過貨幣探究來學(xué)習(xí)歷史。

由于篇幅限制，其他多邊形硬幣（例如六邊形和十二邊形的英國硬幣，十二邊形的香港紫荊花硬幣）、不同桌面彈跳結(jié)果對(duì)比、模式分裂現(xiàn)象等還有待繼續(xù)研究。此外，玻璃、瓷器、保溫杯等更復(fù)雜物體的本征振動(dòng)聲學(xué)問題也可以逐步在基礎(chǔ)物理教學(xué)中開展。

致謝： 本文部分實(shí)驗(yàn)測(cè)量在南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院公能創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室完成，感謝提供實(shí)驗(yàn)室開放的老師和助教同學(xué)。

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