高同州，賀小帆，王曉雷，李紫光，朱振濤，詹志新，*

1.北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191

2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

金屬材料在航空航天、汽車、民用建筑及生物醫(yī)學等工程領域中具有廣泛應用。這些金屬結(jié)構(gòu)在使用過程中常面臨循環(huán)載荷和惡劣環(huán)境的雙重考驗，進而導致疲勞損傷甚至失效［1-3］。然而，金屬疲勞作為一種復雜現(xiàn)象，涉及多個尺度和學科，如材料科學、力學、物理學、化學和工程學等。航空航天領域中，疲勞問題尤為關鍵，因為航空航天器在極端環(huán)境和載荷條件下運行，且需確保其長期可靠性和安全性。復雜的載荷條件和不斷變化的操作環(huán)境使得疲勞問題愈發(fā)復雜［4］。因此，有必要深入研究金屬結(jié)構(gòu)疲勞行為的影響因素與機理，建立合適的金屬材料的疲勞損傷分析及壽命預測方法。

研究表明，金屬結(jié)構(gòu)的疲勞性能對外部和內(nèi)部因素均非常敏感。外部因素包括零件的形狀、尺寸、表面粗糙度和使用工況［5-7］；內(nèi)部因素則涉及材料成分、微觀組織形貌、內(nèi)部孔隙夾雜等缺陷以及殘余應力［8-10］。針對這些方面，已有大量學者進行了深入研究。Zhao等［11］研究了表面粗糙度對鋁合金 7075-T6 疲勞強度的影響，且發(fā)現(xiàn)由于表面缺陷處的應力集中和裂紋萌生，疲勞強度隨著表面粗糙度的增加而降低。該論文還提出了一種基于表面粗糙度和缺陷尺寸預測疲勞強度的改進模型。Zhu等［12］研究了具有不同尺度結(jié)構(gòu)部件的疲勞行為，綜述了3 種尺寸效應（統(tǒng)計、幾何、技術）及其在金屬疲勞方面的研究進展，闡述了統(tǒng)計尺寸效應建模中常用的臨界缺陷法和最弱環(huán)節(jié)法以及考慮幾何尺寸效應的高應力體積法。Jiang等［8］研究了不同Gd和Zr 含量的砂鑄Mg-Gd-Y-Zr 合金的微觀組織、拉伸性能和高周疲勞行為，發(fā)現(xiàn)Zr 含量的增加可以增加疲勞強度，而Gd 含量的增加延長了相對高應力下的疲勞壽命。Zhang等［13］從晶體微結(jié)構(gòu)出發(fā)結(jié)合晶體塑性有限元數(shù)值方法研究了增材制造AlSi10Mg 合金的高周和超高周疲勞行為，建立了考慮缺陷效應的Voronoi 曲面細分晶體塑性有限元模型（Crystal Plasticity Finite Element Method，CPFEM）模擬循環(huán)塑性變形，采用Morrow 模型和Smith-Watson-Topper（SWT）模型預測疲勞壽命，SWT 模型與CPFEM 模擬表明，孔隙附近的累積循環(huán)塑性應變顯著高于夾雜物。吳圣川等［14-16］從試驗、斷裂力學模型以及數(shù)值模擬計算等方面深入研究了內(nèi)部缺陷的形貌、位置、取向等對增材制造AlSi10Mg 疲勞性能的影響。Chiocca等［17］通過數(shù)值建模和微觀結(jié)構(gòu)分析研究了殘余應力對承受完全反向扭轉(zhuǎn)和彎曲載荷的 S355JR 結(jié)構(gòu)鋼管板焊接接頭疲勞評估的影響，發(fā)現(xiàn)在施加扭轉(zhuǎn)載荷時，殘余應力對焊接接頭的疲勞壽命有影響，在彎曲載荷的情況下沒有檢測到殘余應力的影響。

近年來，多種研究方法被應用于金屬結(jié)構(gòu)疲勞性能的探討，例如經(jīng)驗公式方法［18-20］、臨界面法［21］、能量法［22］、相場法［23］和斷裂力學方法［24］。除這些方法之外，連續(xù)損傷力學（Continuum Damage Mechanics，CDM）方法在金屬材料疲勞性能研究中的應用也逐漸增多［25-28］。CDM 將材料失效建模為由微觀尺度上的微裂紋、微孔隙的增長及擴散引起的宏觀材料性能的逐漸劣化。CDM 可用于模擬金屬材料在各種載荷和環(huán)境條件下的疲勞性能，預測材料的損傷演化和最終失效。與其他方法相比，CDM 可以解釋不同損傷機制之間的相互作用及其對材料特性和行為的影響，捕獲損傷累積的非線性和不可逆性質(zhì)以及其對加載歷史的依賴性。然而，CDM 等方法在預測精度方面仍存在不足。

為了提高2014-T6 鋁合金材料疲勞壽命預測的準確性，本文基于損傷力學理論與支持向量機模型，建立了一種疲勞壽命預測的新方法。首先，推導了耦合損傷的彈塑性本構(gòu)模型以及疲勞損傷模型，并給出了理論模型中材料參數(shù)的標定方法；其次，提出了基于粒子群算法（Particle Swarm Optimization Algorithm，PSO）的理論模型材料參數(shù)的標定方法，獲得了本構(gòu)模型及疲勞損傷模型中的材料參數(shù)；然后，基于ABAQUS 平臺，通過UMAT子程序的二次開發(fā)，實現(xiàn)了疲勞壽命預測的損傷力學有限元數(shù)值計算方法，并對2014-T6 鋁合金進行了疲勞壽命預測；最后，采用支持向量機（Support Vector Machine，SVM）模型，以CDM 方法的預測誤差為訓練對象，以此來修正CDM 的預測結(jié)果，從而得到更加準確的疲勞壽命預測結(jié)果。

1 理論模型

1.1 耦合損傷的彈塑性本構(gòu)模型

從損傷力學的角度來看，材料內(nèi)部存在微觀不連續(xù)性，例如微裂紋和微孔洞等微觀缺陷，這些缺陷的萌發(fā)和擴展會導致材料性能的劣化。連續(xù)損傷力學采用代表性體積單元（Representative Volume Element，RVE）為研究對象，RVE內(nèi)部材料均勻分布并且其平均物理和力學性能可以描述整個材料的宏觀行為。采用損傷變量D來度量材料性能的劣化，損傷變量［29］一般通過RVE 橫截面微缺陷面積的占比來進行量化，如式（1）所示：

式中：dA 為RVE橫截面積，dAD為dA 中缺陷 的總面積，d為有效承載面積，有效應力與損傷變量的關系如下：

式中：σij為名義應力。

對于損傷耦合的彈塑性本構(gòu)模型，其中線彈性本構(gòu)方程為

塑性應變分量的演化率為

1.2 疲勞損傷模型

在多軸加載條件下，基于CDM 的疲勞損傷演化方程為［30］

式中：損傷等效應力σ*(σij)的表達式如下：

在單軸常幅值疲勞載荷條件下，式（7）退化為

式中：σa和σm為單軸循環(huán)載荷的應力幅值及應力均值，將公式從D=0 到D=1 積分可以得到單軸循環(huán)載荷作用下的疲勞壽命：

2 材料參數(shù)標定及數(shù)值實現(xiàn)方法

2.1 材料參數(shù)標定方法

本文基于粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）對本構(gòu)模型及疲勞損傷模型中的材料參數(shù)進行標定。在粒子群算法中，將待求解問題的解空間看作一個“空間”，其中每個解被稱為一個“粒子”。每個粒子都有自己的位置和速度，并根據(jù)自己的歷史最優(yōu)解和群體最優(yōu)解來更新自己的位置和速度。其中，歷史最優(yōu)解表示粒子在搜索過程中自己所獲得的最優(yōu)解，而群體最優(yōu)解表示整個粒子群體在當前迭代中所獲得的最優(yōu)解。通過粒子之間的相互作用和學習，整個群體逐步向最優(yōu)解靠近。粒子群算法的流程圖如圖1 所示，具體實現(xiàn)流程如下：

圖1 粒子群算法流程圖Fig.1 Algorithm flowchart for particle swarm optimization.

1）初始化粒子群：設置粒子群的規(guī)模，確定粒子位置和速度的范圍，并隨機生成粒子位置和速度。

2）評價適應度函數(shù)：計算每個粒子的適應度值（目標函數(shù)值）。

3）更新最優(yōu)位置：將當前粒子的適應度值與其歷史最優(yōu)適應度值進行比較，若當前適應度值更優(yōu)，則更新粒子的個體最優(yōu)位置。同時，比較粒子的適應度值與群體最優(yōu)適應度值，若粒子的適應度值更優(yōu)，則更新群體最優(yōu)位置。

4）更新粒子速度和位置：對于每個粒子，更新其個體最優(yōu)位置，即自身歷史最優(yōu)解。如果該粒子的當前位置比之前的位置更優(yōu)，則將其個體最優(yōu)位置更新為當前位置。速度更新公式和位置更新公式分別如式（13）和式（14）：

式中：vi(t)表示第i 個粒子在第t 次迭代時的速度，xi(t)表示第i 個粒子在第t 次迭代時的位置，w 為慣性權(quán)重，c1和c2分別為個體和群體學習因子，r1和r2是在（0，1）之間的隨機數(shù)，pi為第i 個粒子的個體最優(yōu)位置，g 為群體最優(yōu)位置。

5）終止條件：達到最大迭代次數(shù)或滿足收斂條件時，停止迭代，否則跳轉(zhuǎn)到第2）步。

6）輸出結(jié)果：返回全局最優(yōu)解及其對應的目標函數(shù)值。

本文采用2014-T6 鋁合金的單軸拉伸應力-應變數(shù)據(jù)［31］來標定其靜力性能參數(shù)。在單軸加載條件下，材料的應力-應變曲線關系如式（15）所示，

式中：σy為屈服應力。

在參數(shù)標定過程中以試驗數(shù)據(jù)點與本構(gòu)模型之間的殘差平方和為目標函數(shù)，使其達到最小。標定得到的本構(gòu)材料參數(shù)如表1 所示，應力-應變數(shù)據(jù)與本構(gòu)模型的擬合對比如圖2 所示。

表1 2014-T6 的靜力性能參數(shù)Table 1 Static performance parameters of 2014-T6

圖2 2014-T6 應力應變曲線Fig.2 Stress-strain curve of 2014-T6

對于疲勞損傷演化模型，有α、β、m和n 這4 個材料參數(shù)需要標定，采用粒子群算法，采用表2［31］中不同循環(huán)載荷下的疲勞試驗數(shù)據(jù)，進行最優(yōu)參數(shù)篩選，最終標定得到的4個材料參數(shù)如表3所示，標定后的疲勞損傷模型和試驗數(shù)據(jù)的對比如圖3所示。

表2 用于標定材料參數(shù)的疲勞數(shù)據(jù)［31］Table 2 Fatigue data for calibration of material parameters［31］

表3 2014-T6 疲勞損傷模型參數(shù)Table 3 Fatigue damage parameters of 2014-T6

圖3 損傷演化模型與疲勞試驗數(shù)據(jù)對比Fig.3 Comparison between test data and calibrated fatigue model

2.2 疲勞損傷模型的有限元數(shù)值實現(xiàn)

本文基于ABAQUS 平臺，編寫用戶自定義材料子程序UMAT，實現(xiàn)了損傷耦合的本構(gòu)模型以及疲勞損傷模型，通過計算循環(huán)載荷下的損傷演化來計算2014-T6 鋁合金的疲勞壽命，其數(shù)值計算過程如圖4 所示。

圖4 損傷演化數(shù)值計算流程Fig.4 Damage evolution numerical calculation flowchart

具體實現(xiàn)流程如下：

1）初始化材料本構(gòu)參數(shù)、損傷演化模型參數(shù)和損傷度。

2）根據(jù)損傷度更新彈性模量，如式（16）：

3）根據(jù)損傷耦合彈塑性本構(gòu)計算有限元模型各個單元積分點的應力應變場。

4）計算損傷演化速率和損傷增量，更新?lián)p傷度，為了減小計算量，采用了跳躍周期法，即認為在ΔN 個周期內(nèi)損傷演化速率不變：

這里，ΔN 取為試驗壽命Nexp的1%。本文分析計算了ΔN 的不同取值對預測結(jié)果造成的偏差。選取工況為Kt=1，R=0，σmax=344.75 MPa，試驗壽命Nexp=151 729 的數(shù)據(jù)點，分別計算不同ΔN 下的預測誤差，如圖5 所示，圖中橫坐標為ΔN與試驗壽命Nexp的比值ΔN/Nexp，可見，當ΔN/Nexp較大時，預測誤差較大；隨著ΔN/Nexp的減小，預測誤差先急劇下降然后逐漸趨于收斂，當ΔN 為試驗壽命Nexp的1%時，預測誤差約為2%，可以滿足疲勞壽命的預測要求。因此，兼顧計算效率和計算精度，本研究取ΔN 為1%的試驗壽命Nexp。

圖5 預測誤差隨ΔN/Nexp的變化（Kt=1，R=0，σmax=344.75 MPa，Nexp=151 729）Fig.5 Variation of predicted error with ΔN/Nexp（Kt=1，R=0，σmax=344.75 MPa，Nexp=151 729）

5）判斷損傷度是否大于或等于1，是則結(jié)束計算認為結(jié)構(gòu)疲勞失效，否則返回第2）步。

2.3 2014-T6 缺口試件疲勞壽命計算

2014-T6 的棒狀光滑試件及含缺口試樣［32］尺寸圖如圖6 所示，缺口試樣應力集中系數(shù)為Kt=1.6。疲勞試驗是在300 kg 的Schenck 疲勞試驗機上完成，環(huán)境為室溫、空氣條件。加載方式為軸向加載，疲勞載荷為恒幅正弦波載荷，頻率范圍為18～60 Hz。試樣均經(jīng)過表面機械加工和拋光處理。分別對應力集中系數(shù)Kt=1.0 的棒狀光滑試件與 Kt=1.6 的棒狀缺口試件進行疲勞試驗。Kt=1.0時，應力比為R=-1，-0.4，0.06，最大應力的范圍為165～455 MPa；Kt=1.6時，應力比為R=-1，-0.4，0.06，0.46，最大應力范圍為138～400 MPa。

圖6 2014-T6 試樣尺寸示意圖Fig.6 Fatigue test specimen dimensional diagram of 2014-T6

在ABAQUS 平臺上建立有限元模型并進行數(shù)值計算?？紤]到試樣的對稱性，建立1/8 模型，在3 個對稱平面施加對稱邊界條件，在試樣端部施加軸向均勻載荷，如圖7 所示。采用了C3D8 八節(jié)點線性六面體單元對模型進行網(wǎng)格劃分，為了確保計算結(jié)果的精度，對缺口周圍的局部區(qū)域進行了細網(wǎng)格處理，并進行了網(wǎng)格敏感性分析，如表4 所示，以獲得獨立于有限元網(wǎng)格大小的收斂解。最后，建立的有限元模型中包含了113 418 個單元，缺口處網(wǎng)格尺寸約為0.20 mm×0.07 mm×0.06 mm。

表4 有限元網(wǎng)格敏感性分析Table 4 Sensitivity analysis of finite element mesh

圖7 棒狀缺口試件1/8 有限元模型和載荷及邊界條件示意圖Fig.7 Finite element model of 1/8 scale notched round bar specimen and schematic diagram of load and boundary conditions

圖8 展示了σmax=200 MPa，R=-1.0時的應力分布云圖及損傷度分布云圖，可見，缺口邊緣應力及損傷度最大，危險點處的損傷度隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線如圖9 所示，圖中表明損傷演化隨著循環(huán)次數(shù)的增加以及損傷度的增大越來越快。危險點處的軸向應力隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線如圖10，軸向應力-應變曲線如圖11，可以看出，隨著損傷度的增大，該點的彈性模量逐漸降低導致承載能力越來越弱。

圖8 有限元計算結(jié)果云圖Fig.8 Finite element analysis contour map

圖9 危險截面的損傷度隨循環(huán)次數(shù)變化Fig.9 Variation of damage variable at critical point with the number of cycles

圖10 危險點處軸向應力隨循環(huán)次數(shù)的變化Fig.10 Variation of axial stress at critical point with the number of cycles

圖11 危險點處的軸向應力-應變曲線Fig.11 Axial stress-strain curve at critical point

基于損傷力學有限元數(shù)值計算方法，對應力集中系數(shù)Kt=1.0 的棒狀光滑試樣和集中系數(shù)Kt=1.6 的棒狀缺口件疲勞壽命進行預測，結(jié)果如表5 所示，圖12 給出了預測結(jié)果與試驗結(jié)果的對比。計算表明，除少數(shù)計算結(jié)果在3 倍誤差帶以外，大部分的計算結(jié)果都在3 倍誤差帶以內(nèi)。此外，材料的微觀組織形態(tài)、材料制備和材料可能存在的缺陷對材料的疲勞壽命有顯著影響，會造成材料疲勞試驗數(shù)據(jù)的分散性。本研究在開展疲勞壽命計算時，所采用的疲勞損傷演化模型中有4 個材料參數(shù)α、β、m、n，需要基于材料的疲勞試驗數(shù)據(jù)進行標定，因此，這4 個參數(shù)可間接地反映上述因素對材料疲勞性能的影響。

表5 基于損傷力學有限元數(shù)值方法的計算結(jié)果Table 5 Calculation results of fatigue life based on finite element numerical method of damage mechanics

圖12 試驗壽命與損傷力學數(shù)值方法預測壽命對比Fig.12 Comparison of experimental life and life predicted by numerical method of damage mechanics

3 基于損傷力學-支持向量機的疲勞壽命預測方法

盡管疲勞壽命的預測結(jié)果在誤差帶之內(nèi)，但和試驗結(jié)果之間仍普遍存在誤差，因此采用機器學習方法來修正數(shù)值計算結(jié)果，以減小誤差的影響，提高預測的準確性。本文采用支持向量機（Support Vector Machine，SVM）方法，對基于損傷力學的疲勞壽命預測結(jié)果的誤差進行訓練，從而修正數(shù)值預測結(jié)果。

3.1 基于誤差訓練的SVM 模型

SVM 是一種監(jiān)督學習算法，主要用于分類和回歸問題。在回歸問題中，SVM 的基本原理是在訓練數(shù)據(jù)之間構(gòu)建一個最優(yōu)邊界，使得預測誤差小于某個指定的閾值，并且使得邊界間隔最大化。首先將輸入空間映射到一個高維特征空間，然后在該特征空間中找到一個線性函數(shù)來逼近目標函數(shù)。對一個輸入特征向量為xi∈Rd，輸出值為yi∈R 的訓練 數(shù)據(jù)集(xi，yi)i=1N，SVM的目標是找到一個線性函數(shù)f (x)使得對所有的訓練數(shù)據(jù)f (xi)與yi之間的誤差小于ε。在特征空間中，線性函數(shù)可以表示為

式中：w ∈Rk是權(quán)重向量，?(x)是將x 映射到特征空間的函數(shù)，b ∈R 是偏置項；<·，·>表示向量之間的內(nèi)積。SVM 使得以下目標函數(shù)最小化：

其中：‖w‖2是表示正則化項，用于控制模型復雜度；C 是懲罰參數(shù)，用于平衡模型復雜度與訓練誤差和分別為正面松弛變量和負面松弛變量。求解過程中的約束條件為

式中：ε 為容忍度參數(shù)。

本文基于誤差訓練并結(jié)合損傷力學方法與SVM 模型對2014-T6 鋁合金進行疲勞壽命預測的流程如下：

1）數(shù)據(jù)收集：獲取損傷力學數(shù)值方法計算的誤差數(shù)據(jù)建立模型數(shù)據(jù)庫。

2）數(shù)據(jù)集劃分：將數(shù)據(jù)集劃分為訓練集、驗證集和測試集。

3）參數(shù)選擇：選擇合適的模型及核函數(shù)并調(diào)整關鍵參數(shù)，本文需要解決的金屬疲勞壽命預測問題屬于回歸分析問題，選擇了徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）核函數(shù)。在進行非線性回歸問題時，RBF 核函數(shù)通過將數(shù)據(jù)從原始低維空間映射到高維特征空間，能夠在高維空間中尋找到數(shù)據(jù)的非線性關系，使其能夠處理復雜的非線性問題。此外，使用RBF 核函數(shù)的SVM 具有很強的泛化性能，即使在訓練樣本較少的情況下，也能得到較好的預測結(jié)果。RBF 核函數(shù)的表達式為

式中：xi和xj是樣本點的特征向量；‖xi-xj‖表示2 個特征向量之間的歐幾里得距離；γ 是RBF 核函數(shù)的一個參數(shù)，通常需要通過交叉驗證等方式來確定。

4）模型訓練：使用訓練集數(shù)據(jù)訓練SVM 模型，通過最小化目標函數(shù)來學習最佳的回歸超平面。

5）模型評估：使用驗證集數(shù)據(jù)對模型的表現(xiàn)進行評估。

6）預測：利用訓練好的模型對測試集數(shù)據(jù)進行預測。

在本文中，將應力集中系數(shù)Kt、應力比R、最大應力σmax作為模型的輸入?yún)?shù)，將有限元數(shù)值方法的預測誤差作為模型的輸出參數(shù)，進行回歸分析。最終，訓練得到能夠預測損傷力學數(shù)值計算方法誤差的SVM 機器學習模型。

3.2 模型數(shù)據(jù)庫與預測性能評價指標

機器學習訓練過程依賴于大量數(shù)據(jù)以構(gòu)建模型數(shù)據(jù)庫。然而，試驗數(shù)據(jù)有限，因此需要通過其他途徑擴充數(shù)據(jù)源。為此，綜合利用了疲勞壽命數(shù)據(jù)的分布特性以及S-N 曲線，隨機生成了不同應力集中系數(shù)、不同應力比和不同應力水平下的疲勞壽命數(shù)據(jù)點作為試驗數(shù)據(jù)。

本文在進行數(shù)據(jù)擴充時，認為在相同的應力比和應力水平下疲勞試驗壽命呈正態(tài)分布，考慮到S-N 曲線代表了疲勞數(shù)據(jù)的中值壽命，即對數(shù)平均值壽命，因此，本文以給定應力比下所有真實試驗數(shù)據(jù)點與S-N 曲線的偏差平方的平均值作為方差，以給定應力比和應力水平下S-N 曲線的計算疲勞壽命作為當前應力水平下正態(tài)分布的均值，進而在每個應力水平下隨機生成符合正態(tài)分布的疲勞壽命作為擴充數(shù)據(jù)。擴充數(shù)據(jù)、真實試驗數(shù)據(jù)集及S-N 曲線對比如圖13 所示?？梢?，擴充數(shù)據(jù)隨機均勻地分布于S-N 曲線兩側(cè)。由于S-N 曲線代表了隨機數(shù)據(jù)的均值，擴充生成的數(shù)據(jù)受S-N 曲線的影響較大。如果S-N 曲線與真實試驗數(shù)據(jù)的偏差較大，那么擴充數(shù)據(jù)與真實試驗數(shù)據(jù)之間會有較大偏差；如果S-N 曲線與真實試驗數(shù)據(jù)越接近，那么擴充數(shù)據(jù)與真實試驗數(shù)據(jù)之間的偏差越小。

圖13 擴充數(shù)據(jù)、試驗數(shù)據(jù)及S-N 曲線的對比Fig.13 Comparison of extended data，experimental data，and S-N curve

接著，采用損傷力學數(shù)值方法計算相應工況下的壽命及預測誤差。最后，將不同應力集中系數(shù)、不同應力比和不同應力水平下的數(shù)值方法預測誤差整合成機器學習過程所需的模型數(shù)據(jù)庫。按照70%、15%、15%的比例將模型數(shù)據(jù)庫劃分為訓練集、驗證集和測試集。這里，選擇訓練集數(shù)據(jù)的原則是使訓練集數(shù)據(jù)能夠具有代表性、多樣性以及各個類型數(shù)據(jù)的平衡性。針對機器學習預測模型，一般而言，當總數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)量小于1 萬時，當訓練集所占的比例為70%時，預測結(jié)果可以滿足精度要求。本文在數(shù)據(jù)選取過程中，首先將所有不同應力集中系數(shù)、不同應力比、不同應力水平的200 組數(shù)據(jù)進行多次隨機混合，然后從混合均勻的數(shù)據(jù)集中選取前70%作為訓練集數(shù)據(jù)。

對于SVM 模型的疲勞壽命預測結(jié)果，常用的評價指標為均方誤差（Mean Squared Error，MSE）和決定系數(shù)（R-Squared，R2）。MSE 反映了預測值與真實值之間差距的平方的平均值。MSE 的值越小，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合程度越好。然而，MSE 對異常值的敏感度較高，因為它會對誤差進行平方處理，從而放大異常值的影響。R2度量回歸模型解釋數(shù)據(jù)變異性的程度。R2的取值范圍為0～1 之間，最佳值為1，表明模型完全解釋了數(shù)據(jù)的變異性。當R2值較小時，模型未能很好地解釋數(shù)據(jù)的變異性。R2的優(yōu)勢在于它具有可解釋性，可用于比較不同模型的R2值以選擇最佳模型。R2和MSE 的計算公式為

式中：yi表示第i個觀測值的真實值表示模型對第i 個觀測值的預測值表示所有預測值的平均值，n 表示樣本數(shù)量。

3.3 結(jié)果與討論

3.3.1 疲勞壽命預測結(jié)果

針對不同的應力集中系數(shù)、應力比和應力水平，采用損傷力學有限元數(shù)值計算方法，得到了200 組2014-T6 鋁合金的疲勞壽命與試驗疲勞壽命的誤差。將數(shù)據(jù)劃分為3 部分：140 組作為訓練集，27 組作為驗證集，33 組作為測試集。對支持向量機（SVM）模型起主要影響的參數(shù)包括懲罰參數(shù)C、徑向基核函數(shù)（RBF）的相似度參數(shù)γ和容忍度參數(shù)ε。在訓練過程中，采用粒子群優(yōu)化方法結(jié)合驗證集進行迭代交叉驗證，以獲得最優(yōu)模型參數(shù)。模型參數(shù)和整體預測性能評價指標如表6 所示。訓練集、驗證集、測試集以及整體數(shù)據(jù)的線性回歸圖如圖14 所示。觀察可知，所有數(shù)據(jù)集的回歸相關系數(shù)Rc均在0.8 左右，表明SVM模型具有較好的預測性能。

表6 SVM 模型參數(shù)及性能評價指標Table 6 SVM model parameters and performance evaluation indicators

圖14 SVM 模型預測結(jié)果線性回歸圖Fig.14 Linear regression graphs of SVM model prediction results

利用訓練完成的SVM 模型對損傷力學數(shù)值方法計算的疲勞壽命誤差進行預測，從而修正有限元數(shù)值計算結(jié)果。圖15 展示了訓練集修正后的結(jié)果與試驗結(jié)果的對比，誤差柱狀圖如圖16 所示，其中，F(xiàn)EM model 指基于損傷力學的有限元數(shù)值方法，F(xiàn)EM-SVM model 表示結(jié)合SVM 模型進行修正的有限元數(shù)值方法。結(jié)果表明，對于Kt=1.0和Kt=1.6 時的數(shù)值計算結(jié)果，在經(jīng)過SVM 模型修正后，3 倍誤差帶以外的數(shù)據(jù)點均進入了3 倍誤差帶內(nèi)，整體數(shù)據(jù)明顯向2 倍誤差帶內(nèi)部及直線y=x 靠攏，壽命預測精度得到了顯著提高。如圖16 所示的誤差柱狀圖表明，除個別數(shù)據(jù)點外，預測誤差大幅降低，表明壽命SVM 修正方法顯著提高了預測結(jié)果的準確性。

圖15 修正前后試驗壽命與預測壽命對比Fig.15 Comparison of experimental life before and after correction with predicted life

圖16 修正前后壽命預測誤差對比Fig.16 Comparison of prediction error before and after correction

3.3.2 應力水平及應力集中系數(shù)對損傷演化的影響

1）最大應力及應力比影響分析

應力集中系數(shù)Kt=1.0 應力比R=0.06時，σmax分別為400 MPa、350 MPa和300 MPa下?lián)p傷度隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線如圖17（a）所示。最大應力σmax=290 MPa時，應力比分別為R=-0.4、R=0、R=0.1 下?lián)p傷度隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線，如圖17（b）所示。結(jié)果表明，在應力比相同時，隨著應力水平的升高，損傷演化速率明顯加快，導致2014-T6 的疲勞壽命大幅降低。此外，在應力水平保持一致的情況下，應力比的減小同樣會導致?lián)p傷演化速率迅速增長，從而使疲勞壽命顯著下降。上述結(jié)果從損傷力學的角度揭示了應力水平和應力比對損傷演化和疲勞壽命的影響規(guī)律。

圖17 不同應力水平下?lián)p傷度隨循環(huán)次數(shù)變化曲線和不同應力比下?lián)p傷度隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.17 Damage variable vs number of cycles curve under different stress levels and damage variable vs number of cycles curve under different stress ratios

2）應力集中系數(shù)影響分析

在應力比R=-1，最大應力σmax=160 MPa時，計算了應力集中系數(shù)Kt為1.6、2.0、2.4、3.4的含缺口2014-T6 試樣危險點的損傷度及損傷速率隨循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律，如圖18、圖19 所示，可以看到，在相同的載荷水平下，損傷演化速率隨應力集中系數(shù)的增大而迅速加快，不同應力集中系數(shù)下的損傷演化速率具有很大差異，表明試件的形狀尺寸對其疲勞性能有著至關重要的影響。

圖18 不同應力集中系數(shù)下?lián)p傷度隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.18 Damage variable curves with respect to cycle numbers under different stress concentration factors

圖19 不同應力集中系數(shù)下?lián)p傷速率隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.19 Damage rate curves with respect to cycle numbers under different stress concentration factors

3.3.3 訓練數(shù)據(jù)量及參數(shù)對SVM 模型預測性能的影響

1）訓練數(shù)據(jù)量的影響分析

將3.3.1 節(jié)中的總體數(shù)據(jù)劃分為訓練集和測試集2 部分，保持模型參數(shù)不變。選取40 組數(shù)據(jù)作為固定測試集，然后從剩余數(shù)據(jù)中分別抽取40組、80 組、120 組、160 組作為 訓練集數(shù)據(jù)，對SVM 模型進行訓練并對測試集數(shù)據(jù)進行預測。圖20 展示了不同訓練數(shù)據(jù)量下測試集的線性回歸圖，觀察可知，隨著訓練數(shù)據(jù)量的增加，預測值與真實值的線性相關度逐步提升。圖21 展示了整體性能評價指標MSE和R2隨訓練數(shù)據(jù)量的變化以及SVM 模型在單個數(shù)據(jù)點的預測精度的變化。結(jié)果表明，MSE 隨著訓練數(shù)據(jù)量的增加而減小，R2隨著訓練數(shù)據(jù)量的增加而增大。同時，兩者的變化速率逐漸降低。此外，隨著訓練數(shù)據(jù)量的增加，測試集中單個數(shù)據(jù)點預測值與真實值之間的差距逐漸減小。圖22 對比了不同訓練數(shù)據(jù)量下的預測壽命與試驗壽命，可見，隨著訓練數(shù)據(jù)量的增加，數(shù)據(jù)點逐漸向y=x 直線靠攏。結(jié)果表明，訓練數(shù)據(jù)量的增加對SVM 模型的預測性能有顯著提升作用。然而，當數(shù)據(jù)量增大到一定程度時，預測性能的提升速度減緩并趨于收斂。這意味著，在實際應用中，需要權(quán)衡數(shù)據(jù)量與預測性能之間的關系，以尋找合適的訓練數(shù)據(jù)量。

圖20 不同訓練數(shù)據(jù)量下測試集線性回歸圖Fig.20 Linear regression graphs of test set with varying training data sizes

圖21 模型預測性能隨訓練數(shù)據(jù)量變化規(guī)律Fig.21 Variation of model prediction performance with sizes of training data

圖22 不同訓練數(shù)據(jù)量下預測壽命與試驗壽命對比Fig.22 Comparison of predicted life and experimental life with varying training data sizes

2）參數(shù)C和γ 的影響分析

將3.3.1 節(jié)中的總體數(shù)據(jù)劃分為訓練集和測試集2 部分，其中訓練集包含160 組數(shù)據(jù)，測試集包含40 組數(shù)據(jù)。首先，選取不同的參數(shù)C 進行訓練，然后，對測試集進行預測。圖23 展示了SVM模型整體性能評價指標及其在單個數(shù)據(jù)點的預測精度隨參數(shù)C 的變化曲線。觀察可知，當參數(shù)C 較小時，MSE 隨著C 的增加迅速減小，而R2則快速增大。當C 增大到約7 921.95 附近時，預測性能的提升趨于穩(wěn)定。同時，在選取的單個數(shù)據(jù)點上，模型預測精度呈現(xiàn)出先增大、后減小、再增大的變化趨勢。接下來，選取不同的參數(shù)γ 進行訓練，并對測試集進行預測。圖24 展示了SVM模型整體性能評價指標及其在單個數(shù)據(jù)點的預測精度隨參數(shù)γ 的變化曲線。結(jié)果表明，當γ 增大到最優(yōu)參數(shù)0.000 25 之前，MSE 隨著γ 的增加迅速減小，而R2則快速增大，表明模型預測性能得到了快速提升。然而，當γ 超過最優(yōu)參數(shù)后，MSE 隨著γ 的增加反而迅速增大，R2則快速減小，表明模型預測性能出現(xiàn)了快速下降。在選取的單個數(shù)據(jù)點上，模型的預測精度隨著γ 的增加先呈現(xiàn)出增大、后減小的變化趨勢。上述結(jié)果表明，在SVM 模型中，參數(shù)C和γ 對模型預測性能具有顯著影響。因此，在實際應用中，需要通過合適的參數(shù)調(diào)整方法尋找最優(yōu)參數(shù)組合，以實現(xiàn)最佳的預測性能。

圖23 模型預測性能隨參數(shù)C 變化規(guī)律Fig.23 Model prediction performance with variation in parameter C

圖24 模型預測性能隨參數(shù)γ 變化規(guī)律Fig.24 Model prediction performance with variation in parameter γ

4 結(jié)論

本文基于損傷力學理論與SVM 模型，針對2014-T6 鋁合金材料，建立了一種疲勞壽命預測的新方法。主要結(jié)論如下：

1）基于連續(xù)損傷力學模型及UMAT 子程序的二次開發(fā)，建立了一種用于預測2014-T6 鋁合金疲勞壽命的損傷力學有限元數(shù)值實現(xiàn)方法，并提出了基于粒子群算法的材料參數(shù)的標定方法。

2）利用支持向量機（SVM）模型對基于損傷力學的疲勞壽命預測結(jié)果的誤差進行訓練，從而修正數(shù)值預測結(jié)果，使得疲勞壽命預測準確性得到顯著提高。

3）訓練數(shù)據(jù)量、參數(shù)C和γ 對SVM 模型的預測性能有顯著影響。在訓練數(shù)據(jù)量逐步增加的過程中，SVM 模型預測性能得到明顯提升，但當數(shù)據(jù)量增大到一定程度時，預測性能提升速度減慢并趨于收斂。在實際應用中，需要選取合適的模型數(shù)據(jù)庫以及模型參數(shù)，以實現(xiàn)最佳預測效果。