馮仲愷 付新月 紀(jì)國良 劉亞新 牛文靜 黃海燕 楊濤

摘要：徑流具有非線性和隨機(jī)性特征，單一點預(yù)測模型難以精確刻畫和描述徑流演化過程。為此，提出了一種可有效量化徑流波動范圍的智能區(qū)間預(yù)測方法。首先采用自適應(yīng)噪聲完備集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解將非線性徑流序列劃分為若干子序列，并采用樣本熵方法重構(gòu)得到修正序列；其次以孿生支持向量機(jī)為基礎(chǔ)，分別對復(fù)雜度較高的子序列構(gòu)建區(qū)間預(yù)測模型、復(fù)雜度較低的子序列建立點預(yù)測模型，同時采用鯨魚優(yōu)化方法尋求滿意的模型參數(shù)組合；最后將各子模型的預(yù)測結(jié)果疊加得到最終的預(yù)測區(qū)間。結(jié)果表明：所提方法具有良好的穩(wěn)健性和可靠性，在點預(yù)測、區(qū)間預(yù)測等不同場景、不同預(yù)見期的性能指標(biāo)均優(yōu)于對比模型；如預(yù)見期為3 d時，對于黃河流域唐乃亥水文站，所得預(yù)測區(qū)間具有較高的可靠度與清晰度，其預(yù)測區(qū)間覆蓋率PICP值為 98.30%，預(yù)測區(qū)間平均寬度PINAW值為0.079 2，可靠度、清晰度分別平均提高了9.47%和32.66%。研究成果可為智能化徑流預(yù)測提供行之有效的方法。

關(guān)鍵詞：徑流預(yù)測； 孿生支持向量機(jī)； 自適應(yīng)噪聲完備集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解； 鯨魚優(yōu)化方法； 黃河流域

中圖法分類號： TV124

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.04.014

0引 言

受人類活動與氣候變化影響，徑流序列呈現(xiàn)非線性、非平穩(wěn)等復(fù)雜特征，加之極端水文氣象災(zāi)害頻繁發(fā)生并持續(xù)加劇，導(dǎo)致單一模型難以精確刻畫和表征徑流演化過程，而且基于點預(yù)測模型獲得的確定值并不能反映徑流的可能波動范圍［1］。徑流區(qū)間預(yù)測模型可以給出徑流值的置信區(qū)間，并且定量化描述徑流序列的不確定性，因此，近年來得到國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)的區(qū)間預(yù)測模型大致分為3種類型：第一類方法核密度估計方法（Kernel Density Estimation，KDE）需要先進(jìn)行點預(yù)測，而后根據(jù)點預(yù)測的誤差累積獲得概率分布函數(shù)，得到給定置信水平下的區(qū)間預(yù)測信息，該方法既可得到預(yù)測區(qū)間，也可實現(xiàn)概率預(yù)測［2-3］。第二類方法需要事先確定分位點、構(gòu)建分位數(shù)回歸模型，同時需要較復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算［4-6］。第三類方法則是通過上下邊界估值理論（Lower Upper Bound Estimation，LUBE）［7］構(gòu)建雙輸出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，直接得到預(yù)測區(qū)間的上下界，該方法以預(yù)測區(qū)間評價指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代優(yōu)化、率定參數(shù)，從而得到具有較高可靠度與清晰度的預(yù)測區(qū)間［8］。此外，也可通過聚類、模糊信息?；确椒▽υ夹蛄羞M(jìn)行預(yù)處理得到上、下邊界，從而建立預(yù)測模型得到預(yù)測區(qū)間［9-10］。然而，這些方法需要先對預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行較復(fù)雜的處理，而且經(jīng)?；蟮男蛄信c原始序列存在一定的誤差。

作為經(jīng)典的人工智能方法，孿生支持向量回歸機(jī)（Twin Support Vector Regression，TSVR）［11］利用兩個非平行超平面求得上、下邊界函數(shù)，在點預(yù)測中的性能表現(xiàn)優(yōu)于傳統(tǒng)方法，但難以適用于區(qū)間預(yù)測。研究表明，耦合智能優(yōu)化方法可有效提高模型參數(shù)辨識精度［12-15］，分解方法可充分提取徑流序列中的模態(tài)信息［16-19］，從而有效提高模型泛化性能和預(yù)測精度。自適應(yīng)噪聲完備集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise，CEEMDAN）可有效降低分解序列的非平穩(wěn)性與非線性，常被用于時間序列特征分解［20-22］；鯨魚優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）是元啟發(fā)式算法，具有操作簡單、尋優(yōu)能力強(qiáng)等優(yōu)勢，已被廣泛應(yīng)用于復(fù)雜約束優(yōu)化問題［23-25］。

基于此，本文提出了一種用于徑流區(qū)間預(yù)測的混合孿生支持向量機(jī)方法（Hybrid Twin Support Vector Regression，HTSVR）。首先通過CEEMDAN方法將原始徑流序列分解為多個子序列，將復(fù)雜度相似的子序列疊加得到修正序列；其次基于偏自相關(guān)和樣本熵方法，選擇最大滯時作為輸入因子，進(jìn)而以改進(jìn)TSVR模型為基礎(chǔ)，對復(fù)雜度較高、較低的子序列分別建立區(qū)間預(yù)測模型、點預(yù)測模型，同時采用WOA方法優(yōu)選模型參數(shù)；最后，將點預(yù)測值與區(qū)間預(yù)測值相加可得到最終的預(yù)測區(qū)間。應(yīng)用表明：CEEMDAN方法可顯著降低徑流序列的非平穩(wěn)性；WOA方法可有效提高模型參數(shù)辨識精度、避免陷入局部最優(yōu)；本文所提方法可有效提高徑流預(yù)測區(qū)間的可靠度與清晰度，定量化描述徑流序列的不確定性。

1研究方法

1.1自適應(yīng)噪聲完備集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

CEEMDAN的分解過程具有完備性，且?guī)缀鯖]有重構(gòu)誤差，有效克服了傳統(tǒng)方法存在的模態(tài)混疊、噪聲殘留等問題。假定原始信號為f（x），經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）與CEEMDAN得到的第k階模態(tài)分量分別記為Ek與IMFk，Bn（x）為第n次加入且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的白噪聲序列，具體步驟如下［26］。

1.2鯨魚優(yōu)化方法

WOA通過隨機(jī)搜索模仿鯨群的捕食習(xí)性，并利用螺旋式方程模擬鯨群的獵物攻擊模式。鯨群在特定條件下會以螺旋運動游向獵物，執(zhí)行泡泡網(wǎng)攻擊機(jī)制，亦有可能偏離獵物并隨機(jī)選擇獵物。假定X（t）表示迭代次數(shù)為t時當(dāng)前鯨群個體的空間位置，D表示X（t）與鯨群最優(yōu)位置Xbest之間的距離。引入一個［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)p，當(dāng)p≥0.5時，鯨群將以螺旋運動游向獵物，執(zhí)行泡泡網(wǎng)攻擊機(jī)制，則其位置更新模型如下所示［23］：

1.3孿生支持向量回歸機(jī)

不同于傳統(tǒng)的支持向量機(jī)（Support Vector Regression，SVR），TSVR將較為復(fù)雜的二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換成了兩個相對簡單的二次規(guī)劃問題，有效提高了模型的訓(xùn)練速度與泛化能力。設(shè)定訓(xùn)練樣本的輸入數(shù)據(jù)記為Al×n，輸出數(shù)據(jù)記為Yl×1，構(gòu)造的2個二次規(guī)劃問題如下［11］：

1.4混合孿生支持向量機(jī)區(qū)間預(yù)測方法

為提高徑流預(yù)測精度，本文提出了耦合CEEMDAN、WOA和TSVR方法性能優(yōu)勢的混合孿生支持向量機(jī)（Hybrid Twin Support Vector Regression，HTSVR）：首先采用CEEMDAN將原始徑流序列分解為若干子序列，并根據(jù)樣本熵（Sample Entropy，SE）評估子序列復(fù)雜度，對樣本熵值相近的子序列進(jìn)行合并，重構(gòu)得到修正序列xIMF1～xIMFn；其次利用偏自相關(guān)分析法選擇最大滯時作為模型輸入因子，而后對復(fù)雜度較高（即樣本熵值較大）的子序列建立區(qū)間預(yù)測模型（Prediction Interval Models，PI Models），其余子序列建立點預(yù)測模型（Prediction Point Models，PP Models）；最后，將各子模型的預(yù)測結(jié)果合并得到徑流預(yù)測區(qū)間［LB，UB］。具體計算流程如圖1所示。

2評價指標(biāo)

2.1點預(yù)測

對點預(yù)測模型，本文選取的評價指標(biāo)［26］包括：均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）、平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）、相關(guān)系數(shù)（Correlation Coefficient，R）、確定性系數(shù)（Deterministic Coefficient，DC）。RMSE與MAE可以評估模型的預(yù)測誤差，R與DC用來描述預(yù)測值與觀測值的擬合程度。

2.2區(qū)間預(yù)測

對于區(qū)間預(yù)測模型，常從覆蓋率、寬窄度兩個方面來衡量預(yù)測質(zhì)量，高質(zhì)量的區(qū)間預(yù)測一般具備較高的覆蓋率、較小的區(qū)間寬度［27］。預(yù)測區(qū)間覆蓋率（Prediction Interval Coverage Probability，PICP）可體現(xiàn)預(yù)測區(qū)間的可靠度：若預(yù)測值yi落在預(yù)測區(qū)間時，則ci=1；否則，ci=0。平均覆蓋誤差指標(biāo)（Average Coverage Error，ACE）表示實際計算所得與預(yù)設(shè)的區(qū)間置信度（Prediction Interval Nominal Confidence，PINC）之間的偏差。

3案例分析

3.1數(shù)據(jù)預(yù)處理

以黃河流域兩個水文站（龍羊峽（LYX），2008年1月1日至2014年12月31日；唐乃亥（TNH），2004年5月1日至2011年4月30日）的日徑流為研究數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)劃分成訓(xùn)練集、驗證集與測試集3部分，對應(yīng)的比例為5∶2∶3。樣本熵雖受數(shù)據(jù)維數(shù)、容限取值等因素影響，但具有良好的一致性，其變化趨勢不受參數(shù)取值的影響［29］。圖2為CEEMDAN方法所得LYX水文站徑流子序列的樣本熵值，可看出，IMF2與IMF3、IMF8與IMF9的樣本熵值相近，表明具有相似的復(fù)雜度，可將相似子序列合并，重構(gòu)得到修正序列xIMF1～xIMF10。進(jìn)一步對修正序列開展偏自相關(guān)分析，確定LYX與TNH水文站的輸入滯時因子均為6；并對前4個復(fù)雜度較高的子序列xIMF1～xIMF4進(jìn)行區(qū)間預(yù)測、后6個復(fù)雜度較低的子序列xIMF5～xIMF10進(jìn)行點預(yù)測，最終將點預(yù)測、區(qū)間預(yù)測結(jié)果疊加得到最終的預(yù)測區(qū)間。

3.2模型性能分析

3.2.1點預(yù)測模型

構(gòu)建人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Artificial Neural Network，ANN）、最小二乘支持向量機(jī)（Least Squares Support Vector Regression，LSSVR）、極限學(xué)習(xí)機(jī)（Extreme Learning Machine，ELM）、TSVR等點預(yù)測模型作為對比模型；同時引入灰狼優(yōu)化算法（Grey Wolf Optimizer，GWO）來率定參數(shù)，并建立耦合WOA的混合模型WOA-TSVR以及HTSVR預(yù)測模型，以驗證優(yōu)化方法和分解方法的可行性與有效性。從表1可知，相比對比模型，WOA-TSVR模型對2個水文站徑流均表現(xiàn)出相對較好的預(yù)測性能。以TNH水文站為例，除MAE高于GWO-TSVR外，其余指標(biāo)均表現(xiàn)突出。各模型預(yù)測過程、誤差圖如圖3～5所示?？梢钥闯觯髂Ｐ驮?個水文站的點預(yù)測誤差有明顯區(qū)別，而HTSVR在不同場景下均有良好的預(yù)測效果。CEEMDAN分解方法將非平穩(wěn)性、非線性的徑流序列轉(zhuǎn)換成若干相對平穩(wěn)的子序列，對各子序列分別進(jìn)行預(yù)測后疊加求和得到最后的預(yù)測結(jié)果，可使得模型的預(yù)測誤差顯著減小，預(yù)測精度顯著提高。由此可知，HTSVR點預(yù)測模型可以得到更精確的預(yù)測結(jié)果，可靠性較強(qiáng)。

3.2.2區(qū)間預(yù)測模型

為檢驗HTSVR的區(qū)間預(yù)測性能，本節(jié)仍將2個水文站徑流序列作為研究對象，利用不同原理構(gòu)建5個對比區(qū)間預(yù)測模型。① 基于LUBE方法的LSSVR和ELM區(qū)間預(yù)測模型。分別以CWC為目標(biāo)函數(shù)，利用GWO尋找最優(yōu)比例參數(shù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行擾動得到預(yù)測區(qū)間。② 利用非參數(shù)KDE方法建立GWO-TSVR、WOA-TSVR區(qū)間預(yù)測模型（分別記為GWO-TSVR-K、WOA-TSVR-K）。首先利用GWO-TSVR模型進(jìn)行點預(yù)測，然后通過分析誤差序列來獲得預(yù)測區(qū)間。③ 基于TSVR模型的區(qū)間預(yù)測方法（記為WOA-TSVR-P）。根據(jù)TSVR模型的上下邊界函數(shù)來構(gòu)建區(qū)間范圍，并利用WOA優(yōu)化參數(shù)。

表2給出了預(yù)見期為1 d時的區(qū)間預(yù)測結(jié)果?？梢钥闯觯焊髂Ｐ虯CE值均為正值，表明預(yù)測區(qū)間的覆蓋度均超過預(yù)設(shè)的置信水平90%。圖6～7給出了流量峰值附近的區(qū)間預(yù)測結(jié)果。對比GWO-TSVR-K、WOA-TSVR-K區(qū)間預(yù)測模型，以LYX水文站為例，其預(yù)測區(qū)間的CWC指標(biāo)值分別為1.149 5和1.148 9，說明KDE方法易受點預(yù)測結(jié)果影響。相較于對比模型，WOA-TSVR-P模型的區(qū)間寬度更窄、PICP值最小，表明模型區(qū)間清晰度較高，但犧牲了區(qū)間可靠度；HTSVR進(jìn)一步耦合了CEEMDAN方法，有效彌補(bǔ)了該缺陷，增強(qiáng)了預(yù)測區(qū)間的可靠度與準(zhǔn)確度，使得流量峰值落入預(yù)測區(qū)間并降低了區(qū)間寬度。例如，所提模型的ACE值最大，PINAW值最小，其中LYX水文站分別為9.35%和0.073 8，TNH水文站分別為6.48%和0.047 2。由此可知，HTSVR可以有效均衡在區(qū)間覆蓋率與區(qū)間寬窄度，保障徑流區(qū)間預(yù)測精度。

為進(jìn)一步驗證所提模型的魯棒性，本文開展了多步預(yù)測實驗。如表3～4所列，對比模型的多步預(yù)測PICP值可能會低于置信水平，使得ACE為負(fù)值。例如，對LYX水文站徑流開展預(yù)見期3 d的區(qū)間預(yù)測時，GWO-LSSVR、GWO-ELM和GWO-TSVR-K模型的PICP指標(biāo)均低于置信水平90%；對TNH水文站進(jìn)行預(yù)見期2～3 d的區(qū)間預(yù)測時，GWO-LSSVR和GWO-ELM模型的ACE指標(biāo)也都是負(fù)值，表明預(yù)測區(qū)間低于置信水平，可靠度較差。由圖8可知，隨著預(yù)見期的增加，對比模型CWC值逐漸增大，表明區(qū)間預(yù)測性能均有所下降；而HTSVR的ACE值總是能保持正值且CWC值小于對比模型，表明所提方法預(yù)測區(qū)間的覆蓋度高于置信水平，具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性與可靠性。

3.3結(jié)果討論

本文將TSVR方法拓展至區(qū)間預(yù)測，并耦合WOA和CEEMDAN方法，構(gòu)建了一種可進(jìn)行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測的混合模型，并應(yīng)用于兩個水文站的日徑流序列。從點預(yù)測實驗結(jié)果來看，WOA-TSVR模型的預(yù)測準(zhǔn)確度要略高于其他對比模型；CEEMDAN分解方法可顯著提高模型的預(yù)測精度，降低預(yù)測誤差，增加預(yù)測值與實測值的擬合度。例如，LYX水文站，RMSE、MAE值平均減小58.96%和51.17%，R、DC值平均增加 0.80%和1.65%。

從區(qū)間預(yù)測實驗結(jié)果來看，預(yù)見期為1 d時，各模型的預(yù)測區(qū)間均能保障可信度滿足置信水平。如WOA-TSVR-P模型較對比模型具有較小的CWC值，但可靠度較低，僅略高于置信水平；通過耦合CEEMDAN分解方法，所提方法有效彌補(bǔ)了此缺陷，具有較高的PICP值，如TNH水文站的PICP值平均增加了3.25%，PINAW值平均減小42.14%。從各水文站多步預(yù)測實驗結(jié)果可知，所提模型HTSVR的ACE值均為正且CWC值較小，具有較強(qiáng)的可靠性和穩(wěn)定性。隨著預(yù)見期的增加，由于預(yù)測誤差的累積，模型的預(yù)測性能均有所下降，CWC指標(biāo)值逐漸增大。如TNH水文站，GWO-LSSVR和GWO-ELM在預(yù)見期為2～3 d時，ACE＜0，說明預(yù)測區(qū)間的可靠度較差。GWO-LSSVR模型的CWC值從1.189 0增大至1.292 3，GWO-ELM模型的CWC值從1.228 6增大至1.304 0。

4結(jié) 語

本文提出了基于孿生支持向量機(jī)的徑流智能區(qū)間預(yù)測方法。首先利用樣本熵和自適應(yīng)噪聲完備集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)得到重構(gòu)子序列，而后以改進(jìn)的孿生支持向量機(jī)和鯨魚優(yōu)化方法為基礎(chǔ)，根據(jù)修正后子序列的復(fù)雜程度分別建立區(qū)間預(yù)測模型與點預(yù)測模型，將子模型預(yù)測結(jié)果疊加得到最終的預(yù)測結(jié)果。同時采用不同的對比模型和評價指標(biāo)來驗證所提模型的可靠性與清晰度。應(yīng)用結(jié)果表明：所提模型無需假設(shè)誤差分布即可提供高質(zhì)量的點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測結(jié)果，可有效減少徑流預(yù)測的不確定性，能夠為徑流預(yù)測提供更加全面的信息。

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（編輯：謝玲嫻）