吳青云　譚易蘭　夏利猛

摘要： 用構(gòu)造的方法解決量子Loop代數(shù)Uq（L（sl2））具有一個一維權(quán)空間的單權(quán)模的結(jié)構(gòu)問題， 得到了任意一個具有一維權(quán)空間的單權(quán)模必同構(gòu)于Uq（L（sl2））的四類單權(quán)模之一. 此外， 還構(gòu)造了一類權(quán)空間維數(shù)為2的既非最高權(quán)也非最低權(quán)的量子Loop代數(shù)Uq（L（sl2））的單權(quán)模.

關(guān)鍵詞： 量子Loop代數(shù)； 權(quán)模； 單模； Dense模

中圖分類號： O152.5文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2024）02-0256-07

Simple Weight Modules of Quantum Loop Algebra Uq（L（sl2））

WU Qingyun， TAN Yilan， XIA Limeng

（School of Mathematical Sciences， Jiangsu University， Zhenjiang 212013， Jiangsu Province， China）

Abstract： The structural problem of simple weight modules with a one-dimensional weight space in the quantum Loop algebra Uq（L（sl2）） was solved by using a construction method， and it was obtained that any simple weight module with a one-dimensional weight space must be? isomorphic to one of the four classes of simple weight modules of Uq（L（sl2））. In addition， a class of simple weight modules of? the quantum Loop algebra Uq（L（sl2）） with? weight space dimension of 2， which was neither the highest weight nor the lowest weight， was constructed.

Keywords： quantum Loop algebra; weight module; simple module; Dense module

1 引言與主要結(jié)果

設(shè)g是復(fù)數(shù)域上的有限維單李代數(shù)， Yangian代數(shù)Y（g）和量子仿射代數(shù)Uq（g^）組成了兩族重要的仿射型量子群. Uq（g^）是由一族生成元和一系列生成關(guān)系構(gòu)成的具有單位元的結(jié)合代數(shù)， Uq（g^）商去由中心元C生成的雙邊理想后得到的商代數(shù)記為Uq（L（g））. 其代數(shù)結(jié)構(gòu)和表示理論在數(shù)學(xué)和物理中都有重要的理論意義和應(yīng)用價值. 例如， Uq（L（g））?？捎糜跇?gòu)造量子Yang-Baxter方程的三角解［1］.

關(guān)于Uq（L（g））模的研究是量子群表示理論的重要問題之一［2-3］. 目前， Uq（L（g））模的研究主要集中在最高權(quán)模， 包括有限維不可約模、 局部Weyl模、 KR（Kirillow-Reshetikhin）模和素表示（Prime representations）［4-8］. 而Uq（L（sl2））的表示理論在Uq（L（g））的研究中具有重要作用.

本文目標是分類Uq（L（sl2））的一類單權(quán)模. 從Uq（sl2）的Dense模出發(fā)［9］， 構(gòu)造一類既不是最高權(quán)也不是最低權(quán)的無限維Uq（L（sl2））單權(quán)模， 然后分類具有一個一維權(quán)空間的Uq（L（sl2））單權(quán)模. 本文主要結(jié)果如下：

參考文獻

[HJ*2/3]［1］JIMBO M. A q-Difference Analogue of U（g） and the Yang-Baxter Equation ［J］. Letters in Mathematical Physics， 1985， 10（1）： 63-69.

［2］CHARI V， PRESSLEY A. A Guide to Quantum Groups ［M］. Cambridge： Cambridge University Press， 1994： 392-403.

［3］DRINFELD V G. A New Realization of Yangians and of Quantized Affine Algebras ［J］. Doklady Akademii Nauk SSSR， 1987， 296（1）： 13-17.

［4］CHARI V， PRESSLEY A. Weyl Modules for Classical and Quantum Affine Algebras ［J］. Representation Theory of the American Mathematical Society， 2001， 5（9）： 191-223.

［5］HERNANDEZ D. The Kirillov-Reshetikhin Conjecture and Solutions of T-Systems ［J］. Journal Fürdie Refine und Angewanclte Mathematik， 2006， 181（8）： 63-87.

［6］BRITO M， CHARI V， MOURA A. Demazure Modules of Level Two and Prime Representations of Quantum Affine sln+1? ［J］. Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu， 2018， 17（1）： 75-105.

［7］BRITO M， CHARI V， VENKATESH R. Quantum Affine Algebras， Graded Limits and Flags ［J］. Journal of the Indian Institute of Science， 2022， 102（3）： 1001-1031.

［8］LECLERC B. Quantum Loop Algebras， Quiver Varieties， and Cluster Algebras ［R］//SKOWRONSKI A， YAMAGATA K. Representations of Algebras and Related Topics， EMS Series of Congress Reports. Tokyo： EMS Press， 2010： 117-152.

［9］楊冬梅. 無限維不可分解的Uq（sl2）-模的分類 ［D］. 北京： 北京工業(yè)大學(xué)， 2005. （YANG D M. Classification of Infinitely Dimensional in Decomposable Uq（sl2） Modules ［D］. Beijing： Beijing University of Technology， 2005.）

［10］CHARI V， PRESSLEY A. Quantum Affine Algebras ［J］. Communications in Mathematical Physics， 1991， 142（2）： 261-283.

［11］BRITTEN D， LAU M， LEMIRE F. Weight Modules for Current Algebras ［J］. Journal of Algebra， 2005， 440（1）： 245-263.

（責(zé)任編輯： 李 琦）

收稿日期： 2023-08-20.

第一作者簡介： 吳青云（1999—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事李理論的研究， E-mail： 2212102047@stmail.ujs.edu.cn.

通信作者簡介： 譚易蘭（1981—）， 男， 漢族， 博士， 副教授， 從事李理論的研究， E-mail： tanyanlan@ujs.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學(xué)基金（批準號： 12171155）.