丁聰　劉楊　陽(yáng)鶯　沈瑞剛

摘要： 利用虛單元方法在多面體網(wǎng)格上求解一種三維穩(wěn)態(tài)Poisson-Nernst-Planck（PNP）方程， 并給出PNP方程的虛單元離散形式， 推導(dǎo)電勢(shì)方程及離子濃度方程的剛度矩陣與荷載向量的矩陣表達(dá)式. 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 在3種不同的多面體網(wǎng)格下實(shí)現(xiàn)了PNP方程的虛單元計(jì)算， 數(shù)值解在L2和H1范數(shù)下均達(dá)到最優(yōu)階.

關(guān)鍵詞： Poisson-Nernst-Planck方程; 虛單元方法; 多面體網(wǎng)格; 三維

中圖分類號(hào)：? O241.82文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1671-5489（2024）02-0293-09

Virtual Element Computation for a Three-Dimensional Poisson-Nernst-Planck Equations

DING Cong1， LIU Yang2， YANG Ying1， SHEN Ruigang1

（1. Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Data Analysis and Computation， Guangxi Applied Mathematics Center （GUET）， School of Mathematics and Computing Science， Guilin University of Electronic Technology， Guilin 541004， Guangxi Zhuang Autonomous Region， China;2. School of Mathematics and Computational Science， Xiangtan University， Xiangtan 411105， Hunan Province， China）

Abstract： The virtual element method was used to solve a three-dimensional steady-state Poisson-Nernst-Planck （PNP） equations on polyhedral meshes. The virtual element discrete forms of the PNP equations were given， and the matrix expressions of the stiffness matrix and the load vector of the electric potential equation and ion concentration equation were derived. The numerical experimental results show that the virtual element computation of PNP equations is realized in three different polyhedral meshes， and the numerical solutions reach the optimal order in both L2 and H2 norms.

Keywords： Poisson-Nernst-Planck equation; virtual element method; polyhedral mesh； three-dimension

PNP（Poisson-Nernst-Planck）方程［1］是由Poisson方程和NP（Nernst-Planck）方程耦合而成的一類非線性偏微分方程系統(tǒng)， 常用于描述電擴(kuò)散反應(yīng)過程， 在半導(dǎo)體［2］、 電化學(xué)系統(tǒng)［3］和生物膜通道［4］等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.

PNP方程因其自身的強(qiáng)耦合性和非線性性， 使得對(duì)該方程的求解較困難， 且在極少情況下有解析解. 早期求解PNP方程的主要方法為有限元［5］、 有限差分［6］和有限體積［7］等方法， 其中： 有限差分法易于編程實(shí)現(xiàn)， 但不適用于非規(guī)則區(qū)域; 有限體積法能處理非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和復(fù)雜的邊界條件， 但由于高階控制體設(shè)計(jì)困難， 因此很難達(dá)到較高的精度; 有限元方法因適用于處理不規(guī)則幾何形狀區(qū)域和復(fù)雜邊界問題而被廣泛應(yīng)用， 在求解一些PNP 方程中取得了很好的效果. 但經(jīng)典的有限元方法精度依賴于網(wǎng)格質(zhì)量， 對(duì)具有復(fù)雜界面的PNP方程效果不佳. Beiro等［8］提出的虛單元法具有更好的網(wǎng)格適應(yīng)性， 對(duì)于多邊形或多面體單元， 甚至包含非凸單元組成的網(wǎng)格剖分， 虛單元法都可以進(jìn)行靈活計(jì)算； 文獻(xiàn)［9］闡述了虛單元方法的理論發(fā)展， 通過介紹虛單元方法在Poisson方程、 線彈性、 非線性等問題中的應(yīng)用， 展現(xiàn)了虛單元方法在工程科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域的巨大潛力; 劉楊［10］對(duì)一類二維PNP方程設(shè)計(jì)了相應(yīng)的虛單元格式， 并給出了其在H1范數(shù)下的誤差估計(jì)； Su等［11］在多面體網(wǎng)格上提出了PNP方程的保正和自由能耗散混合格式， 并給出了離子濃度的正性及自由能耗散等性質(zhì)， 但僅對(duì)Poisson方程使用虛單元法， 而對(duì)NP方程采用有限體積法求解.

本文采用虛單元方法計(jì)算三維穩(wěn)態(tài)PNP方程， 介紹了虛單元空間、 自由度以及虛單元方法中三類投影算子的定義， 給出三維穩(wěn)態(tài)PNP方程的虛單元離散形式， 并利用投影算子的張量形式對(duì)虛單元離散下PNP方程的剛度矩陣和荷載向量矩陣給出表達(dá)式. 將PNP耦合系統(tǒng)解耦成單個(gè)的子方程進(jìn)行求解， 對(duì)Poisson方程的虛單元解h的梯度利用虛單元投影算子做近似， 再代入NP方程的非線性項(xiàng)中形成耦合迭代. 進(jìn)行三維PNP模型問題的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 虛單元解在L2和H1范數(shù)下都達(dá)到最優(yōu)階， 說明虛單元方法對(duì)于三維穩(wěn)態(tài)PNP方程的計(jì)算有效.

綜上所述， 本文將虛單元方法應(yīng)用于三維穩(wěn)態(tài)[WTBZ]PNP方程的計(jì)算， 給出了PNP方程的虛單元離散格式， 以及電勢(shì)方程與離子濃度方程的剛度矩陣和荷載矩陣的形式. 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 六面體網(wǎng)格、 四面體網(wǎng)格和Voronoi網(wǎng)格下的虛單元解的L2模誤差達(dá)到2階收斂階， H1模誤差的收斂階達(dá)到1階收斂階. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了虛單元法在多面體網(wǎng)格下求解三維穩(wěn)態(tài)PNP方程的有效性. 此外， 該方法還可以應(yīng)用到時(shí)間相關(guān)的PNP方程以及更復(fù)雜的離子通道PNP方程［1］中.

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）

收稿日期： 2023-06-27.

第一作者簡(jiǎn)介： 丁 聰（1998—）， 男， 漢族， 碩士研究生， 從事偏微分方程數(shù)值求解的研究， E-mail： dingcongup@qq.com.

通信作者簡(jiǎn)介： 陽(yáng) 鶯（1976—）， 女， 漢族， 博士， 教授， 從事偏微分方程數(shù)值求解的研究， E-mail： yangying@lsec.cc.ac.cn.

基金項(xiàng)目： 廣西科技基地和人才專項(xiàng)基金（批準(zhǔn)號(hào)： 桂科AD23026048）和國(guó)家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： NSFC12161026； 12101595）.