學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系這一章內(nèi)容后，我覺得平面直角坐標(biāo)系中圖形位置的變化與點的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系很有趣，但又有些困惑。于是，我對平面直角坐標(biāo)系中兩點的位置變化進(jìn)行了一些探究和思考。

如圖1，點A（-1，0）、B（1，0）關(guān)于y軸對稱，線段AB被y軸垂直平分，那么點O就是線段AB的中點。現(xiàn)將線段AB沿x軸向右平移2個單位（如圖2），則平移后的A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（1，0）、B（3，0），對稱軸也隨之向右平移2個單位，線段AB的中點為C（2，0）。繼續(xù)將線段AB沿y軸向上平移1個單位（如圖3），平移后的A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（1，1）、B（3，1），此時對稱軸沒有變化，線段AB的中點為C（2，1）。此時，我發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象，三個圖形中線段AB中點的坐標(biāo)和A、B兩點的坐標(biāo)有共同的規(guī)律：線段AB中點的橫坐標(biāo)是A、B橫坐標(biāo)之和的一半，縱坐標(biāo)和A、B縱坐標(biāo)相等。

接下來我改變了點B的位置，在圖3的基礎(chǔ)上將點B向上平移一個單位，此時點B的坐標(biāo)為（3，2），點A的位置不變（如圖4）。這時候我發(fā)現(xiàn)，線段AB的中點C仍然在圖3中線段AB的對稱軸上，所以橫坐標(biāo)沒有變化，仍是點A、B橫坐標(biāo)之和的一半；但縱坐標(biāo)發(fā)生了變化，從圖中的位置看，大于點A的縱坐標(biāo)，且小于點B的縱坐標(biāo)。如何求出點C的縱坐標(biāo)呢？我陷入了沉思。

在認(rèn)真閱讀了教材中關(guān)于點的坐標(biāo)的概念后，我了解到要求點C的縱坐標(biāo)，就是要求出點C到x軸的距離。但苦思冥想后，我還是不知道該如何求解，于是請教了老師。老師提示我要抓住“點C是AB中點”這一關(guān)鍵條件，巧用三角形全等的知識解決這個問題。

在老師的指導(dǎo)下，我順利構(gòu)造了如圖5的一對全等三角形：△ACE與△BCD，其中∠AEC=∠BDC=90°。于是就得到了CE=CD=[12]，進(jìn)而求得CH=CE+EH=[12]+1=[32]，即點C到x軸的距離為[32]，最后得到點C的坐標(biāo)為（2，[32]）。這時我發(fā)現(xiàn)點C的縱坐標(biāo)也是點A、B縱坐標(biāo)之和的一半。

于是我作了如下猜想：對于平面直角坐標(biāo)系中任意兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），當(dāng)C（x，y）是線段AB中點時，則有x=[x1+x22]，y=[y1+y22]。我把自己的猜想和老師進(jìn)行了交流，老師肯定了我的猜想，并鼓勵我和同學(xué)們一起作更一般化的探索。在和同學(xué)們一起討論交流后，我們進(jìn)行了一般化的推理，推理過程如下：

如圖6，過點C作x軸的垂線MN，分別過點A、B作直線MN的垂線，垂足分別為點E、D，則∠AEC=∠BDC=90°。

又∵∠ACE=∠BCD，AC=BC，

所以△ACE≌△BCD。

所以AE=BD，CE=CD，

即x-x1=x2-x，y-y1=y2-y。

所以x=[x1+x22]，y=[y1+y22]。

教師點評：

小作者在探究平面直角坐標(biāo)系中點的位置變化與其坐標(biāo)數(shù)量變化之間的關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)并自主探索得到了中點坐標(biāo)公式，巧用本學(xué)期剛學(xué)過的三角形全等的知識給出了推理和論證，在探索過程中加深了對數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)思想方法的理解。這種基于對數(shù)學(xué)的興趣和好奇而進(jìn)行的探索之旅，體現(xiàn)了小作者樂學(xué)善學(xué)，善于發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的良好思維品質(zhì)。

（指導(dǎo)教師：方秀林）