摘 要：文章對(duì)2022年高考物理遼寧卷進(jìn)行剖析，將小球在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)作為類(lèi)拋體運(yùn)動(dòng)處理并進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的解答；適當(dāng)改換題設(shè)條件，將原高考題目變式為物理材料背景相近，考查知識(shí)點(diǎn)類(lèi)似的變式，并對(duì)給出的變式進(jìn)行分析解答.

關(guān)鍵詞：彈簧；光滑軌道；機(jī)械能守恒；復(fù)合場(chǎng)；類(lèi)拋體運(yùn)動(dòng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）04-0104-04

從一道與類(lèi)拋體運(yùn)動(dòng)內(nèi)容有關(guān)的高考題目說(shuō)起.

例1 （2022高考物理遼寧卷第14題）如圖1所示，光滑水平面AB和豎直面內(nèi)的光滑1/4圓弧軌道在B點(diǎn)平滑連接，導(dǎo)軌半徑為R.質(zhì)量為m的帶正電小球?qū)⑤p質(zhì)彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，脫離彈簧后經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為√gR，之后沿軌道BO運(yùn)動(dòng).以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy，在x≥-R區(qū)域有方向與x軸夾角為θ=45°的勻強(qiáng)電場(chǎng)，進(jìn)入電場(chǎng)后小球受到的電場(chǎng)力大小為√2mg.小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電荷量保持不變，重力加速度為g.

求：（1）彈簧壓縮至A點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能；

（2）小球經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度大??；

（3）小球過(guò)O點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)的軌跡方程.

1 試題簡(jiǎn)評(píng)

這道題目是2022高考物理遼寧卷的第14題，也是整份試卷的倒數(shù)第二題，處于壓軸題目的重要位置：人們通常把一份試卷中題目難度相對(duì)較大、所占分值比例相對(duì)較高的最后兩三道題目稱(chēng)之為試卷的壓軸題，它是拉開(kāi)不同能力考生分?jǐn)?shù)差距的題目，所以格外受到人們的關(guān)注.題目設(shè)置的物理情景是壓縮的彈簧將帶電小球以一定的速度推入勻強(qiáng)電場(chǎng)，之后在電場(chǎng)和重力場(chǎng)形成的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，這樣設(shè)置問(wèn)題把力學(xué)和電學(xué)中的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，可以綜合考查學(xué)生對(duì)電場(chǎng)力、能量守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，以及靈活應(yīng)用物理知識(shí)解決復(fù)雜物理問(wèn)題的能力［1］.題目?jī)?nèi)容不長(zhǎng)，只有二百多字符的內(nèi)容，但卻把與所求問(wèn)題相關(guān)的物理情景交代得清楚明白，通讀題目一遍，即可明晰對(duì)應(yīng)的物理過(guò)程，不存在任何歧義或費(fèi)解之處，體現(xiàn)了編者高超的原創(chuàng)題目的編擬水平.

2 試題解析

解析 （1）因?yàn)樗降孛鍭B是光滑的，所以，在小球與彈簧接觸并受彈簧彈力而運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中（包含小球剛要脫離彈簧的時(shí)刻），小球與彈簧組成系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，

（2）帶電小球由B點(diǎn)離開(kāi)水平面，進(jìn)入電場(chǎng)所在的空間之后，不僅受到自身重力的作用，而且受到電場(chǎng)力的作用，受到這兩個(gè)力的情況如圖2所示.顯然，小球所受重力和電場(chǎng)力的合力方向水平向右，大小等于小球重力mg，1/4圓弧軌道BO位于方向水平向右的復(fù)合場(chǎng)中——重力場(chǎng)和電場(chǎng)形成的復(fù)合場(chǎng)，在此復(fù)合場(chǎng)中，小球沿光滑軌道由B“右落”至O點(diǎn)時(shí)，以y軸所在的豎直面為復(fù)合場(chǎng)的零勢(shì)能參考面，小球的機(jī)械能守恒，所以，小球在O點(diǎn)時(shí)的速度vO滿(mǎn)足：

（3）因?yàn)閺?fù)合場(chǎng)的方向水平向右，所以，小球于O點(diǎn)離開(kāi)光滑圓弧軌道進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)所在的第一象限后，作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示.由圖2可知，類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)中方向水平向右的“類(lèi)拋體重力加速度”大小與重力加速度大小相同，也為g，所以，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線(xiàn).以小球離開(kāi)O點(diǎn)的時(shí)刻為0時(shí)刻，時(shí)間t后，小球在坐標(biāo)系內(nèi)的橫、縱坐標(biāo)分別為：

兩式結(jié)合，消去t可得到小球的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為y2=6Rx.

3 試題變式

可以發(fā)現(xiàn)，上面的這道高考題目給出的數(shù)據(jù)條件非常的“湊巧”——其中一點(diǎn)是勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向剛好與水平面成45°角的“巧”，另一點(diǎn)是“進(jìn)入電場(chǎng)后小球受到的電場(chǎng)力大小為2mg”，電場(chǎng)力大小剛好為小球重力大小2倍的“巧”，正是這些“巧”的搭配，才使復(fù)合場(chǎng)的方向是水平向右，才會(huì)有小球離開(kāi)軌道之后，在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是對(duì)稱(chēng)軸平行于x軸，開(kāi)口向右拋物線(xiàn)的“巧”［2］.當(dāng)然，這些“湊巧”的數(shù)據(jù)肯定是編者精細(xì)設(shè)計(jì)的結(jié)果，可以使確定小球運(yùn)動(dòng)軌跡方程的過(guò)程不至于過(guò)難.

實(shí)際上，對(duì)于這道高考題目，在保持原來(lái)的物理情景（包含題設(shè)建立的物理模型）基本不變的情況下，適當(dāng)改換題目條件，可以得到與這道高考題目考查知識(shí)點(diǎn)類(lèi)似但難度更高的不同變式來(lái).

例2 （2022高考物理遼寧卷第14題變式）.如圖4所示，光滑水平面AB和豎直面內(nèi)的光滑1/4圓弧軌道在B點(diǎn)平滑連接，導(dǎo)軌半徑為R.質(zhì)量為m帶正電荷的小球?qū)⑤p質(zhì)彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，脫離彈簧后經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為gR，之后沿軌道BO運(yùn)動(dòng).在過(guò)B點(diǎn)豎直平面右側(cè)區(qū)域有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，進(jìn)入電場(chǎng)后小球受到的電場(chǎng)力大小為3mg.小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電荷量保持不變，重力加速度為g.求：（1）彈簧壓縮至AS中點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能（S為水平彈簧自然長(zhǎng)度下小球的位置）；（2）小球經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度大??；（3）小球離開(kāi)軌道后的最小速度；（4）判斷小球脫離軌道后電勢(shì)能最大時(shí)的位置.

分析 跟原來(lái)的高考題目相比，這道變式題目的物理情景基本相同，不同點(diǎn)是電場(chǎng)方向由原來(lái)的與水平面成45°角的斜向上方向更改為水平方向，同時(shí)將小球所受電場(chǎng)力由原來(lái)2mg改換為3mg，最后題目所求的問(wèn)題也作了適當(dāng)調(diào)整.這樣更改題設(shè)之后，解題的難度將比原來(lái)增大一些.

解析 作出帶電小球在電場(chǎng)中僅受重力和電場(chǎng)力的受力示意圖，如圖5所示.易知，這兩個(gè)力的合力方向斜向下，與水平面成30°角，合力大小為F合力=2mg，所以，物體在復(fù)合場(chǎng)中的受力情形，可以等效為“等效重力場(chǎng)”中的受力情形，其“等效重力加速度”的方向即為圖5中的合力方向，“等效重力加速度”大小為g′=2g.

（1）小球壓縮至AS的中點(diǎn)時(shí)，彈簧的形變量是小球由S壓縮到A點(diǎn)時(shí)形變量的一半，所以，彈簧的彈性勢(shì)能是小球壓縮到A點(diǎn)時(shí)彈簧彈性勢(shì)能的1/4：

（2）因?yàn)閳A形軌道是光滑的，所以小球在B點(diǎn)離開(kāi)彈簧，進(jìn)入由重力場(chǎng)和電場(chǎng)組合而成的復(fù)合場(chǎng)之后，其機(jī)械能守恒（這里的“機(jī)械能守恒”指的是等效重力加速度為g′=2g的等效重力場(chǎng)中小球的機(jī)械能守恒，在“等效重力場(chǎng)”中物體的“等效重力勢(shì)能”等于物體質(zhì)量、物體的相對(duì)高度和“等效重力加速度”的乘積）.過(guò)O點(diǎn)作垂直于“等效重力加速度”方向（即CP方向）的垂線(xiàn)ON交圓形軌道于N點(diǎn)，如圖6所示（為避免無(wú)關(guān)線(xiàn)條的干擾，圖6中水平向右的電場(chǎng)線(xiàn)沒(méi)有畫(huà)出），過(guò)B作BM⊥ON，垂足為M，顯然，OM為等效重力場(chǎng)中的“等效水平面”.

兩方程結(jié)合消去y，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程4/3（23-1）Rx2+b=0，令根的判別式Δ=0得b=0，所以，拋物線(xiàn)的豎直切線(xiàn)方程為y=3/3x，與拋物線(xiàn)的切點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，即，小球在剛離開(kāi)軌道時(shí)的電勢(shì)能最大.

應(yīng)該說(shuō)，我們上面通過(guò)聯(lián)立方程組的方法進(jìn)行推理得出結(jié)論的過(guò)程，雖然是可行的，但過(guò)于麻煩.還可以通過(guò)簡(jiǎn)單的邏輯推理，得出小球在剛離開(kāi)圓弧形軌道時(shí)電勢(shì)能最大的結(jié)論.因?yàn)樾∏蚴请x開(kāi)圓形軌道后在復(fù)合場(chǎng)中作拋物線(xiàn)軌跡運(yùn)動(dòng)的，所以?huà)佄锞€(xiàn)與圓形軌道連接點(diǎn)O是兩曲線(xiàn)相切的切點(diǎn)，因?yàn)閳A形軌道在O點(diǎn)的切線(xiàn)是豎直的，所以?huà)佄锞€(xiàn)軌跡在O點(diǎn)的切線(xiàn)也將是豎直的，而拋物線(xiàn)豎直的切線(xiàn)只有一條，所以O(shè)點(diǎn)是小球運(yùn)動(dòng)軌跡中水平向右電場(chǎng)內(nèi)最靠左邊的點(diǎn)，因此小球在O點(diǎn)的電勢(shì)能最大.

實(shí)際上，如果該變式題設(shè)軌道圓弧設(shè)置的不是1/4圓弧，而是比這個(gè)稍微長(zhǎng)一些.比如設(shè)置為1/3圓弧，小球離開(kāi)圓弧形軌道在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)行軌跡依然是拋物線(xiàn)，那么，圓弧上端點(diǎn)位置該圓弧的切線(xiàn)（也是小球運(yùn)動(dòng)軌跡拋物線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)）就不再豎直.換句話(huà)說(shuō)，拋物線(xiàn)的豎直切線(xiàn)就不再過(guò)原點(diǎn)，在此情況下確定小球電勢(shì)能最大的位置，就只能通過(guò)聯(lián)立方程組的方法進(jìn)行判斷了.

4 結(jié)束語(yǔ)

2022高考物理的第14題，巧妙設(shè)置物理模型，將力學(xué)與電學(xué)中的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，可以綜合考查學(xué)生對(duì)彈性勢(shì)能、機(jī)械能守恒、拋體運(yùn)動(dòng)等公式的掌握情況，以及靈活應(yīng)用物理知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題的能力［3］.適當(dāng)改換題設(shè)條件，可以得到與原高考題目材料背景相近，考查知識(shí)點(diǎn)類(lèi)似的不同變式，通過(guò)對(duì)變式的解析，可以使學(xué)生對(duì)同類(lèi)物理問(wèn)題有更為深入的理解.

參考文獻(xiàn)：［1］ 崔軍，鄒建光.深度分析高考試題 提升學(xué)生思維能力：對(duì)高考試題中拋體運(yùn)動(dòng)和類(lèi)拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2020（8）：65-67.

[2] 王磊，陳建文.斜面上定向拋體運(yùn)動(dòng)的初速度放大鏡效應(yīng)[J].物理教師，2019（6）：84-86.

[3] 任亦心.面積法妙解類(lèi)拋體運(yùn)動(dòng)[J].數(shù)理化解題研究，2017（4）：73.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡(jiǎn)介：王偉民，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.