□ 鐘 浩 □ 張為民 □ 謝樹(shù)聯(lián) □ 賈子瑋

同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院 上海 201804

1 研究背景

在生產(chǎn)制造中,測(cè)量檢驗(yàn)是重要環(huán)節(jié)。然而,測(cè)量過(guò)程中的隨機(jī)因素會(huì)造成被測(cè)量量值具有分散性。測(cè)量不確定度是表征被測(cè)量量值分散性的非負(fù)參數(shù),可以表明測(cè)量結(jié)果的可信程度,是測(cè)量結(jié)果不可缺少的參數(shù)[1-2]。隨著消費(fèi)市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品的需求向個(gè)性化和多樣化轉(zhuǎn)變,越來(lái)越多的企業(yè)由大批量生產(chǎn)模式向多品種小批量生產(chǎn)模式轉(zhuǎn)變。由于生產(chǎn)效率的要求,小批量生產(chǎn)時(shí)往往不可能針對(duì)特定的尺寸與形位特征進(jìn)行大量測(cè)量,所獲得的測(cè)量數(shù)據(jù)樣本較少,此時(shí)需要在小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)下進(jìn)行測(cè)量不確定度評(píng)定。

最大熵原理是Jaynes[3]提出的,核心思想是在推斷一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布時(shí),僅依靠已知信息,不對(duì)未知信息進(jìn)行主觀假設(shè),由此得到信息熵最大的隨機(jī)變量分布,能客觀反映隨機(jī)變量的分布情況。最大熵原理被應(yīng)用到很多領(lǐng)域,并展現(xiàn)出巨大的實(shí)際價(jià)值和研究意義[4]。在機(jī)械制造的測(cè)量檢驗(yàn)環(huán)節(jié)中,可以利用最大熵原理確定測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù),進(jìn)一步完成測(cè)量不確定度的評(píng)定[5-8]。

以原點(diǎn)矩為約束的最大熵原理是基本且應(yīng)用廣泛的最大熵原理,求解概率密度函數(shù)的準(zhǔn)確性受樣本量大小和原點(diǎn)矩階數(shù)影響。樣本量足夠大時(shí),基于更高階的原點(diǎn)矩可以得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。但隨著階數(shù)的增加,求解過(guò)程越來(lái)越復(fù)雜,反而使計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確[9]。因此,選擇更高階的原點(diǎn)矩不能解決小樣本數(shù)據(jù)下基于原點(diǎn)矩約束最大熵原理求得的測(cè)量不確定度不可靠的問(wèn)題。另一方面,當(dāng)測(cè)量值較大時(shí),基于原點(diǎn)矩約束最大熵原理在優(yōu)化求解時(shí)有數(shù)值溢出風(fēng)險(xiǎn)[10-11]。筆者針對(duì)經(jīng)典原點(diǎn)矩約束最大熵原理在小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)情況下求出測(cè)量不確定度不夠準(zhǔn)確可靠,存在數(shù)值溢出風(fēng)險(xiǎn)的問(wèn)題,提出適用于小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)的基于數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理的測(cè)量不確定度評(píng)定方法,并驗(yàn)證有效性,為基于最大熵原理的測(cè)量不確定度評(píng)定的研究與應(yīng)用提供參考。

2 數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理

設(shè)測(cè)量樣本數(shù)據(jù)x的樣本區(qū)間為[xmin,xmax],對(duì)其進(jìn)行歸一化處理,歸一化處理后的隨機(jī)變量為y,區(qū)間為[0,1],歸一化公式為:

(1)

根據(jù)最大熵原理,隨機(jī)變量y唯一的概率密度函數(shù)p(y)可由最大熵H(y)確定,即:

(2)

在原點(diǎn)矩約束條件下,有:

(3)

(4)

(5)

式中:mi為i階原點(diǎn)矩,i=1,2,3,…,n。

使用拉格朗日乘子法在熵函數(shù)中引入拉格朗日乘子λ0、λ1、…、λn,可得:

(6)

(7)

再由式(3)、式(4)和式(7),可得:

(8)

參數(shù)λi方程組為:

(9)

設(shè)殘差為ri,有:

(10)

當(dāng)殘差的二次方和最小時(shí),可以求解出λi的最優(yōu)解,為:

(11)

(12)

(13)

(14)

u=(xmax-xmin)σ

(15)

針對(duì)參數(shù)λi,可用非線性最小二乘法[14]、爬山搜索算法[6,13]、粒子群算法[15]、遺傳算法[16]等進(jìn)行優(yōu)化求解。筆者采用Nelder-Mead算法求解參數(shù)λi的最優(yōu)解,確定測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)。

3 數(shù)值仿真

在Python軟件中先基于正態(tài)分布N(5,0.5)生成10個(gè)隨機(jī)數(shù),表示加工結(jié)果真實(shí)值。再基于正態(tài)分布N(0,0.1)生成100個(gè)隨機(jī)數(shù)表示測(cè)量誤差,每10個(gè)為1組,分別與之前10個(gè)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行相加,形成10組數(shù)據(jù)。仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)

使用數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理,對(duì)上述仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)量不確定度評(píng)定。以第1組數(shù)據(jù)為例,對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理,積分區(qū)間為[0,1],選擇3階矩,求得樣本原點(diǎn)矩m1為0.421 6,m2為0.272 9,m3為0.205 4。在Python軟件中編寫(xiě)計(jì)算程序,使用Nelder-Mead算法進(jìn)行優(yōu)化求解,設(shè)定λ1、λ2、λ3的初始值依次為0.5、0.5、0.1,優(yōu)化得到最優(yōu)解λ1為-3.680 4,λ2為3.118 3,λ3為-0.262 2,代入式(8)可得λ0為0.813 2,由此得到歸一化后y的概率密度函數(shù)為:

p(y)=exp(0.813 2-3.680 4y+3.118 3y2-

0.262 2y3)

(16)

由式(12)～式(15)求得第1組數(shù)據(jù)的測(cè)量不確定度為0.091 2。以相同方式求出其它組測(cè)量不確定度。為進(jìn)行比較,同時(shí)以原點(diǎn)矩約束最大熵原理[13]和概率權(quán)重矩約束最大熵原理[17]計(jì)算仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)的測(cè)量不確定度,且同樣選擇3階矩。三種方法計(jì)算得到的測(cè)量不確定度結(jié)果見(jiàn)表2。三種方法計(jì)算的測(cè)量不確定度散布對(duì)比如圖1所示。

圖1 仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)測(cè)量不確定度散布對(duì)比

表2 仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)測(cè)量不確定度結(jié)果

從圖1中可以明顯看出,基于原點(diǎn)矩約束最大熵原理的評(píng)定結(jié)果中,有六組數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果小于理論值,有三組數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果大于理論值,整體評(píng)定結(jié)果分布偏于理論值下方?；跀?shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理和基于概率權(quán)重矩約束最大熵原理的評(píng)定結(jié)果較均勻地分布在理論值上下,與理論相符。三種方法計(jì)算的10組仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)的測(cè)量不確定度均值及與理論值偏差見(jiàn)表3。數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理與概率權(quán)重矩約束最大熵原理一樣,更為接近理論值0.1,與理論值的相對(duì)偏差分別僅為1.9%和2.6%,而原點(diǎn)矩約束最大熵原理與理論值的相對(duì)偏差則達(dá)到了10.4%。三種方法中,所提的數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理表現(xiàn)最佳。由仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)的測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果分析可得,數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理能夠有效提高小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)下基于原點(diǎn)矩約束最大熵原理測(cè)量不確定度評(píng)定的準(zhǔn)確性。

表3 仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)測(cè)量不確定度均值及與理論值偏差

4 應(yīng)用案例

以某一小批量閥塊零件為例,檢驗(yàn)所提基于數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理的測(cè)量不確定評(píng)定方法的應(yīng)用效果。使用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行測(cè)量,測(cè)量閥塊零件距離圓柱頂端5.5 mm處圓度,如圖2所示。先對(duì)一個(gè)零件重復(fù)測(cè)量100次,將其標(biāo)準(zhǔn)差0.61 μm作為理論值。之后分別測(cè)量十個(gè)閥塊零件的圓度,每個(gè)零件重復(fù)測(cè)量10次,獲得的圓度測(cè)量值見(jiàn)表4。

圖2 閥塊零件圓度測(cè)量

表4 閥塊零件圓度重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù) μm

同樣采用三種方法分別計(jì)算閥塊零件圓度重復(fù)性測(cè)量不確定度,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5。三種方法計(jì)算的閥塊零件圓度測(cè)量不確定度散布對(duì)比如圖3所示。

圖3 閥塊零件圓度測(cè)量不確定度散布對(duì)比

表5 閥塊零件圓度測(cè)量不確定度

從圖3中可以明顯看出,基于原點(diǎn)矩約束最大熵原理評(píng)定的十個(gè)閥塊零件的圓度測(cè)量不確定度分布偏于理論值下方,其中有七個(gè)閥塊零件的評(píng)定結(jié)果小于理論值?；跀?shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理和基于概率權(quán)重矩約束最大熵原理的評(píng)定結(jié)果相對(duì)均勻地分布在理論值上下。這與仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)的測(cè)量不確定度分析結(jié)果一致。三種方法計(jì)算的十個(gè)零件的圓度測(cè)量不確定度均值及與理論值偏差見(jiàn)表6。 原點(diǎn)矩約束最大熵原理與理論值0.61 μm相對(duì)偏差為14.75%,數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理與理論值相對(duì)偏差為3.28%,概率權(quán)重矩約束最大熵原理與理論值相對(duì)偏差為1.64%。因此,應(yīng)用案例分析再次證明了在小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)下數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理的有效性,能有效提升原點(diǎn)矩約束最大熵原理在小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)下的測(cè)量不確定度評(píng)定的準(zhǔn)確性。

表6 閥塊零件圓度測(cè)量不確定度均值及與理論值偏差

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者針對(duì)小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)下基于原點(diǎn)矩約束最大熵原理評(píng)定的測(cè)量不確定度不準(zhǔn)確問(wèn)題,提出適用于小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)的基于數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理的測(cè)量不確定度評(píng)定方法,并進(jìn)行數(shù)值仿真和應(yīng)用案例驗(yàn)證。數(shù)值仿真與應(yīng)用案例驗(yàn)證結(jié)果顯示,基于數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理評(píng)定的測(cè)量不確定度均勻分布在理論值上下。在數(shù)值仿真驗(yàn)證中,10組仿真隨機(jī)數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果的均值與理論值的相對(duì)誤差僅為1.9%,而原點(diǎn)矩約束最大熵原理與理論值的相對(duì)誤差為10.4%。在應(yīng)用案例驗(yàn)證圓度測(cè)量不確定度評(píng)定中,對(duì)十個(gè)閥塊零件圓度的評(píng)定結(jié)果與大量重復(fù)測(cè)量的圓度測(cè)量不確定度理論值相比,相對(duì)誤差為3.28%,而原點(diǎn)矩約束最大熵原理與理論值的相對(duì)誤差為14.75%。由此,在小批量生產(chǎn)的測(cè)量檢驗(yàn)環(huán)節(jié)中,對(duì)于只能獲得小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)的情況,與原點(diǎn)矩約束最大熵原理相比,數(shù)據(jù)歸一化原點(diǎn)矩約束最大熵原理能夠準(zhǔn)確有效評(píng)定測(cè)量不確定度,提高小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)下基于原點(diǎn)矩約束最大熵原理測(cè)量不確定度評(píng)定的可靠性。