文| 劉士鋒，李士娟

在學(xué)習(xí)整數(shù)除法和小數(shù)除法時，學(xué)生不僅要掌握算法，還要基于計數(shù)單位對算理進行表達(dá)，也就是初步形成“算理+算法”的知識結(jié)構(gòu)和“基于計數(shù)單位對數(shù)進行均分”的思維結(jié)構(gòu)。

一、激活已有經(jīng)驗，生成新問題

1.把8 個月餅平均分給4 個人，每人分得幾個？

師：怎樣列式？結(jié)果是多少？

生：8÷4=2（個）

生：就是把8 個月餅平均分成4 份，所以用除法，每份2 個。

2.把1 個月餅平均分給4 個人，每人分得幾個？

生：1÷4=0.25（個）

師：你是怎樣想的？

生：把1 個月餅平均分給4 個人，每人分不到1個，所以商用小數(shù)表示。

師：是的，當(dāng)每人分不到1 個月餅時，可以用小數(shù)來表示。除了用小數(shù)表示1÷4 的商外，還可以用什么數(shù)來表示呢？

【思考】創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的分月餅情境，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的“總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)”的經(jīng)驗，列出相應(yīng)的除法算式并用整數(shù)或小數(shù)表示結(jié)果，為后續(xù)學(xué)習(xí)運算的一致性提供素材，同時生成新的問題。

二、數(shù)形結(jié)合，尋求答案

1.用分?jǐn)?shù)表示1÷4 的商

師：在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”時，我們有什么經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

生：畫圖或折一折。

師：那我們先用畫圖的方法來看一看。

（課件出示畫圖的過程）

師：看來1 個月餅的幾分之幾，就是幾分之幾個。

【思考】在之前“分?jǐn)?shù)意義”的學(xué)習(xí)中，主要學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)對部分和整體關(guān)系的表達(dá)，缺少用分?jǐn)?shù)表示數(shù)量的經(jīng)驗，使得學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義認(rèn)識不全面，因此本環(huán)節(jié)借助畫圖和分?jǐn)?shù)的意義，除了直觀地得到1÷4 的商外，還增加了1 個月餅的幾分之幾就是幾分之幾個的表述與理解，初步感悟分?jǐn)?shù)既可以表示關(guān)系又可以表示具體的數(shù)量，為接下來的研究奠定知識基礎(chǔ)。

2.探究3÷4 的商

課件出示：把3 個月餅平均分給4 個人，每人分得幾個？

學(xué)生借助學(xué)具，分一分，折一折，并進行匯報。

生：把每個月餅都平均分成4 份，分別拿出1 份，每個人就分得3 份，把這3 份拼在一起，就是1 個月餅的，是個，所以3÷4=（個）。

方法2：

【思考】在以往的教學(xué)中，本環(huán)節(jié)通常會讓學(xué)生解釋其中道理，每人分得3 個個，這樣學(xué)生在描述的過程中非常拗口，通過實踐來看，可以幫助學(xué)生清晰地理解算理，故而借助操作尋求算式的結(jié)果淡化了說理。

3.探究5÷6 的商

出示：把5 個月餅平均分給6 個人，每人分得幾個？

師：剛才我們借助畫圖或折紙的方法分別找到了1÷4 和3÷4 的商，如果我們不畫圖、不折紙，你能用分?jǐn)?shù)表示5÷6 的商嗎？

師：能說一說你是怎樣想的嗎？

生：我們可以把5 個月餅分別平均分成6 份，每個月餅?zāi)贸? 份，拼在一起就是1 個月餅的，是個，所以5÷6=（個）。

生：我們也可以把5 個月餅疊在一起，平均分成6 份，每人分得這樣的1 份，然后把它們拼在一起，也得到1 個月餅的，是個。

師：看來同學(xué)們很善于利用已有的經(jīng)驗來解決問題，那究竟對不對呢？我們借助圖形來驗證一下。（出示圖形驗證答案）

【思考】本環(huán)節(jié)不再借助具體操作，而是利用前一環(huán)節(jié)中的單個分或者整體分的研究經(jīng)驗，發(fā)揮想象，進行推理，有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識，同時在描述分月餅的過程中進一步加深了理解。

三、觀察分析，探尋關(guān)系

師：如果把78 個月餅，平均分給99 個人，每人分得幾個呢？

師：看來同學(xué)們已經(jīng)有所發(fā)現(xiàn)了，我們一起來看一看剛才的研究成果。

師：大家仔細(xì)觀察，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這3 個算式都是整數(shù)除法，在計算時，如果商不能用整數(shù)表示，就可以用分?jǐn)?shù)來表示。

生：用分?jǐn)?shù)表示整數(shù)除法的商時，分子和被除數(shù)一樣，分母和除數(shù)一樣。

師：是的，整數(shù)除法運算出現(xiàn)不夠除的時候，就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，而且用分?jǐn)?shù)表示整數(shù)除法的商時，分子相當(dāng)于除法算式中的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除法算式中的除數(shù)?？梢赃@樣表示：被除數(shù)÷除數(shù)=。會用字母來表示它嗎？

生：在除法里除數(shù)不能是0，還得補充上b≠0。

師：真好，考慮得非常全面。請同學(xué)們繼續(xù)思考兩個問題：分?jǐn)?shù)和除法有什么區(qū)別？你對分?jǐn)?shù)有哪些新的認(rèn)識？

生：有區(qū)別，除法是一種運算，而分?jǐn)?shù)是一種數(shù)，不完全一樣。

生：我發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除了表示部分和整體的關(guān)系，還能表示一個具體的數(shù)量、除法計算的商。

【思考】通過觀察思考，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考，對分?jǐn)?shù)有了進一步的認(rèn)識，分?jǐn)?shù)既可以表示部分與整體的關(guān)系，又可以表示具體數(shù)量和商，從而實現(xiàn)了整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)認(rèn)識的一致性。

四、對比聯(lián)系，感悟一致性

師：剛才我們通過研究不僅知道了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，還對分?jǐn)?shù)有了更全面的認(rèn)識，大家觀察下面幾個算式有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

師：我們先來看8÷4=2，大家能借助計數(shù)單位解釋其中的道理嗎？

生：我來說8÷4，8 表示8 個一，把8 個一平均分成4 份，每份分得2 個一，所以商是2。

師：說得真不錯，那剩下的2 個算式中又有怎樣的道理呢？比如1÷4=，誰能來說一說？

師：研究到這里，大家有什么想說的？（學(xué)生陷入了短暫的沉默）

生：老師，我有發(fā)現(xiàn)，后面2 個算式的商都不能用整數(shù)表示，這時就可以把幾個一平均分，這樣一來就變成了幾個幾分之一，就能用分?jǐn)?shù)表示了。

生：我給補充一下，平均分的時候，就產(chǎn)生了一個新的分?jǐn)?shù)單位，如把1 平均分成4 份，就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)單位，把1 平均分成6 份，就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)單位，這樣計數(shù)單位小了，但是計數(shù)單位的個數(shù)增加了，就夠分了。

師：同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)太重要了，當(dāng)商不能用整數(shù)來表示的時候，我們可以把大的計數(shù)單位，通過平均分產(chǎn)生新的小的計數(shù)單位，再進行運算。

師：這兩個算式都是計算1÷4，商一個是用小數(shù)表示，一個是用分?jǐn)?shù)表示，大家還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：用小數(shù)表示的時候，就是把大的計數(shù)單位轉(zhuǎn)化成了0.1 和0.01，用分?jǐn)?shù)表示的時候是把大的計數(shù)單位轉(zhuǎn)化成了。

師：大家同意他的說法嗎？

生：同意。

生：我還有個疑問，要是這樣的話，8÷4 的商是不是也可以用分?jǐn)?shù)來表示？

師：提出一個問題比解決一個問題更有價值。那8÷4 的商能不能用分?jǐn)?shù)來表示呢？

師：理解得真透徹。我們一起來梳理一下，這些除法算式都是把什么進行平均分的？

生：計數(shù)單位。

生：可以根據(jù)需要把計數(shù)單位進行轉(zhuǎn)換。

師：是的，整數(shù)除法無論是用整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)來表示商，均分的都是計數(shù)單位，它們是一致的。通過對數(shù)的認(rèn)識的學(xué)習(xí)，我們知道數(shù)是對計數(shù)單位個數(shù)的表達(dá)，現(xiàn)在看來數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運算都是以“計數(shù)單位”為核心的。

【思考】在借助操作探尋出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系后，進一步引領(lǐng)學(xué)生從“計數(shù)單位”的角度，對除法算式進行算理的解釋，這樣學(xué)生在激活已有用整數(shù)表示商的基礎(chǔ)上，結(jié)合操作獲得直觀經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)在平均分的時候，產(chǎn)生了新的計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）。在不改變數(shù)的大小的前提下，通過把計數(shù)單位進行細(xì)分獲得新的小的計數(shù)單位，這樣新計數(shù)單位變小的同時，增加了新計數(shù)單位的個數(shù)，使得除法計算得以進行，而且通過對8÷4 的商既可以用整數(shù)表示又可以用分?jǐn)?shù)表示的對比，讓學(xué)生深刻體會到用分?jǐn)?shù)表示商的通用性。