喬建元

摘要：文章列舉了相關(guān)的試題和解析，讓學(xué)生體會(huì)同構(gòu)思想在解題中的優(yōu)越性，從而提高學(xué)生相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：同構(gòu)；變形；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）11-0059-03

在高中數(shù)學(xué)中，同構(gòu)是一種重要的思想或方法，意指構(gòu)造相同形式的結(jié)構(gòu)，其不僅僅是一個(gè)表面上的等價(jià)關(guān)系，還是指兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間具有相似的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征.其雖未出現(xiàn)在教材中，但是卻在某些方面起著舉足輕重的作用.

1 同構(gòu)在高中數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用

1.1 集合方面

要找兩個(gè)集合有某種關(guān)系時(shí)，先研究限定條件的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，通過相同點(diǎn)發(fā)現(xiàn)或者構(gòu)造出相似的結(jié)構(gòu)，這樣只需研究不同點(diǎn)就可判斷二者的關(guān)系.

例1集合M=x|x=kπ2+π4，k∈Z，集合N=x|x=kπ4+π4，k∈Z，則下列選項(xiàng)正確的（）.

A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=

解析因?yàn)镸=x|x=kπ2+π4，k∈Z=x|x=（2k+1）π4，k∈Z，N=x|x=kπ4+π4，k∈Z=x|x=（k+1）π4，k∈Z，當(dāng)k∈Z時(shí)，2k+1是奇數(shù)，k+1是整數(shù)，所以MN，故選B.

1.2 方程方面

若f（x1）=a，f（x2）=a， 則x1和x2就是方程f（x）=a的兩個(gè)根，如果兩個(gè)式子的形式不統(tǒng)一，則需要對(duì)其中一個(gè)或者兩個(gè)方程變形，使兩個(gè)式子的形式相同，從而達(dá)到解題的目的.

例2已知x，y∈［-π4，π4］，a∈R，且x3+sinx-2a=0，（1）4y3+siny·cosy+a=0，（2） 則cos（x+2y）=.

解析（2）式左右兩邊同時(shí)乘以-2得（-2y）3+sin（-2y）-2a=0，構(gòu)造函數(shù)f（t）=t3+sint-2a，f ′（t）=3t2+cost>0，則函數(shù)f（t）單調(diào)遞增，方程組變?yōu)閒（x）=0，f（-2y）=0，由單調(diào)性的定義得x=-2y，即x+2y=0，所以cos（x+2y）=1.

1.3 三角函數(shù)方面

對(duì)于同名三角函數(shù)，只需根據(jù)單調(diào)性得到兩變量的大小關(guān)系；對(duì)于非同名三角函數(shù)，通過誘導(dǎo)公式和二倍角公式等將其化為同名三角函數(shù)即可.

例3在△ABC中，角A和角B滿足sinA-cosB+A+B<π2，則下列選項(xiàng)正確的是（）.

A.sinAcosB

C.sinB

解析sinA-cosB+A+B<π2變形為sinA+A

則函數(shù)f（t）單調(diào)遞增.

上式等價(jià)于f（A）

由單調(diào)性的定義得A<π2-B，即A+B<π2，所以C>π2.

對(duì)于A，sinA>0，cosC<0，所以sinA>cosC，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由0

同理，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D，由0

1.4 數(shù)列方面

若數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=f（n），其同構(gòu)式為an+1=f（n+1）（n∈N*）或an-1=f（n-1）（n∈N*且n≥2），則由an+1-an=p或an-an-1=p（其中p為常數(shù)）來判斷原數(shù)列an為等差數(shù)列；由an+1an=p或anan-1=p（其中p為常數(shù)）來判斷原數(shù)列an為等比數(shù)列.

例4已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1=5an-8an-1（n∈N*），求證：數(shù)列an-2an-4為等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析令bn=an-2an-4，則bn+1=an+1-2an+1-4.

則bn+1bn=（an+1-2）/（an+1-4）（an-2）/（an-4）

=an+1-2an+1-4·an-4an-2

=（5an-8）/（an-1）-2（5an-8）/（an-1）-4·an-4an-2

=3（an-2）an-4·an-4an-2=3=q，

bn=a1-2a1-4=-1，

則數(shù)列bn是以-1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，所以bn=b1·qn-1=-3n-1=an-2an-4，解得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=4·3n-1+23n-1+1（n∈N*）.

1.5 解析幾何方面

在高考圓錐曲線問題中，常常會(huì)涉及三角形，而這些三角形中，往往會(huì)有幾個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是較為相似的，一般是在同一條直線上且在同一曲線上.因此，我們只需研究其中一個(gè)點(diǎn)和第三個(gè)點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而得出另一個(gè)點(diǎn)與第三個(gè)點(diǎn)的關(guān)系，亦即同構(gòu)［1］.

例5已知拋物線C：x2=4y，⊙M：x2+（y+4）2=1，若點(diǎn)P在⊙M上，且PA，PB為C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求ΔPAB面積的最大值.

解析設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），對(duì)于拋物線C：y=x24，則y′=x2，因此在點(diǎn)A，B處的切線斜率分別為x12，x22，則在點(diǎn)A處的切線方程為y-y1=x12（x-x1），化簡得切線PA：y=x12x-y1.

同理得切線PB：y=x22x-y2.

因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在直線PA，PB上，所以y0=x12x0-y1，y0=x22x0-y2，則點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在直線y=x02x-y0上，則直線AB：y=x02x-y0，聯(lián)立y=x02x-y0，x2=4y，得x2-2x0·x+4y0=0.

由韋達(dá)定理，得x1+x2=2x0，x1·x2=4y0.

則|AB|=1+kAB·（x1+x2）2-4x1·x2

=x20+4·x20-4y20.

點(diǎn)P到AB的距離d=|x20-4y0|x20+4，則

S△PAB=12·d·|AB|=12（x20-4y0）3.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙M上，所以x20+（y0+4）2=1.所以S△PAB=12［21-（y0+6）2］3≤205（其中y0∈［-5，-3］），當(dāng)且僅當(dāng)y0=-5時(shí)取“=”，所以ΔPAB面積的最大值為205.

1.6 函數(shù)和導(dǎo)數(shù)方面

函數(shù)的同構(gòu)問題常見于指對(duì)混合函數(shù)的恒成立或零點(diǎn)問題中，重在觀察和變形，所以技巧性較強(qiáng).當(dāng)然這類試題也可以用其他方法完成，那么在這里用同構(gòu)思想，更多的是提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)［2］.

例6已知函數(shù)f（x）=exx-lnx+x-a.

（1）若f（x）≥0，求a的取值范圍；

（2）證明：若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則x1·x2<1.

解析（1）由已知得exx-lnx+x-a≥0.

則等價(jià)于a≤ex-lnx+（x-lnx）.

令t=x-lnx，則a≤et+t.

令h（x）=x-lnx，則h′（x）=x-1x.

易知h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+

SymboleB@

），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），h（x）≥h（1）=1，即t≥1，易知et+t在t≥1時(shí)單調(diào)遞增，所以a≤e+1（當(dāng)t=1即x=1時(shí)取“=”.）

（2）f ′（x）=（ex+x）（x-1）x2，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+

SymboleB@

），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），則不妨設(shè)0

即證f（x1）>f（1x2）.

因?yàn)閒（x1）=f（x2）=0，即證f（x2）>f（1x2）.

即證ex2-1x2-2lnx2+x2（1-e1x2）>0.

令h（x）=ex-1x-2lnx+x（1-e1x）（其中x>1），

則h′（x）=（x-1）（ex-1）x2+x-1x（1-e1x），

易知當(dāng)x>1時(shí)，（x-1）（ex-1）>0，1-e1x>0，

所以h′（x）>0，h（x）在x>1時(shí)單調(diào)遞增，

所以h（x）>h（1）=0.

2 結(jié)束語

教育部考試命題專家表示：數(shù)學(xué)學(xué)科高考加強(qiáng)學(xué)科核心素養(yǎng)考查，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，試卷深入考查關(guān)鍵能力，優(yōu)化試題設(shè)計(jì)，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科高考的選拔功能，助力提升學(xué)生的綜合素質(zhì).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)媒介之一就是同構(gòu)思想，它幾乎貫穿高中階段的各個(gè)章節(jié)，在每年的高考題中都有體現(xiàn).同構(gòu)也是一種對(duì)稱美，數(shù)學(xué)學(xué)科不僅深刻嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)也給人以美的感受，所以廣大考生應(yīng)該重視同構(gòu)

思想，找到題中的關(guān)鍵點(diǎn)，化繁為簡，在學(xué)習(xí)過程中注重積累總結(jié)，這樣才能在考試中從容不迫，應(yīng)對(duì)自如.

參考文獻(xiàn)：

[1]張祖蘭，黎福慶.歸類教材中遞推式 同構(gòu)求解數(shù)列通項(xiàng)[J].中學(xué)教學(xué)參考，2023（11）：29-33.

[2] 夏繼平.例談“同構(gòu)法”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（08）：46-48.

［責(zé)任編輯：李璟］