羅章 彭知文

摘要：在中學(xué)物理問題中，帶電粒子在正交電、磁場中運(yùn)動，即在復(fù)合場中的運(yùn)動，比較復(fù)雜.這種運(yùn)動也稱為擺線運(yùn)動或滾輪線運(yùn)動.本文從運(yùn)動的合成與分解的角度，巧妙解決了該復(fù)雜運(yùn)動.結(jié)合2023和2013年兩道高考真題給出的情景，運(yùn)用本文所述方法快速解答.

關(guān)鍵詞：粒子運(yùn)動；復(fù)合場；運(yùn)動的合成與分解

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0109-03

一個(gè)物體的實(shí)際運(yùn)動往往同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動，我們把這幾個(gè)運(yùn)動叫作實(shí)際運(yùn)動的分運(yùn)動，把這個(gè)實(shí)際運(yùn)動叫作分運(yùn)動的合運(yùn)動.復(fù)雜的曲線運(yùn)動往往不好理解或者定量分析，但是如果能化曲為直或者化繁為簡，則有助于對物體運(yùn)動的深入理解.解決帶電粒子擺線運(yùn)動的方法可稱為“速度補(bǔ)償法”，也稱為“速度構(gòu)造法”.這一方法將復(fù)雜的擺線運(yùn)動分解為勻速圓周運(yùn)動以及勻速直線運(yùn)動[1].1 問題的提出

如圖1所示，金屬空腔內(nèi)部加上垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場及垂直極板向下的勻強(qiáng)電場，兩端開有在同一水平直線上的小孔.這樣，將帶正電荷q的粒子沿水平方向打入左端小孔時(shí)，該裝置便能選擇出v=EB的粒子.對此，一般的解釋是：

當(dāng)v=EB時(shí)，有qE=qvB，粒子在豎直方向上受力平衡，則沿直線運(yùn)動直至從右孔射出；

當(dāng)v>EB時(shí)，有qE

當(dāng)vqvB，則粒子向下偏.

這樣，就達(dá)到了選擇的目的.但是，那些v≠EB的粒子將何去何從？它們的運(yùn)動軌跡將會是什么樣子？

2 解決問題的辦法

下面，介紹一種處理辦法——運(yùn)動的合成與分解法.

假設(shè)v>EB，令v=v1+v2=EB+（v-EB），即把v看成兩部分速度的合成.對于v1=EB，其產(chǎn)生的洛倫茲力與電場力平衡，因此這部分速度保持恒定，粒子參與一個(gè)x軸方向的速度為v1=EB的勻速直線運(yùn)動；對于v2=v-EB，使粒子參與一個(gè)以x軸為切線、R=m（v-E/B）qB為半徑的逆時(shí)針方向上的勻速圓周運(yùn)動.其運(yùn)動分解情況如圖2所示.

更一般地，當(dāng)v≠EB時(shí)，帶電粒子在xOy平面內(nèi)參與了兩個(gè)運(yùn)動，一個(gè)是x軸方向上的速度為EB的勻速直線運(yùn)動，另一個(gè)是以x軸為切線、以mv-E/BqB為半徑的逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動，其在y軸方向上的最大位移為2mv-E/BqB.由此可以判定，速度選擇器所選擇的是速度v=EB及v=EB附近一定范圍的粒子.因?yàn)樗俣冗x擇器的孔徑是有一定限度的，當(dāng)其半徑大于2mv-E/BqB時(shí)，粒子便會被選擇出來.因此，為使儀器精良，兩側(cè)小孔要盡量小.而未被選擇的粒子可能打在上下兩側(cè)壁上，也可能打在左右兩側(cè)壁上.由于粒子參與兩個(gè)運(yùn)動，一個(gè)為EB的勻速直線運(yùn)動；另一個(gè)為勻速圓周運(yùn)動，其周期為2πmqB，所以，粒子在x軸方向每移動2πmEqB2便到達(dá)x軸即兩側(cè)小孔連線一次.而實(shí)際制作時(shí)，兩側(cè)小孔的距離不等于2πmEqB2的整數(shù)倍，以排除粒子“誤”出小孔的可能.

下面用此法來解決兩道高考真題.

3 高考真題的處理

例1（2023年高考江蘇卷）霍爾推進(jìn)器某局部區(qū)域可抽象成如圖3所示的模型.Oxy平面內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場和垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從O點(diǎn)沿x軸正方向水平入射.入射速度為v0時(shí)，電子沿x軸做直線運(yùn)動；入射速度小于v0時(shí)，電子的運(yùn)動軌跡如圖3中的虛線所示，且在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等.不計(jì)重力及電子間相互作用.

（1）求電場強(qiáng)度的大小E；

（2）若電子入射速度為v04，求運(yùn)動到速度為v02時(shí)位置的縱坐標(biāo)y1；

（3）若電子入射速度在0

解析（1）由題知，入射速度為v0時(shí)，電子沿x軸做直線運(yùn)動，則有

eE=ev0B

解得：E=v0B

（2）電子在豎直向下的勻強(qiáng)電場和垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場的復(fù)合場中，由于洛倫茲力不做功，且由于電子入射速度為v04，則電子受到的電場力大于洛倫茲力，則電子向上偏轉(zhuǎn)，根據(jù)動能定理有：

eEy1=12m（12v0）2-12m（14v0）2

解得：y1=3mv032eB

（3）若電子以v入射時(shí)，設(shè)電子能達(dá)到的最高點(diǎn)位置的縱坐標(biāo)為y，則根據(jù)動能定理有

eEy=12mv2m-12mv2

由于電子在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等，則在最高點(diǎn)有

F合=evmB-eE

在最低點(diǎn)有：

F合=eE-evB

聯(lián)立有：vm=2EB-v、y=2m（v0-v）eB

要讓電子達(dá)縱坐標(biāo)y2=mv05eB位置，即y≥y2

解得v≤910v0

則若電子入射速度在0

下面另解第（3）問：設(shè)以v1入射時(shí)恰好能到達(dá)y2=mv05eB，將粒子分解為沿x軸速度為v0的勻速運(yùn)動和以y22為半徑，（v0-v1）為速率的勻速圓周運(yùn)動.則

y22=m（v0-v1）eB

可以解得：v1=0.9v0.后續(xù)分析與前面相同.

例2（2013年高考福建卷）如圖4，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.讓質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場中.不計(jì)重力和粒子間的影響.

（1）略；（2）略；

（3）如圖5所示，若在此空間再加入沿y正向、大小為E的勻強(qiáng)電場，一粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿y軸正方向發(fā)射.研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動，且在任一時(shí)刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的坐標(biāo)成正比，比例系數(shù)與電場強(qiáng)度大小E無關(guān).求該粒子運(yùn)動過程中的最大速度vm.

解析帶電粒子的初速度v0沿y軸正方向，而在x軸方向上速度為零.我們可以將速度為“零”分解為向右和向左的兩個(gè)等大反向的速度，向右的速度產(chǎn)生的洛倫茲力與電場力平衡，則：

qv右B=qE

因此向右的速度保持恒定，粒子參與一個(gè)x軸方向上的速度為v右=EB的勻速直線運(yùn)動；而向左的速度v左=EB與y軸正方向的速度v0合成后的速度v=（EB）2+v20，使得粒子參與一個(gè)半徑r=mvqB的順時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動.

當(dāng)粒子運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，圓周運(yùn)動的線速度也向右，則粒子在該點(diǎn)的實(shí)際速度就是粒子運(yùn)動過程中的最大速度，所以

vm=v右+v=EB+（EB）2+v20

采用“零”分解法處理該題，巧妙地將復(fù)雜的螺旋線運(yùn)動等效為勻速直線運(yùn)動與勻速圓周運(yùn)動的合成，直觀而且深刻.

4 結(jié)束語

帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動是一類相當(dāng)復(fù)雜的問題，尤其是做擺線或滾輪線運(yùn)動，還經(jīng)常出現(xiàn)在高考真題中，用以考查學(xué)生的核心素養(yǎng).處理這類運(yùn)動通常有“運(yùn)動的分解與合成法”和“相對運(yùn)動法”以及“微積分法”.用中學(xué)生普遍易于接受的運(yùn)動的合成與分解的角度展開分析：確定分運(yùn)動為圓周運(yùn)動的分速度的方向，從而得出初末位置及速度偏轉(zhuǎn)角，進(jìn)而得出運(yùn)動時(shí)間和兩分運(yùn)動的分位移[2].本文提供了快速解答2023年和2013年高考真題的思路.

參考文獻(xiàn)：

[1]俞超，黃晶.“速度補(bǔ)償法”解決粒子復(fù)雜運(yùn)動時(shí)的運(yùn)動獨(dú)立性分析[J].物理教學(xué)，2019（4）：66-67，45.

[2] 王鑫.“利用運(yùn)動分解分析擺線運(yùn)動中一般過程的時(shí)間和位移問題”[J].物理教學(xué)，2021（5）：43，62-63，67.

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