李燕 袁曉

收稿日期：2023-08-28

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.05.001

摘? 要：物理數(shù)學中的多數(shù)特殊函數(shù)可將復(fù)平面劃分區(qū)域采用不同數(shù)值技術(shù)來計算。賴特函數(shù)在分數(shù)微積分及其工程應(yīng)用中有著重要作用，作為一類新型特殊函數(shù)也可使用分區(qū)算法進行數(shù)值計算。通過研究賴特函數(shù)在大參數(shù)下的漸近展開式和公式中系數(shù)的計算方法，修正積分表達式及積分半徑選擇定理的錯誤，進一步改進完善復(fù)數(shù)域賴特函數(shù)的分區(qū)算法，并利用MATLAB軟件進行編程仿真分析算法精度。實驗結(jié)果表明，分區(qū)算法的適用性廣，有良好逼近效果。

關(guān)鍵詞：分數(shù)微積分；特殊函數(shù)；漸近展開；分區(qū)算法；MATLAB

中圖分類號：TP301.6? 文獻標識碼：A? 文章編號：2096-4706（2024）05-0001-06

Research and Implementation of the Partitioning Algorithm for the Wright Function Based on MATLAB

LI Yan， YUAN Xiao

（College of Electronics and Information Engineering， Sichuan University， Chengdu? 610065， China）

Abstract： Most special functions in physical mathematics can be calculated by dividing the complex plane into different regions and using various numerical techniques. The Wright function plays an important role in fractional calculus and its engineering applications. And as a new type of special function， the Wright function can also be calculated using the partitioning algorithm. By studying the asymptotic expansion of the Wright function under large parameters and the calculation method of coefficients in the formula， correcting the errors in the integral expression and the integral radius selection theorem， the partitioning algorithm of the Wright function in the complex field has been further improved and perfected， and finally MATLAB software is used for programming simulation to analyze the accuracy of the algorithm. The experimental results show that the partitioning algorithm has wide applicability and good approximation effect.

Keywords： fractional calculus; special function; asymptotic expansion; partitioning algorithm; MATLAB

0? 引? 言

指數(shù)函數(shù)? 常出現(xiàn)在整數(shù)階常微分方程與偏微分方程的解析中，在應(yīng)用數(shù)學及概率論中有著核心作用。與經(jīng)典微積分理論相似，新型特殊函數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)[1-3]與賴特函數(shù)等在分數(shù)微積分中扮演著類似指數(shù)函數(shù)的角色，它們都是指數(shù)函數(shù)的推廣，并繼承了指數(shù)函數(shù)的一些顯著特性。

1933年，Wright在研究分區(qū)漸近理論[4]時首次提出參數(shù)α＞0的賴特函數(shù)。1935年，Wright在研究廣義超幾何函數(shù)的漸近行為[5]時引入了?？怂?賴特函數(shù)，其定義為：

（1）

在同一論文中，他還研究了α＞0，γ＞0時的四參數(shù)賴特函數(shù)：

（2）

1940年，Wright在論文中[6]從數(shù)學角度再次研究了賴特函數(shù)Wα， β （z），并將參數(shù)α的范圍擴展到α＞-1的實數(shù)域，故賴特函數(shù)的完整定義為：

（3）

賴特函數(shù)Wα， β （z）根據(jù)α的不同取值分為兩種類型，分別為α＞0時的第一類賴特函數(shù)和-1＜α＜0時的第二類賴特函數(shù)。

隨著分數(shù)微積分理論體系的完善和拓展，賴特函數(shù)的研究涵蓋了不同領(lǐng)域，包括理論物理學[7，8]、概率論[9]等。在信號處理方面，賴特函數(shù)作為新型分數(shù)階微積分初等函數(shù)之一，它的導數(shù)可以處理不完全可微和高階可微信號，例如：在語音識別、圖像識別和模式識別領(lǐng)域常常需要處理復(fù)雜信號，利用賴特函數(shù)可以提高信號處理精度。此外，機器學習也逐漸成為該函數(shù)應(yīng)用的一個熱門領(lǐng)域?？茖W家使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等技術(shù)來預(yù)測與分析數(shù)據(jù)中存在的整體行為和趨勢，并且使用賴特函數(shù)作為一個強大工具來解決這些問題。賴特函數(shù)的應(yīng)用日益增加，研究其性質(zhì)及數(shù)值算法十分重要。

賴特函數(shù)的數(shù)值算法研究目前還處在一個探索階段。2008年，Luchko提出了分區(qū)算法[10]，將實數(shù)域分成三個區(qū)域利用不同數(shù)值技術(shù)來計算具有實參數(shù)的賴特函數(shù)，但這種算法的積分表達式及積分半徑選擇定理存在問題。2010年，他修正了該算法的積分半徑選擇定理中的錯誤，可該算法只被限制在負實數(shù)域[11]上，同時缺少對大參數(shù)下賴特函數(shù)的漸近級數(shù)的研究，只能作為賴特函數(shù)數(shù)值計算的參考。本文是在Luchko的分區(qū)算法基礎(chǔ)上，進一步研究賴特函數(shù)的漸近展開，詳細論述了其漸近展開公式中系數(shù)的計算方法，同時對積分表達式中的錯誤進行修改并推廣至復(fù)數(shù)域賴特函數(shù)的積分計算，最后利用MATLAB編寫代碼分析算法精度。

1? 賴特函數(shù)的漸近展開

1940年，Wright首次利用應(yīng)用于積分表示的最速下降法研究賴特函數(shù)的漸近展開性質(zhì)[6]，但并未考慮到斯托克斯現(xiàn)象。1999年，趙育求等人研究得到賴特函數(shù)Wα， β （z）的漸近公式[12，13]，并研究了斯托克斯現(xiàn)象，但不全面。2010年，Paris研究了?？怂?賴特函數(shù)? 的漸近展開[14]并在2014年的研究中考慮到該函數(shù)的斯托克斯現(xiàn)象[15]。2020年，Paris針對賴特函數(shù)的z參數(shù)取絕對值很大的實數(shù)及β取很大值的情況，建立了新的輔助函數(shù)研究其漸近展開[16]。2021年，Paris等人研究得到了兩個賴特型輔助函數(shù)Fv （z）和Mv （z）（即Mainardi函數(shù)）的漸近展開[17]。

第一類賴特函數(shù)的漸近展開可直接利用文獻[15]中福克斯-賴特函數(shù)? 的漸近展開原理得到。參數(shù)-1＜α＜0的賴特函數(shù)的漸近展開不能直接采用? 的漸近理論結(jié)果，需利用伽馬函數(shù)的反射公式來求得。表1列舉出賴特函數(shù)的漸近展開公式，其中系數(shù)Cj和Dj的計算將在第2節(jié)詳細描述。

2? 漸近展開中系數(shù)計算方法

2.1? 系數(shù)Cj的計算方法

賴特函數(shù)漸近展開式中的系數(shù)Cj可依據(jù)超幾何函數(shù)? 漸近公式的系數(shù)計算方法[14]來確定。系數(shù)Cj出現(xiàn)g（s） / s！的逆階乘展開式中，歸一化系cj = Cj /C0根據(jù)該展開式可改寫為：

（4）

其中 。將縮放伽馬函數(shù)[18]中z替換為αs + β得到：

（5）

將式（4）左邊式子利用式（5）通過一些常規(guī)代換可以寫為

（6）

根據(jù)式（4）與（6）可以得到：

（7）

將式（7）左側(cè)的乘積寫成? 的逆冪展開：

（8）

因為? 存在展開[19]：

（9）

故式（7）的右側(cè)式子隨著? 可化為：

（10）

對比式（8）和（10），可發(fā)現(xiàn)當1≤j≤M-1時有Hj = Xj，于是有：

（11）

式（11）為歸一化系數(shù)cj的計算公式，主要需要計算參數(shù)Hj與? 的值。其中? 是廣義伯努利多項式[20]。廣義伯努利數(shù)定義為 ，可以由遞推關(guān)系給出：

前3個廣義伯努利數(shù)為：

廣義伯努利多項式可以寫為：

（12）

計算參數(shù)Hj首先需將式（5）中? 與 進行逆冪展開。 有：

（13）

最后利用指數(shù)函數(shù)的泰勒展開即可求得? 的逆冪展開系數(shù)。根據(jù)縮放伽馬函數(shù)與其倒數(shù)的逆冪展開式[21]可以得到? 與? 的逆冪展開：

其中γk為斯特林系數(shù)[22，23]，可利用遞推關(guān)系精確求出。

賴特函數(shù)的漸近展開會用到p = 0，q = 1和p = 1，q = 0兩種情況，分別有：

其中σ = -α，δ = 1-β。兩種情況的算法原理及編程相似，現(xiàn)針對p = 0，q = 1進行具體描述：

Y0， 1（s）的系數(shù)可以利用MATLAB中conv函數(shù)算出。

y011=conv（gammaxi（alf，bet，n1，2），gammaxi（1，1，n1，2））;%gammaxi（alf，bet，n1，2）計算? 的系數(shù)；

%gammaxi（1，1，n1，2）計算? 的系數(shù)；

y01=conv（y011，gammaxi（k，q1，n1，1））;%gammaxi（k，q1，n1，1）計算? 的系數(shù)；

R0， 1（s）可以寫為：

R0， 1（s）的系數(shù)可以利用MATLAB中symsum函數(shù)與taylor函數(shù)算出：

Q=symsum（（-1）^ii/（ii*（ii+1））*（q1^ii*（-q1+（ii+1）/2）/k^ii-b^ii*（-b+（ii+1）/2）/a^ii-（ii-1）/2）*（s）^ii，ii，1，n1）;

R011=exp（Q）;

R01=taylor（R011，s，'Order'，n1）;

R01=sym2poly（R01）;

將Y0， 1（s）與R0， 1（s）的系數(shù)進行卷積，即可得到Hj的值。

2.2? 系數(shù)Dj的計算方法

賴特函數(shù)的漸近展開主要研究σ = 1/2（μ = 1）的情況，根據(jù)文獻[15]可得到：

（14）

由式（14）可看出，系數(shù)Dj主要需計算Gk， j（1/2）參數(shù)。Gk， j（1/2）出現(xiàn)在展開式：

（15）

其中λ j = v - j，v = m0 - X - 2β + 3/2，v選擇使m0為整數(shù)的最小數(shù)，X = x2/2。

對式（15）中? 映射進行級數(shù)反演時，有：

（16）

更高系數(shù)g （k）可利用Mathematic軟件中的InverseSeries函數(shù)獲得。根據(jù)式（16）有：

（17）

利用式（15）與（17）進行系數(shù)卷積即可求得Gk， j（1/2）的值，更高系數(shù)可利用MATLAB求得。

GA1=（1+RT）^RJ;%GA1為 ；

GA=taylor（GA1，m，'Order'，n1）;%對? 進行泰勒展開；

GA1=sym2poly（GA）;%獲得多項式系數(shù)；

GG=conv（GA1，CRT1）;%CRT1為? 的冪展開系數(shù)，兩者卷積即可求得? 的相反數(shù)；

3? 分區(qū)算法

將復(fù)平面分為三個區(qū)域：A）| z |≤q1，0＜q1＜1，B）q1＜| z |≤q2，C）| z |＞q2，分別使用泰勒級數(shù)、積分表達式及漸近展開式來計算賴特函數(shù)。其中漸近展開在第1～2節(jié)已做具體論述，但無法從理論上預(yù)測評估精度。

3.1? 泰勒級數(shù)

首先考慮A區(qū)域| z |≤q1，采用泰勒級數(shù)進行計算。

定理3.1，當| z |≤q1，0＜q1＜1，對于規(guī)定精度ε＞0有：

（18）

其中截斷點滿足：

3.2? 積分表達

在區(qū)域B中，采用賴特函數(shù)的積分表達式定理3.1進行計算。被積函數(shù)? 在積分區(qū)間上有界且積分區(qū)間也有界，故積分是有限的，可以直接通過MATLAB中integral函數(shù)以規(guī)定的精度ε＞0來計算。被積函數(shù)K涉及無窮上限，需對積分半徑進行截斷，得到積分半徑選擇定理3.2。

定理3.1一般情況下，賴特函數(shù)Wα， β （z）的積分表達式為：

（19）

當-1＜α＜0且β＜1，有：

（20）

當-1＜α＜0且β = 1，有：

（21）

其中：

（22）

定理3.2當? 時，設(shè)z = x + iy，積分表達式

1）當? 時：

2）當? 時：

4? 實驗仿真

本節(jié)利用MATLAB對賴特函數(shù)的分區(qū)算法進行編程仿真，主要考察算法近似值與函數(shù)真實值的相對誤差η = | （W - W真） / W真|×100%。取特例：

（23）

利用分區(qū)算法分別繪制 、 與真實值之間的相對誤差，如圖1、2所示。其中，分區(qū)算法在| z |≤0.95內(nèi)采用泰勒級數(shù)計算，在0.95＜

| z |≤6內(nèi)采用積分表達式計算，當| z |＞6時采用截斷指數(shù)M = 10的漸近展開式計算。由圖可觀察：分區(qū)算法計算? 時在| z |較小時使用積分表達式能取得高達1×10-13數(shù)量級的精度，但隨著| z |不斷增大后使用漸近展開式精度有所下降，但仍能保持1×10-11數(shù)量級的精度；對于 ，分區(qū)算法在整個矩形區(qū)域內(nèi)至少取得1×10-12數(shù)量級的精度，對于大部分取值其精度能達到1×10-14數(shù)量級。

圖1? ?與函數(shù)真實值的相對誤差

圖2? ?與函數(shù)真實值的相對誤差

5? 結(jié)? 論

分數(shù)階微積分由于具有時間記憶性和全局相關(guān)性被廣泛應(yīng)用于信號與信息處理、分數(shù)階圖像處理、控制系統(tǒng)等工程領(lǐng)域中來描述復(fù)雜現(xiàn)象。賴特函數(shù)作為一類新型特殊函數(shù)在分數(shù)微積分中有著重要地位，研究其性質(zhì)與數(shù)值算法對于工程應(yīng)用很有必要。本文將復(fù)平面劃分三個區(qū)域，采用泰勒級數(shù)、積分表達和漸近展開數(shù)值技術(shù)來計算賴特函數(shù)，并基于MATLAB進行編程仿真。實驗結(jié)果表明：分區(qū)算法的適用性廣，能計算? 范圍內(nèi)的參數(shù)；在計算精度方面，分區(qū)算法會受到參數(shù)α，β取值的影響而呈現(xiàn)不一樣的精度，但均能達到較高精度；分區(qū)算法的積分表達式近似值在| z |較小時能有較高精度，但當賴特函數(shù)的值小于設(shè)置的精度時，積分表達式結(jié)果的誤差會不斷增加，漸近展開式不會受此限制，能夠較精確地得到無限靠近0的賴特函數(shù)值。

分區(qū)算法研究仍存在許多值得探索的問題，比如：

1）算法中的區(qū)域劃分參數(shù)q2及漸近展開式中的截斷參數(shù)M的最佳取值還需要繼續(xù)研究。

2）算法中積分表達式的準確性跟設(shè)置的誤差容限與數(shù)值積分方式有很大聯(lián)系，故還需研究最佳數(shù)值積分算法及誤差容限參數(shù)設(shè)置。

3）由于數(shù)值積分及漸近展開需計算系數(shù)，該算法的運算速度較慢，如何提高算法運算效率還需進一步研究。

4）該算法僅實現(xiàn)賴特函數(shù)， 范圍內(nèi)的計算如何將范圍擴展到? 仍待研究。

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作者簡介：李燕（1995—），女，漢族，四川南充人，碩士研究生，研究方向：分數(shù)微積分理論與應(yīng)用；袁曉（1964—），男，漢族，四川中江人，副教授，博士，研究方向：現(xiàn)代信息信號處理、分數(shù)微積分理論與應(yīng)用、現(xiàn)代電路與系統(tǒng)理論與技術(shù)。