唐旭 葉今祿 肖錦濤 湯道寬 宋海濤 譚先琳

摘要：為準確評估電動汽車鋰離子電池荷電狀態(tài)（state of charge，SOC），構(gòu)建二階電阻電容等效電路模型，通過遞推最小二乘法識別等效電路模型參數(shù)，采用開路電壓放電試驗獲取動態(tài)應(yīng)力測試（dynamic stress test，DST）工況下開路電壓與SOC之間的函數(shù)關(guān)系，在DST工況下對比分析開路電壓法、卡爾曼濾波法、擴展卡爾曼濾波法估算的SOC及誤差。結(jié)果表明：卡爾曼濾波及擴展卡爾曼濾波2種算法與開路電壓法SOC估算結(jié)果吻合性較好；卡爾曼濾波法最大SOC估計誤差為0.017，擴展卡爾曼濾波法最大SOC估計誤差為0.013，均滿足SOC估計誤差不得超過0.050的標準要求，但擴展卡爾曼濾波算法精度更高。

關(guān)鍵詞：電動汽車；鋰離子電池；SOC估計；誤差

中圖分類號：TM912文獻標志碼：A文章編號：1673-6397（2024）02-0097-06

引用格式：唐旭，葉今祿，肖錦濤，等.電動汽車動力電池SOC估計［J］.內(nèi)燃機與動力裝置，2024，41（2）：97-102.

TANG Xu， YE Jinlu， XIAO Jintao， et al.SOC estimation of power batteries for an electric vehicle［J］.Internal Combustion Engine & Powerplant， 2024，41（2）：97-102.

0 引言

電動汽車電池工作狀態(tài)參數(shù)包括動力電池運行時的端電壓、電流、工作溫度、內(nèi)阻、動力電池荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）等^[1-2]。SOC為剩余電量占電池容量的比，可反應(yīng)電池的剩余容量。SOC為0，電池完全放電；SOC為1，電池電量充滿。準確估計鋰離子電池SOC有利于合理規(guī)劃行駛路線及充電計劃，監(jiān)控汽車充電狀況，優(yōu)化動力電池充放電策略，對電動汽車發(fā)展具有深遠意義^[3]。

鋰離子動力電池自放電少，可長時間存放，具有非線性輸出特性^[4]，目前主要采用放電試驗法、安時積分法、開路電壓法及卡爾曼濾波算法估算鋰離子電池SOC^[5]。放電試驗法以恒定的電流使電池處于不間斷的放電狀態(tài)，當放電到達截止電壓時計算所放電量（放電時的恒定電流與放電時間的乘積）。采用放電試驗法估算SOC操作簡單，但是不可添加負載，且電流波動大、測量時間長，導致SOC估計不精確。安時積分法通過實時測量電池包主回路電流，根據(jù)充電時間計算充電或放電電量，結(jié)合初始電量，得到當前電量，但由于無法直接得到初始電量，需與其他方法結(jié)合，增大了計算復雜性^[6]。開路電壓法指電池長時間充分靜置，各項參數(shù)穩(wěn)定后，得到開路電壓與SOC之間的對應(yīng)關(guān)系，該方法估計精度高，但電池必須靜置，且需要在開路情況下測量，使用范圍受限?？柭鼮V波（Kalman filter，KF）算法是基于最小方差的一種最優(yōu)估計方法，該算法將估計變量作為狀態(tài)變量，測量變量作為觀測變量，采用遞推方式濾除噪聲，利用卡爾曼增益對估計變量和測量變量賦予不同置信度，直至估計變量收斂于真實變量，但該方法只能用于線性系統(tǒng)分析。

本文中構(gòu)建二階電阻電容（resistor capacitance，RC）等效模型，結(jié)合最小二乘法識別等效電路模型參數(shù)，并以動態(tài)應(yīng)力測試（dynamic stress test，DST）工況為例，對比分析開路電壓法、KF、擴展卡爾曼濾波（extended Kalman filter，EKF）算法SOC估算結(jié)果，為準確估計鋰離子電池SOC提供參考。

1 二階RC電路模型及參數(shù)識別

1.1 二階RC電路模型

鋰離子電池等效電路模型包括Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型和RC等效電路模型。Rint模型由1個內(nèi)阻和恒壓電源串聯(lián)組成，僅適用線性輸出系統(tǒng)，不適用于鋰離子電池非線性輸出系統(tǒng)^[7]；Thevenin模型考慮鋰離子電池極化現(xiàn)象，在內(nèi)阻模型中增加了1個RC回路，也稱為一階RC模型，但該模型精度較低；PNGV模型考慮了負載電流隨時間累計產(chǎn)生的電池開路電壓的變化，在Thevenin模型的基礎(chǔ)上串聯(lián)了1個電容，適用于非線性輸出特性的鋰離子電池，但串聯(lián)電容增大了累積誤差^[8]；1個RC并聯(lián)電路由1個電容器和1個電阻器并聯(lián)構(gòu)成，RC等效電路模型由電源串聯(lián)內(nèi)阻和多個RC并聯(lián)電路構(gòu)成，可準確模擬鋰離子電池各種工況下的特性。多階RC等效電路模型的建模階數(shù)越高，電池動態(tài)特性建模效果越好，但建模復雜度增加。

鋰離子電池放電后期，電流輸出不穩(wěn)定，SOC估算精度降低，綜合考慮電池SOC估算精度和模型計算量，本文中選用二階RC網(wǎng)絡(luò)等效電路模型。二階RC等效電路模型如圖1所示。

由圖1可知：二階RC等效電路模型包括電池內(nèi)阻器R0、電化學極化電阻器R1、濃差極化電阻器R2、電化學極化電容器C1、濃差極化電容器C2，相關(guān)參數(shù)有電路電流I，端電壓U_L，開路電壓U_OC，電化學極化電阻器和濃差極化電阻器對應(yīng)的電壓分別為U₁、U₂。R0的電阻隨電池充、放電循環(huán)次數(shù)增加發(fā)生變化，U_OC指斷開電流與負載回路，靜止一段時間后鋰離子電池內(nèi)部達到新的穩(wěn)定狀態(tài)時，測量的端電壓^[9]。

1.2 最小二乘法識別模型參數(shù)

采用最小二乘法，將鋰電池二階RC等效電路模型轉(zhuǎn)化為最小二乘法結(jié)構(gòu)形式，基于電路模型結(jié)構(gòu)框架，通過模型輸出與實際輸出誤差修正模型參數(shù)，直至誤差平方和最小，得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)模型^[10]。結(jié)合遺忘因子遞推最小二乘法辨識電池模型參數(shù)，該方法基于自適應(yīng)濾波理論，可迅速完成更新數(shù)據(jù)擬合及擬合參數(shù)修正。在最優(yōu)結(jié)構(gòu)模型基礎(chǔ)上，重新計算估計代價函數(shù)，得出新的擬合參數(shù)，并循環(huán)優(yōu)化估計代價函數(shù)，直至新估計的代價函數(shù)降到最小^[11]。同時，該方法添加遺忘因子解決數(shù)據(jù)飽和問題，增強算法的跟蹤和修正能力，在時變系統(tǒng)中實現(xiàn)自適應(yīng)數(shù)據(jù)擬合，具有計算量少、效率高、準確靈活、遞推更新等優(yōu)勢，是一種廣泛使用的優(yōu)化算法^[12]。

1.2.1 最小二乘法結(jié)構(gòu)

二階RC等效模型微分方程動力學特性^[10]為：

U_L=U_OC－U₁－U₂－I·R₀，（1）

U₁·=－U₁R₁C₁+IC₁，（2）

U₂·=－U₂R₂C₂+IC₂，（3）

式中：R₀、R₁、R₂分別為R0、R1、R2的電阻，C₁、C₂分別為C1、C2的電容。

對等效模型微分方程進行離散化，得到復數(shù)域s對應(yīng)的拉普拉斯方程：

U_OC（s）－U_L（s）=I（s）（R₀+R₁1+R₁C₁（s）+R₂1+R₂C₂（s））。（4）

不考慮電容的影響，將時間常數(shù)τ₁=R₁C₁，τ₂=R₂C₂代入式（4），可得：

τ₁τ₂U_OC（s）s²+τ₁+τ₂U_OC（s）s+U_OC（s）=τ₁τ₂R₀I（s）s²+R₀τ₁+τ₂+R₁τ₂+R₂τ₁I（s）s+

R₀+R₁+R₂I（s）+τ₁τ₂U_L（s）s²+τ₁+τ₂U_L（s）s+U_L（s）。（5）

令a=τ₁τ₂，b=τ₁+τ₂，c=R₀+R₁+R₂，d=R₀τ₁+τ₂+R₁τ₂+R₂τ₁，當循環(huán)次數(shù)為k，采樣時間為t′時，將復數(shù)域s進行轉(zhuǎn)換，對式（5）離散化處理，可得：

U_OC（k）－U_L（k）=θ₁U_OC（k－1）－U_L（k－1）+θ₂U_OC（k－2）－U_L（k－2）+

θ₃I（k）+θ₄I（k－1）+θ₅I（k－2），（6）

其中，θ₁=－bt′－2at′²+bt′+a，θ₂=at′²+bt′+a，θ₃=ct′²+dt′+aR₀t′²+bt′+a，θ₄=－dt′－2aR₀t′²+bt′+a，θ₅=aR₀t′²+bt′+a。

θ=θ₁θ₂θ₃θ₄θ₅^T為直接辨識參數(shù)，依次推導電路模型參數(shù)為R₀=θ₅θ₂，R₁=cτ₁+R₀－dτ₁－τ₂，R₂=c－R₁－R₀，C₁=τ₁R₁，C₂=τ₂R₂。

1.2.2 參數(shù)識別

采用遺忘因子遞推最小二乘法，系統(tǒng)在不同的循環(huán)次數(shù)及運行時間下對應(yīng)的狀態(tài)^[13]為：

θ^（k+1）=θ^（k）+K（k+1）（y（k+1）－φ_t（k+1）θ^（k））

K（k+1）=P（k）φ（k+1）/（λ+φ_t（k+1）P（k）φ（k+1））P（k+1）=（λ－K（k+1）φ_t（k+1））P（k）/λ，（7）

式中：y為系統(tǒng)輸出；K為增益矩陣；t為運行時間；θ^為最佳估計系數(shù)矩陣；φ_t為θ對應(yīng)的估計向量；P為輸入向量；λ為遺忘因子，表示對舊數(shù)據(jù)的遺忘速度，λ=1為沒有遺忘，λ=0為全部遺忘，通常λ取0.95～1或0.98～1^[10]。

采用遞推最小二乘法識別二階RC模型參數(shù)如圖2所示。

由圖2可知：采用最小二乘法辨識的參數(shù)更接近電池運行狀態(tài)；電化學極化電阻、濃差極化電阻在前200 s和1 500 s左右變化較大，后期逐漸穩(wěn)定收斂，電化學極化電阻在2 500 s有部分波動；2個電阻器總體穩(wěn)定性較好；電化學極化電容波動幅度大于濃差極化電容波動幅度；開路電壓波動較小，且電壓逐漸降低；電池內(nèi)阻波動范圍較大，在第1 000 秒左右出現(xiàn)最小電阻。分析原因為開始測量時，電化學極化電阻、濃差極化電阻及對應(yīng)的電容與真實值相差較大，導致前期波動較大，后期由于系統(tǒng)逐漸修正，參數(shù)逐漸趨于平穩(wěn)。

2 不同方法的SOC估值對比

2.1 KF與EKF算法

KF利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，根據(jù)系統(tǒng)觀測數(shù)據(jù)，對系統(tǒng)狀態(tài)進行最優(yōu)估計，觀測數(shù)據(jù)中包括系統(tǒng)中噪聲和干擾影響。

EKF算法通過泰勒級數(shù)展開式，將非線性系統(tǒng)進行線性化處理，并使用KF算法對等效線性系統(tǒng)狀態(tài)進行最優(yōu)估計，彌補了卡爾曼濾波算法的局限性，更好估計電池SOC。使用EKF計算第k次循環(huán)二階RC模型的空間狀態(tài)方程^[14]為：

X_k+1=1000exp（－t′/τ₁）000exp（－t′/τ₂）X_k+－t′/Q_kt′/C₁t′/C₂I_k+ω_k，（8）

式中：η為效率，Q_k為第k次循環(huán)時的電池容量，ω_k為第k次循環(huán)時過程噪聲產(chǎn)生的測量誤差矩陣。

將狀態(tài)方程進行矩陣離散化后，得觀測方程

U_L，k=U_OC，k－IR₀－U_1，k－U_2，k+U_v，k，（9）

式中U_v，k為觀測噪聲產(chǎn)生的測量誤差。

2.2 開路電壓法估計SOC

開路電壓與電池SOC估值Q_SOC呈一定關(guān)系，選取電動汽車常見的DST工況估計SOC。根據(jù)文獻[15]通用測試部分，在20 ℃環(huán)境中對額定容量為20 A·h的ICR18650鋰離子電池進行開路電壓法測量，采樣周期為2 s，以1 A恒流放電，電池靜置30 min 后，記錄開路電壓和對應(yīng)的Q_SOC，電壓每下降0.02 V，電池靜置30 min，直至開路電壓到達放電截止電壓，放電電壓隨時間的變化曲線如圖3所示。采用MATLAB 的cftool工具擬合采樣數(shù)據(jù)，開路電壓與Q_SOC特征曲線如圖4所示。

由圖4可知：經(jīng)過濾波處理后的曲線精準且有較好的收斂性。結(jié)合開路電壓與Q_SOC特征曲線關(guān)系，Q_SOC與開路電壓擬合多項式為：

U_OC=1 979Q⁹_SOC－9 369Q⁸_SOC+18 770Q⁷_SOC－20 730Q⁶_SOC+13 780Q⁵_SOC－5 654Q⁴_SOC+1 416Q³_SOC－207.5Q²_SOC+16.62Q_SOC+3.06。（10）

2.3 SOC估值對比

基于最小二乘法識別的二階RC等效電路模型參數(shù)及式（10），結(jié)合KF、EKF算法計算Q_SOC，并與開路電壓法計算結(jié)果進行對比，計算SOC估計誤差（EKF或KF計算Q_SOC與開路電壓法計算結(jié)果的差）。DST工況下，EKF和KF算法對應(yīng)的SOC估值及SOC估計誤差曲線如圖5所示。

由圖5可知：DST工況下，采用EKF算法與開路電壓法的曲線基本擬合，KF算法與開路電壓法的曲線在前8 000 s擬合較好，之后擬合度降低；不考慮初始測量的系統(tǒng)誤差，采用EKF算法計算SOC估值，誤差為-0.007～0.013；采用KF算法計算SOC估值，誤差為0.005～0.017。

DST工況下，2種算法均滿足文獻[16]規(guī)定的SOC誤差小于5%的要求；采用EFK算法，最大SOC估計誤差和誤差區(qū)間均小于KF算法，具有較好的準確性和較高的精度。

3 結(jié)論

1）采用二階RC等效模型計算鋰離子電池等效電路，可準確模擬電池在各種工況下的特性，保證計算精度，不增加計算的復雜程度。

2）采用遺忘因子遞推最小二乘法識別模型參數(shù)，更接近電池實際運行狀態(tài)。

3）開路電壓與SOC估值之間有一定的函數(shù)關(guān)系，可通過開路電壓法確定擬合多項式。

4）DST工況下，采用EKF算法估算SOC的精度更高，收斂性更好。

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SOC estimation of power batteries for an electric vehicle

TANG Xu， YE Jinlu^*， XIAO Jintao， TANG daokuan， SONG Haitao， TAN Xianlin

School of Mechanical Engineering， Guangxi University， Nanning 530004， China

Abstract：In order to accurately evaluate the state of charge （SOC） of lithium-ion batteries for an electric vehicle， a second-order resistance capacitance equivalent circuit model is constructed. The parameters of the equivalent circuit model are identified using recursive least squares method， and the functional relationship between the open circuit voltage and SOC under dynamic stress test （DST） conditions is obtained through open circuit voltage discharge test. The SOC is estimated by open circuit voltage method， Kalman filter method， and extended Kalman filter method， and their errors are compared and analyzed under DST condition. The results show that the Kalman filter and extended Kalman filter algorithms are in good agreement with the SOC estimation results of the open circuit voltage method. The maximum SOC estimation error of the Kalman filtering method is 0.017， and the maximum SOC estimation error of the extended Kalman filtering method is 0.013， both of which meet the standard requirement of SOC estimation error not exceeding 0.050， however， the accuracy of the extended Kalman filtering algorithm is higher.

Keywords：electric vehicle; lithium ion battery; SOC estimation; error

（責任編輯：胡曉燕）