許少華

2024年高考日益臨近，關(guān)于高考命題的分析與預(yù)測也逐漸引起了高三師生的關(guān)注.年年歲歲花相似，歲歲年年都不同.對于考生也許今生只有一次，難，也好.易，也罷.最終都將“隨風(fēng)去”.對于教師就不一樣，年年都要思考、年年都要預(yù)測“今朝折磨今朝受，明日舊事又襲擾”，無法改變、只有承受.還是讓我們一起看看2024年高考在解析幾何上可能怎樣命題吧！

一、有關(guān)客觀性試題的預(yù)測

1.圍繞直線與圓的基本運(yùn)算進(jìn)行設(shè)計(jì)

對于直線與圓，單獨(dú)直接命題的可能性不大，但與其他知識(shí)結(jié)合再加上直線與圓的基本運(yùn)算倒是有可能．

例1（多選）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.若已知△ABC的頂點(diǎn)A（-4，0），B（0，4），其歐拉線方程為x-y+2=0，則下列正確的是.（? ）

A.ΔABC重心的坐標(biāo)為-13，23或-23，13

B.ΔABC垂心的坐標(biāo)為（0，2）或（-2，0）

C. ΔABC頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）或（0，-2）

D. 歐拉線將ΔABC分成的兩部分的面積之比為45

解析BCD .的中點(diǎn)為（-2，2），的中垂線方程為y-2=-（x+2），即x+y=0，聯(lián)立x+y=0，

x-y+2=0，解得x=-1，

y=1.∴ΔABC的外心為（-1，1），設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為-4+m3，4+n3，代入歐拉線方程得：-4+m3-4+n3+2=0，整理得：m-n-2=0……①

又外心為（-1，1），所以（m+1）2+（n-1）2=（-4+1）2+（0-1）2=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8……②聯(lián)立①②得：

m=2，n=0，或m=0，n=-2.所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，0）或（0，-2）.ΔABC重心的坐標(biāo)為-23，43或-43，23．

由于OB⊥AC或OA⊥BC，所以垂心的坐標(biāo)為M（0，2）或N（-2，0）.

因?yàn)橹本€AB與歐拉線平行，所以兩部分的面積之比是NC2AC2-NC2=1636-16=45或MC2AC2-MC2=1636-16=45.故選：BCD.

2.圍繞直線與圓的基本技能進(jìn)行設(shè)計(jì)

直線與圓的位置關(guān)系，涉及一些基本技能，圍繞這些基本技能進(jìn)行設(shè)計(jì)也有可能．

例2（多選）過直線l：2x+y=5上一點(diǎn)P作圓O：x2+y2=1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則（? ）

A. 若直線AB//l，則|AB|=5

B. cos∠APB的最小值為35

C. 直線AB過定點(diǎn)（25，15）

D. 線段AB的中點(diǎn)D的軌跡長度為510π

解析設(shè)P（x0，y0），圓O：x2+y2=1的圓心O（0，0），半徑為1，因?yàn)檫^點(diǎn)P作圓O：x2+y2=1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以A，B在以O(shè)P為直徑的圓上，即A，B在（x-x02）2+（y-y02）2=x20+y202上，因?yàn)锳，B是切點(diǎn)，所以A，B在圓x2+y2=1上，故A，B是兩圓的交點(diǎn)，故兩圓方程相減可得A，B所在的直線方程，化簡可得AB：x0x+y0y=1，因?yàn)镻在l上，所以2x0+y0=5，故直線AB：x0x+（5-2x0）y=1；若AB//l，則-2=-x05-2x0，解得：x0=2，所以AB：2x+y-1=0，故圓心O到AB的距離d=15，所以AB=21-15=455≠5，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由AB：x0x+（5-2x0）y=1，即x0（x-2y）+5y=1，則x-2y=0，

5y=1，解得：x=25，

y=15.所以AB過定點(diǎn)M（25，15），故選項(xiàng)C正確；因?yàn)椤螦PB+∠AOB=π，所以cos∠APB=cos（π-∠AOB）=-cos∠AOB，由于AB過定點(diǎn)M（25，15），所以O(shè)到AB距離dmax=OM=55，記AB中點(diǎn)為Q，則OM≥OQ，則

cos∠APB=-cos∠AOB=-cos 2∠AOQ=-（2cos2∠AOQ-1）=1-2cos2∠AOQ=1-2（OQr）2≥1-2×15=35，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)镈為線段AB的中點(diǎn)，且M在AB上，所以∠MDO=π2，所以D點(diǎn)軌跡為以O(shè)M為直徑的圓，所以r=OM2=510，則周長為2πr=55π，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.

點(diǎn)評本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系中最值問題，考查圓的軌跡和公共弦問題，考查直線過定點(diǎn)問題等，屬于較難題．

3.圍繞圓錐曲線的定義或性質(zhì)進(jìn)行設(shè)計(jì)

圓錐曲線的性質(zhì)每年高考一定會(huì)考，只是命題的角度與方式每年都不同，但有一點(diǎn)是不變的，那么就是創(chuàng)新、靈活，每年都一樣．

例3雙曲線C：x2-y2=4的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，，ΔAF1F2，ΔBF1F2，ΔF1AB的內(nèi)切圓圓心分別為O1，O2，O3，則ΔO1O2O3的面積是（?? ）

A. 62-8? B. 62-4

C. 8-42? D. 6-42

解析由題意如圖所示：由雙曲線C：x2-y2=4，知a2=b2=4，所以c2=a2+b2=8，

所以F2（22，0），｜F1F2｜=2c=42，

所以過F2作垂直于x軸的直線為x=22，

代入C中，解出A22，2，B22，-2，由題知ΔAF1F2，ΔBF1F2的內(nèi)切圓的半徑相等，且|AF1|=|BF1|，ΔAF1F2，ΔBF1F2的內(nèi)切圓圓心O1，O2的連線垂直于x軸于點(diǎn)P，設(shè)為r，在ΔAF1F2中，由等面積法得：

12（｜AF1｜+｜AF2｜+｜F1F2｜）·r=12｜F1F2｜·｜AF2｜，由雙曲線的定義可知：｜AF1｜-｜AF2｜=2a=4，

由｜AF2｜=2，所以｜AF1｜=6，所以126+2+42·r=12×42×2，解得：r=222+2=22×2-22=22-2，因?yàn)镕1F2為ΔF1AB的∠AF1B的角平分線，

所以O(shè)3一定在F1F2上，即軸上，令圓O3半徑為R，在ΔAF1B中，由等面積法得：

12（｜AF1｜+｜BF1｜+｜AB｜）·R=12｜F1F2｜·｜AB｜，又|AF1|=|BF1|=6，所以12×（6+6+4）·R=12×42×4，所以R=2，所以｜PF2｜=r=22-2，

｜O3P｜=｜O3F2｜-｜PF2｜=R-r=2-22-2=2-2，

所以S△O1O2O3=12｜O1O2｜｜O3P｜=12×2r×｜O3P｜=r×｜O3P｜=22-2×2-2=62-8.故選A.

點(diǎn)評本題的最大特點(diǎn)是圖形復(fù)雜，而求解又必須有圖形，因此，細(xì)心和耐心制作圖形是關(guān)鍵．

4.圍繞圓錐曲線的基本技能進(jìn)行設(shè)計(jì)

圓錐曲線是一個(gè)特殊內(nèi)容，它的基礎(chǔ)題也同其它章節(jié)的基礎(chǔ)題一樣“接地氣”，給人很“親切”的感覺，但難題就會(huì)運(yùn)算與技巧共存了．

例4如圖所示，已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x24-y212=1的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，則∠AF2O的取值范圍為???? ；記ΔAF1F2的內(nèi)切圓O1的面積為S1，ΔBF1F2的內(nèi)切圓O2的面積為S2，則S1+S2的取值范圍是???? ．

解析設(shè)直線AB的傾斜角為α，在雙曲線x24-y212=1中，a=2，b=23，則

c=a2+b2=4，故點(diǎn)F2（4，0），所以，直線AB與x軸不重合，設(shè)直線AB的方程為

x=my+4，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），由x=my+4，

3x2-y2=12（3m2-1）y2+24my+36=0.

由題意可得3m2-1≠0，

Δ=242m2-4×36×（3m2-1）>0，解得m2≠13，由韋達(dá)定理可得y1+y2=-24m3m2-1，y1y2=363m2-1，x1+x2=m（y1+y2）+8=-24m23m2-1+8=-83m2-1>0，可得m2<13，x1x2=（my1+4）（my2+4）=m2y1y2+4m（y1+y2）+16=-12m2+163m2-1>0，可得m2<13，所以，-33

若點(diǎn)A在第一象限，則∠AF2O=π-α，此時(shí)∠AF2O∈（π3，2π3），若點(diǎn)A在第四象限，則∠AF2O=α，此時(shí)∠AF2O∈（π3，2π3），綜上∠AF2O∈（π3，2π3）.

設(shè)圓O1與 AF1、AF2、F1F2分別相切于點(diǎn)M、N、G，

過F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，可知直線AB的傾斜角取值范圍為（π3，2π3），由切線長定理可得|AM|=|AN|，|F1M|=|F1G|，|F2G|=|F2N|，所以，

|AF2|+|F1F2|-|AF1|=（|AN|+|F2N|）+（|F1G|+|F2G|）-（|AM|+|F1M|）=|F2N|+|F2G|=2|F2G|=2c-2a，

則|F2G|=c-a=2，所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為4-2=2，故點(diǎn)O1的橫坐標(biāo)也為2.同理可知點(diǎn)O2的橫坐標(biāo)為2，故O1O2⊥x軸，故圓O1和圓O2均與x軸相切于G（2，0），圓O1和圓O2兩圓外切，在△O1O2F2中，∠O1F2O2=∠O1F2G+∠O2F2G=12（∠AF2F1+∠BF2F1）=90°，又O1O2⊥F2G，∴∠GO1F2=∠F2O1O2，∠O1GF2=∠O1F2O2=90°，所以，ΔO1GF2∽ΔO1F2O2，所以，|O1G||O1F2|=|O1F2||O1O2|，則|O1F2|2=|O1G|·|O1O2|.

所以|F2G|2=|O1F2|2-|O1G|2=|O1G|·|O1O2|-|O1G|2=|O1G|·|O2G|.

設(shè)圓O1、O2的半徑分別為 r1、r2，則（c-a）2=r1·r2，則r1·r2=4，

由直線AB的傾斜角取值范圍為（π3，2π3），可知∠AF2F1的取值范圍為（π3，2π3），

則∠O1F2F1=12∠AF2F1∈（π6，π3），故r1=|F2G|·tan∠O1F2F1=2tan∠O1F2F1∈（233，23），

則S1+S2=π（r21+r22）=π（r21+16r21），其中r1∈（233，23），

令f（x）=x+16x，其中x∈（43，12），則f（x）在（43，4）上單調(diào)遞減，在（4，12）上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒（4）=8，f（43）=f（12）=403，則當(dāng)x∈（43，12）時(shí)，f（x）∈［8，403），

故S1+S2=π（r21+16r21）∈［8π，40π3）.于是，答案為：（π3，2π3）；［8π，40π3）.

點(diǎn)評本題考查雙曲線的定義，直線與雙曲線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，以及對勾函數(shù)的應(yīng)用、圓的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于較難題．

二、有關(guān)主觀性試題的預(yù)測

主觀題每年一題，分?jǐn)?shù)為12分.此題常規(guī)難度較大，其主要表現(xiàn)是運(yùn)算復(fù)雜，有時(shí)可能有思路，但很難轉(zhuǎn)化為解題現(xiàn)實(shí)“知道怎樣做，就是做不出”.那么2024年呢？我們看看它可能進(jìn)行設(shè)計(jì)幾個(gè)角度．

1.結(jié)合軌跡方程，考查解幾思想的運(yùn)用

建系、設(shè)點(diǎn)、找等量關(guān)系，這是利用解幾處理問題的基本思路，特別是“找關(guān)系”步驟，很多考生總是圍繞著條件“轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去”找不到．

例5如圖， E，F(xiàn)，G，H 分別是矩形 ABCD 四邊的中點(diǎn)，F(xiàn)（2，0），C（2，1），CS=λCF，OR=λOF.

（1）求直線 ER 與直線 GS 交點(diǎn) M 的軌跡方程．

（2）過點(diǎn)I（1，0）任作直線與點(diǎn) M 的軌跡交于 P，Q 兩點(diǎn)，直線 HP 與直線 QF 的交點(diǎn)為 J ，直線 HQ 與直線 PF 的交點(diǎn)為 K ，求△IJK面積的最小值．

解析（1）由已知， R（2λ，0），S（2，1-λ）當(dāng) λ≠0 時(shí)，直線 ER 方程： y=12λx-1，直線 GS 方程： y=-λ2x+1，聯(lián)立上述兩方程消去 λ 得： x24+y2=1，

當(dāng) λ=0 時(shí)，交點(diǎn) M（0，1） 符合上述方程，又交點(diǎn) M 不可能為 （0，-1），

故所求的軌跡方程為 x24+y2=1（x≠0 且 y≠-1）．

（2）設(shè) PQ 方程： x=my+1 ，代入 x2+4y2-4=0 ，得 （m2+4）y2+2my-3=0，

Δ=16（m2+3）>0， 設(shè) P（x1，y1），Q（x2，y2），y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4，則my1y2=32（y1+y2），的方程： y=y1x1+2（x+2），QF 方程： y=y2x2-2（x-2），

聯(lián)立上述兩方程得x+2x-2=（x1+2）y2（x2-2）y1=（my1+3）y2（my2-1）y1=32（y1+y2）+3y232（y1+y2）-y1=3 .∴x=4，

所以 J（4，yJ） ，其中 yJ=6y1x1+2，同理直線 HQ 與直線 PF 的交點(diǎn) K（4，yK） ，其中 yK=6y2x2+2，｜yJ-yK｜=6y1x1+2-6y2x2+2=18（y2-y1）（my1+3）（my2+3）=2m2+3，

SΔIJK=12×（4-1）·|yJ-yK|=3m2+3≥33，（當(dāng)且僅當(dāng) m=0 時(shí)取等號(hào)），

故 ΔIJK 的面積最小值為 33 ，此時(shí)直線 PQ 的方程為 x=1.

點(diǎn)評本題考查與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求解，直線和橢圓的位置關(guān)系以及橢圓中三角形面積問題，為較難題．

2.結(jié)合定點(diǎn)問題，考查合理的轉(zhuǎn)化能力

過定點(diǎn)問題是解幾中由來已久的問題，可以說是真正的“歷史問題”，它靈活多變，雖然做過很多此類題，但遇到的又總是“新題”．

例6如圖所示，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線與圓O：x2+y2=a2交于點(diǎn)M（點(diǎn)M在x軸上方），與橢圓C交于點(diǎn)N（點(diǎn)N在x軸下方），且滿足｜MF1｜=2｜NF1｜.

（1）若ΔMNF2的面積為4+22，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）過點(diǎn)M作橢圓C的切線，與直線NF2交于點(diǎn)Q（m，n），其中n<0，試判斷以線段QF2為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)M，并說明理由．

解析（1）設(shè)F1（-c，0），則直線MF1的方程為x=-c，與x2+y2=a2聯(lián)立得：M（-c，b），

由MF1=2NF1得：N-c，-22b，∵N在橢圓C上，∴c2a2+12b2b2=1，解得：a=2c，∴b2=a2-c2=c2，即b=c，∴|MN|=b+22b=2+22b=2+22c.

又｜F1F2｜=2c，

∴S△MNF2=12|MN|·|F1F2|=2+24c·2c=4+224c2=4+22，解得：c=2，

∴a=22，b=2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x28+y24=1.

（2）由（1）知：橢圓C的方程為：x22b2+y2b2=1，M（-b，b），設(shè)切線MQ的方程為：y-b=k（x+b），由y-b=k（x+b），

x22b2+y2b2=1，得：（1+2k2）x2+4k（1+k）bx+2k（k+2）b2=0，

∴Δ=16k2（1+k）2b2-8k（1+2k2）（k+2）b2=0，解得：k=0或k=2，

當(dāng)k=0時(shí)，不滿足n<0，不合題意，

又kMF2=b-0-b-b=-12，∴k·kMF2=-1，即MQ⊥MF2，

∴以線段QF2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M.

點(diǎn)評本題考查橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查圓錐曲線中的綜合問題，屬于較為基礎(chǔ)題．

3.結(jié)合范圍問題，考查與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用能力

范圍問題或是最值問題往往考查的是綜合應(yīng)用能力，除了圓錐曲線特有復(fù)雜運(yùn)算之外，很可能還會(huì)與其他知識(shí)的特殊技巧相結(jié)合．

例7設(shè)橢圓C：x29+y25=1長軸的左，右頂點(diǎn)分別為A，B.

（1）若P、Q是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2（k1k2≠0），

求|k1|+|k2|的最小值；

（2）已知過點(diǎn)D（0，-3）的直線l交橢圓C于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AM，AN分別交y軸于點(diǎn)S、T，記DS=λDO，DT=μDO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)直線l的傾斜角θ為銳角時(shí)，求λ+μ的取值范圍．

解析（1）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由對稱性知Q（x0，-y0）不妨令y0>0，由已知A（-3，0），B（3，0），則k1=y0x0+3，k2=-y0x0-3，顯然有-3

則|k1|+|k2|=y03+x0+y03-x0=6y09-x20，由x209+y205=19-x20=9y205，則|k1|+|k2|=103y0，因?yàn)?

（2）當(dāng)直線l的傾斜角θ為銳角時(shí)設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），設(shè)直線l：y=kx-3（k>0），由y=kx-3，

x29+y25=1，得（5+9k2）x2-54kx+36=0，

從而Δ=（54k）2-4×36×（5+9k2）>0，又k>0，解得k>23，所以x1+x2=54k9k2+5，x1x2=369k2+5，又直線AM的方程是：y=y1x1+3（x+3），令x=0，解得y=3y1x1+3，所以點(diǎn)S為（0，3y1x1+3）；直線AN的方程是：y=y2x2+3（x+3），同理點(diǎn)T為（0，3y2x2+3），

所以DS=（0，3y1x1+3+3），DT=（0，3y2x2+3+3），DO=（0，3），

因?yàn)镈S=λDO，DT=μDO，所以3y1x1+3+3=3λ，3y2x2+3+3=3μ，

所以λ+μ=y1x1+3+y2x2+3+2=kx1-3x1+3+kx2-3x2+3+2=2kx1x2+3（k-1）（x1+x2）-18x1x2+3（x1+x2）+9+2

=2k·369k2+5+3（k-1）（54k9k2+5）-18369k2+5+3×（54k9k2+5）+9+2=-109×（k+1）（k+1）2+2=-109×1k+1+2，

∵k>23，∴λ+μ∈（43，2），綜上，所以λ+μ的范圍是（43，2）.

點(diǎn)評本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題．

所以QC·QD=54QA·QB.所以存在常數(shù)λ=54，使得QC·QD=λQA·QB.

點(diǎn)評本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、參數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬難題．

4.結(jié)合存在性問題，考查分析、探索能力

探索能力與創(chuàng)新能力是考生的綜合能力的集中體現(xiàn)，存在性問題作為考查此種能力的重要題型，出現(xiàn)在高考試卷是正常的，也是完全有可能的，因此，要引起我們的足夠重視．

例8已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其離心率為62，且過點(diǎn)P42，22.

（1）求雙曲線C的方程．

（2）過F1的兩條相互垂直的直線分別交雙曲線于A，B和C，D，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，連接MN，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作MN的垂線，垂足為H，是否存在定點(diǎn)G，使得|GH|為定值，若存在，求此定點(diǎn)G.若不存在，請說明理由．

解析（1）由題可知，e=ca=622c2=3a2①又因?yàn)镻42，22在雙曲線C：x2a2-y2b2=1上，即32a2-8b2=1②又因?yàn)閏2=a2+b2③，聯(lián)立①②③，解得a2=16，b2=8，c2=24，所以，雙曲線C的方程是x216-y28=1.

（2）存在定點(diǎn)G-26，0，使得|GH|為定值，理由如下：

由題意可知，若直線AB和CD其中一條沒有斜率，則H點(diǎn)為（0，0），直線 MN的方程為y=0，當(dāng)直線AB和CD都有斜率時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)F1-26，0，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+26設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），M（xM，yM），聯(lián)立方程組y=kx+26，

x216-y28=1，得：（1-2k2）x2-86k2x-16（3k2+1）=0，易得Δ>0，所以xA+xB=86k21-2k2，xAxB=-16（3k2+1）1-2k2，故xM=46k21-2k2，yM=k（46k21-2k2+26）.

設(shè)直線CD的方程為：y=-1kx+26設(shè)C（xC，yC），D（xD，yD），N（xN，yN）同理可得xC+xD=86k2-2，xCxD=-16（3+k2）k2-2，故xN=46k2-2，yN=-1k46k2-2+26所以kMN=yM-yNxM-xN=k（46k21-2k2+26）+1k（46k2-2+26）46k21-2k2-46k2-2=-k2（k2-1） .

所以直線MN的方程為y-k（46k21-2k2+26）=-k2（k2-1）（x-46k21-2k2）化簡得：y=-k2（k2-1）（x+46），可知直線MN過定點(diǎn)P-46，0又因?yàn)镺H⊥MN，所以點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)-26，0為圓心，以|OP|=46為直徑的圓，所以存在定點(diǎn)G-26，0，使得|GH|為定值26 .

點(diǎn)評本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．

好了，關(guān)于解析幾何的命題預(yù)測就談這么多了，希望對你提高高考分?jǐn)?shù)能起作用．

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)