估計(jì)在日常生活中運(yùn)用廣泛。在21世紀(jì)初的課程改革中，估計(jì)被納入小學(xué)數(shù)學(xué)課程的范疇。2022年版課標(biāo)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)估計(jì)的重要性，如“能在簡(jiǎn)單的真實(shí)情境中進(jìn)行合理估算，作出合理判斷”“初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計(jì)度量的結(jié)果”。本文擬從2022年版課標(biāo)的角度，審視小學(xué)數(shù)學(xué)教材中估計(jì)內(nèi)容的編排。

一、估計(jì)的類型

估計(jì)是指不經(jīng)過(guò)物理操作而迅速給數(shù)學(xué)問(wèn)題提供一個(gè)近似答案的心理操作過(guò)程，主要包括三種類型：測(cè)量估計(jì)（簡(jiǎn)稱估測(cè)）、數(shù)量估計(jì)（簡(jiǎn)稱估數(shù)）和計(jì)算估計(jì)（簡(jiǎn)稱估算）。估測(cè)是指在不使用一般的測(cè)量工具的情況下，用某種方法推測(cè)出測(cè)量結(jié)果的一種心理加工過(guò)程，是一種實(shí)用的日常數(shù)學(xué)技能，主要包括對(duì)長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量、溫度等日常數(shù)學(xué)范疇的估計(jì)。估數(shù)是指在沒(méi)有足夠時(shí)間數(shù)出物體的數(shù)量，或要數(shù)的物體數(shù)量過(guò)大，或?qū)Ψ庆o止的物體根本無(wú)法做出計(jì)數(shù)的情況下，做出的一種粗略估計(jì)，是一種高層次的認(rèn)知加工過(guò)程。除了對(duì)物體的數(shù)量進(jìn)行估計(jì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)也屬于數(shù)量估計(jì)。估算是指通過(guò)對(duì)原始數(shù)的近似值進(jìn)行一些心理計(jì)算從而找到計(jì)算結(jié)果的估計(jì)值。

二、現(xiàn)行教材中估計(jì)內(nèi)容的分析

對(duì)現(xiàn)行北師大版教材、人教版教材和蘇教版教材中估數(shù)類、估測(cè)類和估算類習(xí)題的數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)三個(gè)版本教材中估算類習(xí)題最多，估測(cè)類習(xí)題最少。2022年版課標(biāo)提高了對(duì)估測(cè)能力的要求，以培養(yǎng)學(xué)生的量感，所以應(yīng)考慮增加估測(cè)類習(xí)題。

（一）估測(cè)類習(xí)題。

三個(gè)版本教材中的估測(cè)內(nèi)容主要是對(duì)各種單位的感知及估測(cè)的方法，一般按照“長(zhǎng)度—面積—體積”這條線進(jìn)行編排，具有連貫性，其中穿插了時(shí)間、質(zhì)量和角度的估測(cè)。

小學(xué)階段常用的估測(cè)方法有單位迭代、參照點(diǎn)和在估計(jì)前對(duì)估計(jì)物進(jìn)行心理轉(zhuǎn)換。2022年版課標(biāo)的要求是先會(huì)選擇合適的單位估測(cè)，再選擇合適的方法估測(cè)。學(xué)生要獲得這種能力，應(yīng)遵循圖1所示的方式。教材在認(rèn)識(shí)單位的課程內(nèi)容中只是用圖片幫助學(xué)生建立對(duì)單位的感知和認(rèn)識(shí)，且物體的屬性與現(xiàn)實(shí)生活不相符，而對(duì)單位的感知需要學(xué)生通過(guò)參加更多的實(shí)踐活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，也就是在“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域內(nèi)加強(qiáng)對(duì)單位量的感知形成量感并不斷運(yùn)用。教材可以結(jié)合習(xí)題適當(dāng)點(diǎn)明估測(cè)方法，用通俗易懂的語(yǔ)言進(jìn)行描述，例如，參照點(diǎn)是指用一個(gè)我們已經(jīng)知道長(zhǎng)度或面積的物體測(cè)量另一個(gè)物體。

關(guān)于“先估計(jì)，再測(cè)量”，蘇教版教材中的題目是先讓學(xué)生估計(jì)，再進(jìn)行測(cè)量，而北師大版教材中的題目往往追加一個(gè)問(wèn)題（如圖2）“估計(jì)時(shí)你有什么好辦法”，意在了解學(xué)生是否真正掌握了估測(cè)的方法和策略。

要考查估測(cè)，提問(wèn)方式很重要。例如，人教版教材中的這道題（如圖3）。它要求學(xué)生比較所要估測(cè)的物體長(zhǎng)度與給定長(zhǎng)度的關(guān)系，這種方式貼近生活。有時(shí)我們只需要判斷出一個(gè)長(zhǎng)度比一個(gè)常用數(shù)量級(jí)單位長(zhǎng)還是短，或判斷出一個(gè)物體的長(zhǎng)度大概屬于哪個(gè)數(shù)量級(jí)即可。例如，TIMSS（國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)趨勢(shì)研究）中對(duì)于估測(cè)是這樣考查的：估計(jì)此鉛筆（圖略，原圖中鉛筆的長(zhǎng)度為13厘米）的長(zhǎng)度約是多少。（四個(gè)選項(xiàng)分別是5厘米、10厘米、20厘米、30厘米）

（二）估數(shù)類習(xí)題。

估數(shù)類習(xí)題的主要類型為：寫出某個(gè)接近整十、整百或整千的數(shù)（類型1），利用“四舍五入”法直接寫數(shù)的近似數(shù)（類型2），對(duì)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行近似估計(jì)（類型3）。三種類型呈現(xiàn)難度遞進(jìn)上升的趨勢(shì)。

各版本教材一般都是在四年級(jí)上冊(cè)介紹“四舍五入”法，其中人教版教材和蘇教版教材在學(xué)習(xí)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)時(shí)就介紹了近似數(shù)或約等號(hào)，并出現(xiàn)“寫出整十、整百、整千的數(shù)”這類題目，這其實(shí)是為后面介紹“四舍五入”法進(jìn)行鋪墊，相當(dāng)于一個(gè)過(guò)渡階段，符合教材編寫螺旋上升的要求。

類型3的習(xí)題，是為了幫助我們更快地判斷一個(gè)數(shù)量是否符合要求。如此一來(lái)，當(dāng)計(jì)算出結(jié)果后，對(duì)于如何判斷結(jié)果是否在某個(gè)范圍內(nèi)，應(yīng)有相應(yīng)的教學(xué)，否則形同虛設(shè)。

此外，“四舍五入”法不僅在自然數(shù)中適用，在小數(shù)中也適用，并且生活中經(jīng)常出現(xiàn)把萬(wàn)以上的數(shù)改寫成以萬(wàn)為單位或以億為單位的數(shù)這類問(wèn)題，它們的解決需要用到“四舍五入”法。從這一角度看，求小數(shù)的近似數(shù)的習(xí)題是有必要的。

（三）估算類習(xí)題。

陳麗蘭等把估算策略大概分為：數(shù)字轉(zhuǎn)換策略和結(jié)果調(diào)整策略。數(shù)字轉(zhuǎn)換策略即對(duì)數(shù)進(jìn)行一些處理，結(jié)果調(diào)整策略是對(duì)估算出的結(jié)果進(jìn)行調(diào)整使其更接近精確值[1]，教材中主要體現(xiàn)的是第一種策略。因此，估算類習(xí)題的主要類型為：純數(shù)字估算（類型1），實(shí)際應(yīng)用背景下的估算（類型2）。

對(duì)于純數(shù)字估算，有研究發(fā)現(xiàn)估算能力與精算能力均會(huì)參與個(gè)體計(jì)算過(guò)程，并且隨著問(wèn)題的改變，兩類區(qū)域的激活程度均會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變[2]，因此估算和精算是無(wú)法做到精準(zhǔn)分離的。曹一鳴教授認(rèn)為，估算放在計(jì)算后通常具有檢驗(yàn)的功能，放在計(jì)算前通常具有預(yù)測(cè)的功能。教師要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這兩個(gè)功能，教材中出現(xiàn)的“先估計(jì)，再計(jì)算”或“先計(jì)算，再估計(jì)”習(xí)題，本意也是想突出這兩個(gè)功能。但是，實(shí)際練習(xí)中，對(duì)于“先估計(jì)，再計(jì)算”這類題，大部分學(xué)生往往跳過(guò)估計(jì)部分而直接進(jìn)行精確計(jì)算。為達(dá)成估計(jì)教學(xué)的目的，不妨稍做改動(dòng)：只要求學(xué)生估計(jì)，要求學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)估計(jì)出結(jié)果，并寫下估計(jì)過(guò)程?？紤]到對(duì)于同一道題可以采用不同的估算策略，因此，估計(jì)的結(jié)果不唯一，只要是合理的就可以。

再如，除法的估算習(xí)題里面，三個(gè)版本教材基本都要求學(xué)生用估算試商，并且很多題目?jī)H僅是“先判斷商是幾位數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算”。在實(shí)際練習(xí)這些題目時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)學(xué)生只進(jìn)行精算的現(xiàn)象。在這個(gè)問(wèn)題的解決上，人教版教材和北師大版教材設(shè)計(jì)的估算類題（如圖4和圖5）是值得借鑒的。

同樣，針對(duì)學(xué)生在完成“先計(jì)算，再估計(jì)”這類題時(shí)得到精確結(jié)果后不再進(jìn)行估算的情況，題目設(shè)計(jì)也可以略作改動(dòng)。比如，直接給出一個(gè)錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果，并且是一個(gè)比較復(fù)雜的式子，讓學(xué)生通過(guò)估算判斷結(jié)果是否正確，這樣不僅讓學(xué)生放棄通過(guò)直接計(jì)算來(lái)判斷，而且讓學(xué)生意識(shí)到估算有時(shí)比精算更方便。

在實(shí)際應(yīng)用背景下的估算內(nèi)容，一部分是含有明顯估計(jì)特征詞的顯性估算題，另一部分是沒(méi)有明顯估計(jì)特征詞的隱性估算題。隱性估算題在教材中是可以保留的，因?yàn)樗梢耘囵B(yǎng)學(xué)生判斷是否需要估算的能力。

對(duì)于顯性估算題，其中有一部分題既含有“估一估”這一特征詞，問(wèn)法又是“……夠嗎”，這樣雖然可以引導(dǎo)學(xué)生利用估算的方法解決問(wèn)題，但是為了培養(yǎng)學(xué)生自主判斷該使用精算還是估算的能力，可以在部分題目的設(shè)計(jì)中去掉具有明顯特征的估計(jì)詞。另一部分題包含“大約”一詞，并且最后需要得出一個(gè)數(shù)值答案，這類題的題干讓學(xué)生知道需要利用估算解題，但是并不是所有包含“大約”一詞的題都需要利用估算解題，有時(shí)題中的數(shù)據(jù)就是“大約”的，因此答案也是“大約”的。對(duì)于后一類題的設(shè)計(jì)，或許可以參考TIMSS中關(guān)于估計(jì)的習(xí)題，例如，聲音傳播的速度大約是每秒340米。某爆炸聲經(jīng)過(guò)28秒傳到某人的耳朵里，則爆炸源距離此人大約多少米？（四個(gè)選項(xiàng)分別是12000、9000、8000、6000）這道題的估計(jì)結(jié)果并不是因?yàn)轭}干所給的數(shù)據(jù)中帶有“大約”，而是需要用一定的估計(jì)策略對(duì)題中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并且給出的選項(xiàng)已經(jīng)明確了本道題就是對(duì)學(xué)生的估計(jì)能力和估計(jì)策略進(jìn)行考查。

三、習(xí)題總體分析和建議

（一）習(xí)題類型綜合化。

教材中的每道習(xí)題都只考一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如果把多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融合在一起綜合考查，會(huì)更有助于提高學(xué)生的估計(jì)能力。例如，對(duì)2022年版課標(biāo)中的例18進(jìn)行改編，增加一個(gè)問(wèn)題：

李阿姨去商店購(gòu)物，帶了100元，她買了2袋面，每袋30.4元；又買了1塊牛肉，用了19.4元。她還想買1條魚，大一些的每條25.2元，小一些的每條15.8元。請(qǐng)幫助李阿姨估算一下，她此時(shí)剩余的錢夠不夠買小魚？夠不夠買大魚？如果李阿姨突然不想買魚了，那還剩下多少錢？

對(duì)于“夠不夠買小魚”，需要向上估計(jì)已經(jīng)花的錢，再用100減去已經(jīng)花的錢；對(duì)于“夠不夠買大魚”，需要向下估計(jì)已經(jīng)花的錢，再用100減去已經(jīng)花的錢；“還剩下多少錢”是一道精算題。像這樣的綜合問(wèn)題，更有利于學(xué)生理解何時(shí)需要估計(jì)，以及用什么方法進(jìn)行估計(jì)。

（二）情境素材生活化。

要選擇學(xué)生熟悉的生活情境，讓學(xué)生在熟悉的情境中下意識(shí)地選擇估計(jì)方式，這樣可以有效培養(yǎng)學(xué)生的估計(jì)意識(shí)，讓學(xué)生在意識(shí)驅(qū)動(dòng)下提升估計(jì)的主動(dòng)性，進(jìn)而提升估算教學(xué)的有效性。例如，可提出這種要求：請(qǐng)測(cè)量一下自己1步大概有多長(zhǎng)，再估計(jì)從教室到圖書館大概要走多少步。這道題有一定的活動(dòng)性，在活動(dòng)課中，可以讓學(xué)生更好地體會(huì)估計(jì)的用處，并且這是與學(xué)生息息相關(guān)的事情，有利于激發(fā)學(xué)生的興趣，也有利于學(xué)生在生活中運(yùn)用估計(jì)培養(yǎng)數(shù)感和量感。

（三）估計(jì)方法多樣化。

對(duì)于同一題目，可以讓學(xué)生自由選擇估計(jì)方式，從而體會(huì)估計(jì)方法的多樣化，而后引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，拓展學(xué)生對(duì)估計(jì)方法的認(rèn)知。例如，2022年版課標(biāo)中的例33：

如圖6，每個(gè)小正方形的面積為1個(gè)面積單位，嘗試估計(jì)曲線所圍圖形的面積。

對(duì)于該題，可以數(shù)出圖形包含的完整小正方形的數(shù)量，再數(shù)出圖形包含的和邊緣接觸到的所有小正方形的數(shù)量，實(shí)際面積就在這兩個(gè)估計(jì)值之間。除此之外，還可以將小正方形等分成更小的正方形，這樣可以得到更接近實(shí)際面積的估計(jì)值。

除了估測(cè)類題目，在估算中，估計(jì)方法更加多樣化，例如，對(duì)297×296進(jìn)行估算。對(duì)于這道題，可以用這些方法進(jìn)行估計(jì)：（1）取整，把297和296都變成300再相乘；（2）截取，把297和296都變成290再相乘；（3）補(bǔ)償，一個(gè)取為290，另一個(gè)取為300再相乘。估算方法的多樣化，估算結(jié)果的不唯一性和開(kāi)放性，也是估算與精算的重要區(qū)別。

參考文獻(xiàn)：

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[2]董奇，張紅川.估算能力與精算能力：腦與認(rèn)知科學(xué)的研究成果及其對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示[J].教育研究，2002，23（5）.

（作者單位：華中師范大學(xué)，深圳大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）