王偉民　辛存良

摘? ?要：采用微積分的方法對(duì)一道涉及光滑的定滑輪上靜止繩子中張力的問(wèn)題進(jìn)行解析；推導(dǎo)沿高度遞增的光滑斜面拉動(dòng)質(zhì)量分布均勻的繩子需要的拉力公式，以例題解答的方式闡述這一公式在解決相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：均質(zhì)繩；光滑曲面；張力

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2024）6-0070-4

將有質(zhì)量的繩子或鏈條放在高度遞增的光滑曲面上，在其最上端施加外力使其保持平衡狀態(tài)，若繩子或鏈條的各部分都緊貼在曲面上，由于其自身重力的作用，繩子或鏈條有沿曲面下滑的趨勢(shì)，使得各部分相互牽拉而產(chǎn)生張力。因?yàn)槔K子或鏈條與光滑曲面之間只存在正壓力，不存在摩擦力，所以，對(duì)平衡狀態(tài)下的繩子或鏈條，當(dāng)其下端受到沿曲面切線方向向下的拉力，繩子或鏈條各部位依然緊貼曲面的情況下，這個(gè)額外施加的力會(huì)大小不變地“傳遞”到繩子或鏈條的各點(diǎn)——即繩子或鏈條各點(diǎn)的張力都比原來(lái)多出了這個(gè)增加的拉力。利用這一規(guī)律和相關(guān)條件，可以求解繩子或鏈條各點(diǎn)張力的大小。

1? ? 對(duì)一道力學(xué)題目的解析

例題１? 質(zhì)量為ｍ、長(zhǎng)為ｌ的均勻繩，搭在半徑為Ｒ的光滑的定滑輪上，如圖１所示，求繩中的最大張力［１］。

分析? 因?yàn)槔K子質(zhì)量分布均勻，滑輪是光滑的，所以繩子搭在滑輪上能夠保持靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，滑輪兩邊繩子的長(zhǎng)度必須是相等的。顯然，這種狀況下繩子張力最大的位置在其最高點(diǎn)，即圖２中的Ａ點(diǎn)，因此，我們只需確定該點(diǎn)繩子的張力即可。本題解法較多，下面先采用微積分的方法進(jìn)行求解。

解析 如圖２所示，Ｃ點(diǎn)是壓在光滑滑輪邊緣圓弧型繩子上的任意一點(diǎn)，ＯＢ是滑輪的水平半徑，設(shè)∠BOC=θ。依題意可知，繩子的線密度為ρ=m/L。在Ｃ點(diǎn)的上方取一段微圓弧繩子dl，它所對(duì)的圓心角為dθ，那么這段微圓弧繩子的質(zhì)量為

dm=ρdl=（m/L）Rdθ

在光滑滑輪上，沿滑輪邊緣的切線方向單獨(dú)牽拉這段微圓弧繩子并保持平衡時(shí)需要的拉力為

我們可否避開(kāi)微積分方法，采用中學(xué)的知識(shí)進(jìn)行求解呢？

2? ? 沿光滑曲面勻速拉動(dòng)繩子需要的拉力

先分析沿光滑斜面向上勻速拉動(dòng)質(zhì)量分布均勻的柔軟繩子需要的拉力跟相關(guān)因素間的定量關(guān)系［２］。如圖３所示，光滑斜面的傾角為θ，用沿平行于斜面的力拉著線密度為ρ、長(zhǎng)為Ｌ的柔軟繩子勻速上升，需要的拉力為

F=ρLgsinθ=ρhg

這說(shuō)明，沿光滑斜面向上勻速拉動(dòng)線密度為ρ的繩子需要的拉力，跟長(zhǎng)度等于該段繩子在豎直方向上的投影且線密度也為ρ的繩子的重力相等。

由于任意曲面都可以視為很多傾角不同的斜面的組合，所以上述結(jié)論不僅適用于光滑斜面，也適用于光滑曲面——沿高度單調(diào)遞增的光滑曲面向上勻速拉動(dòng)線密度為ρ的繩子。因?yàn)閴涸诠饣嫔喜⑻幱跔坷瓲顟B(tài)的繩子可以“傳遞”拉力，在拉動(dòng)過(guò)程中，繩子的各部分都受到曲面的支持力（即繩子的各部分都是緊貼著曲面），所以處于平衡狀態(tài)時(shí)在繩子的上端施加沿曲面切線方向的拉力F，將等于長(zhǎng)度為曲面上的繩子在豎直方向上投影的長(zhǎng)度、線密度也為ρ的那段繩子的重力，即F=ρhg，如圖４所示。運(yùn)用這一規(guī)律對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行求解，可以避開(kāi)微積分而用中學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解答。

現(xiàn)運(yùn)用這一規(guī)律對(duì)例題１進(jìn)行解答。

跟前面用微積分方法求解的結(jié)果是一樣的。對(duì)于類似問(wèn)題，我們都可以采用上述方法進(jìn)行求解［３］。

3? ? 該方法在類似問(wèn)題中的應(yīng)用

例題２? 如圖５所示，截面外圍是拋物線的表面光滑的柱體橫放在水平桌面上，截面拋物線的對(duì)稱軸垂直于水平面。已知柱體截面（拋物面）的底面寬２ ｍ，高４ ｍ，一段線密度為２ ｋｇ/ｍ、質(zhì)量分布均勻的鏈條放在柱體的側(cè)面上而保持靜止，此時(shí)鏈條在水平底面上正投影的長(zhǎng)度為１ ｍ，求鏈條上的最大張力？（ｇ＝１０ Ｎ/ｋｇ）

分析? 由于柱體的側(cè)面都是光滑的，鏈條的質(zhì)量分布均勻，所以靜止于柱體側(cè)面上的鏈條必然關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，且拋物線頂點(diǎn)處鏈條的張力最大。因此，只要能夠確定拋物線兩側(cè)的鏈條在豎直方向上投影的長(zhǎng)度，根據(jù)題目給出的鏈條線密度的條件，即可求解最高點(diǎn)鏈條的張力。

F=ρhg=2 kg/m×1 m×10 N/kg=20 N

即，鏈條上的最大張力為２０ Ｎ。當(dāng)然，本題也可以用微積分的方法進(jìn)行求解。不過(guò)，相比于直接運(yùn)用公式F=ρhg的求解方法，采用微積分的方法進(jìn)行解答的過(guò)程較為復(fù)雜。

例題３? 如圖７所示，表面光滑的圓柱體橫放于水平地面上，其截面半徑R=0.8 m（圖中為圓柱體的橫截面，Ｏ是截面圓的圓心）。Ａ、Ｂ為兩個(gè)半徑都是r=0.2 m金屬球的球心，Ａ、Ｏ、Ｂ三點(diǎn)在同一水平線上，Ａ'Ｃ、Ｂ'Ｄ是兩根輕質(zhì)無(wú)彈性細(xì)線，將兩個(gè)金屬球與一段質(zhì)量分布均勻的軟繩（圖２中壓在圓?。茫纳系睦K子）的兩端相連接，且Ｃ、Ｄ兩點(diǎn)是細(xì)線Ａ'Ｃ和Ｂ'Ｄ與圓Ｏ相切的切點(diǎn)。兩金屬球的質(zhì)量均為０．４ ｋｇ，圓弧繩子的線密度為ρ=1 kg/m。試求繩上的最大張力。（?。纾剑保?Ｎ／ｋｇ）

分析 系統(tǒng)穩(wěn)定后，Ａ金屬球受到自身重力、圓柱體對(duì)其水平向左的支持力和繩子對(duì)球的拉力這三個(gè)力的作用（Ｂ金屬球的受力情形類似，不再重復(fù)分析），其中球的重力及細(xì)線拉力的示意圖如圖８所示。因?yàn)閳A柱體的側(cè)面是光滑的，CD段繩子及兩個(gè)金屬球的位置都是關(guān)于圓柱體的豎直直徑對(duì)稱，所以圓弧繩子最高點(diǎn)Ｅ處的張力最大，大小等于跟圓弧在豎直方向上投影長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)、同樣線密度繩子的重力與細(xì)線ＡＣ對(duì)Ｃ的拉力（也等于對(duì)Ａ的拉力）之和。因此，根據(jù)題目條件，只要能夠確定細(xì)線對(duì)金屬球拉力的大小和弓形的高ＥＨ即可。

因?yàn)镺H=Rcos∠COH=Rcos∠OAC=0.48 m，所以EH=OE-OH=0.32 m。

因此，繩子最高點(diǎn)Ｅ處的張力大小為

F=T+ρg·EH=5 N+1 kg/m×0.32 m×10 N/kg=8.2 N

所以，繩子上的最大張力為8.2 N。

4? ? 結(jié)? ?語(yǔ)

高度單調(diào)遞增的光滑曲面上放置的質(zhì)量分布均勻的繩子（或鏈條）保持平衡狀態(tài)，或?qū)ζ涫┘油饬κ蛊浔３制胶鉅顟B(tài)，如果繩子（或鏈條）上的各部分都是緊壓在曲面上，那么，由于自身重力而使繩子（或鏈條）上某點(diǎn)產(chǎn)生張力，張力的大小等于曲面上跟該點(diǎn)下方的繩子（或鏈條）在豎直方向上投影長(zhǎng)度相等的同樣線密度的繩子（或鏈條）的重力。利用這一規(guī)律并結(jié)合相關(guān)條件，可以方便、快捷地求解光滑曲面上繩子的張力問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

［１］楊榕楠．更高更妙的物理：高考高分與自主招生決勝篇（第二版）［Ｍ］．杭州：浙江大學(xué)出版社，２０１８．

［２］王偉民，牟銀勇．等時(shí)圓——求解物體沿光滑斜面滑行問(wèn)題中的橋梁［Ｊ］．物理教學(xué)探討，２０２３，４１（２）：６１－６４．

［３］曹鵬，李力．任意光滑曲面上靜止均質(zhì)鏈所需拉力與總支持力的計(jì)算［Ｊ］．物理教師，２０１７，３８（６）：６１．

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2023-09-15

作者簡(jiǎn)介：王偉民（1964-），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)研究。

*通信作者：辛存良（1977-），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)研究。