摘 要：《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》明確要求學生體會研究物理問題的極限方法。本文通過建構(gòu)瞬時速度的概念，提煉出極限方法的三個核心思想：單調(diào)性與連續(xù)性、分割與逼近、近似與精準。教學中，教師經(jīng)過深入理解三個核心思想，能夠幫助學生體會研究物理問題的極限方法，并能區(qū)分極限方法與微元法、極值法，也可以更有效地評估學生對極限方法的理解情況，從而促進學生科學思維的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：極限方法；物理思想方法；核心思想

“體會研究物理問題的極限方法”是《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）中明確提出的要求。［1］極限方法不僅是一種數(shù)學方法，更是一種重要的物理思維方法。極限思想無形地滲透在整個高中物理的學習過程中［2］，是高中物理連接大學普通物理中“力學”“電磁學”的一種核心思想，是人類深入認識和描述現(xiàn)實世界必備的思維品質(zhì)。掌握極限方法對學生的科學思維發(fā)展具有促進作用，可有效提升學生的物理核心素養(yǎng)。

《課程標準》中的語言表達雖然精煉，但往往較為抽象，無法直接應用于課堂教學和課堂評價。物理課堂的教學與評價目標必須清晰、具體、易懂，并且能夠被檢測和評價。因此，本文對《課程標準》進行深入解析，明確極限方法的定義及內(nèi)涵。

1 極限方法現(xiàn)行中學教材中未明確給出極限的定義。若想讓學生在研究物理問題中體會到極限方法，教師就必須了解極限的定義以及極限方法。這樣教師才能更好地指導學生的學習，并對其學習結(jié)果進行評價。

在數(shù)學中，極限的定義可簡單表述為：如果對于任意給定的數(shù)值ε（ε＞0）和常數(shù)A，從過程的某一時刻（或數(shù)列的某一項）開始，不等式A－ε＜x＜A＋ε成立，那么常數(shù)A就叫作變量x的極限。

極限的定義是十分抽象的；那么我們可以通過下述具體情境來理解極限的含義。

一口井深10m，一只蝸牛從井底往上爬。假設(shè)蝸牛每天可爬剩余高度的一半，求問5天后、10天后、15天后蝸牛分別距離井口多遠？蝸牛多久可以爬到井口？

設(shè)蝸牛距離井口的距離為x，爬行的天數(shù)為n，則距離井口的距離可表示為x＝10（1/2）ⁿ。5天后距離井口的距離為31.25cm，10天后距離井口的距離為9.765625mm，15天后距離井口的距離為305.17578125μm。隨著時間的推移，我們會發(fā)現(xiàn)蝸牛距離井口的距離越來越小，最后不斷趨近于0，但總不會為0。這個就是取極限的一個過程，0就是蝸牛距離井口距離的極限值。

在物理學中，我們可以把連續(xù)不斷變化、趨近于穩(wěn)定狀態(tài)和常量的物理過程或狀態(tài)稱為趨于極限過程或極限狀態(tài)，把這個穩(wěn)定狀態(tài)或常量稱為極限。通過無限分割、不斷逼近，在連續(xù)變化的過程中探究變量的變化趨勢，尋找極限的思想方法就是極限方法。

2 以瞬時速度概念的建構(gòu)提煉極限方法的核心思想根據(jù)《課程標準》給出的建議，體會極限方法的核心思想可結(jié)合瞬時速度概念的建構(gòu)來進行。［1］瞬時速度是用來描述物體在某一時刻或經(jīng)過某一位置時運動快慢的物理量，是狀態(tài)量?！拔锢韺W中用位移與發(fā)生這段位移所用時間之比表示物體運動的快慢，這就是速度?！保?］這其實應該是平均速度的定義，描述的是物體在一段時間內(nèi)或一段位移內(nèi)運動的平均快慢程度。如何由平均速度過渡到瞬時速度呢？勻速直線運動是速度保持不變的運動。做勻速直線運動的物體在一段時間內(nèi)的平均速度和各個時刻的瞬時速度是一樣的。測量出物體做勻速直線運動的平均速度即可得到物體在某一時刻的瞬時速度。對于物體的一般運動，物體在一段時間內(nèi)的運動快慢是變化的，瞬時速度又該如何測量？

2.1 定性分析——認識瞬時速度

在物體的一般運動中，某段時間內(nèi)的平均速度不能代替某一時刻或某一位置的速度，是因為這段時間相對較長，速度可能在不斷變化。如果在整個運動過程中取一段極短的時間或極短的位移，短到物體的運動快慢來不及發(fā)生變化或者變化量極??；那么這段極短時間或極短位移內(nèi)物體的運動就可以近似看作勻速直線運動，測量出來的平均速度就近似等于物體在這段時間內(nèi)的某時刻或這段位移內(nèi)的某位置的瞬時速度。在誤差允許的范圍內(nèi)，則可認為測量出了物體在該時刻或該位置的瞬時速度。

2.2 通過實驗探究認識瞬時速度

為了更加準確地記錄物體運動的位置和時間，實驗可以采用Tracker視頻追蹤處理軟件進行數(shù)據(jù)記錄與處理。使用智能手機“慢動作”攝像功能（60幀率）錄制一個小球下落的視頻，將其導入到Tracker軟件中。通過定標，軟件自動跟蹤所定標的小球，記錄小球的位移及對應的時間數(shù)據(jù)。在整個完整的運動中，選擇其中一點標記為A點，在其下方選擇一點標記為B點，不斷改變A、B之間的距離，計算出對應的時間間隔，然后算出該段時間內(nèi)的平均速度，實驗數(shù)據(jù)如表1所示。由表1可以發(fā)現(xiàn)，在B點不斷靠近A點的過程中，小球在A、B之間的平均速度逐漸變小，當A、B之間的距離小于6cm時，可近似認為平均速度變成了一個常量，即可近似認為這段時間內(nèi)物體做勻速直線運動，平均速度即為這段時間內(nèi)各點的瞬時速度。

2.3 通過x-t圖像認識瞬時速度

若物體做勻速直線運動，其x-t圖像是一條傾斜的直線，該直線的斜率可表示該段時間內(nèi)物體運動的平均速度，也可以表示各個時刻瞬時速度的大小。若物體做變速直線運動，其x-t圖像是一條曲線（如圖1所示）。在圖像上選取A、B兩點，A、B連線的斜率可以表示A、B之間的平均速度，但是無法反映A點的瞬時速度。當我們逐漸移動B點位置來縮短A、B之間的距離時，會發(fā)現(xiàn)連接A、B的直線逐漸靠近曲線（如圖2所示）。當A、B之間間隔非常短時，通過電腦放大來觀察，會發(fā)現(xiàn)A、B連線與曲線基本重合，曲線上的AB這一小段可以近似看成直線處理（如圖3所示）。也就是說AB段的運動可以近似看作勻速直線運動，這條線段的斜率就可以近似表示物體在A點的瞬時速度。A、B之間越接近，所計算的A點的瞬時速度結(jié)果就越準確。當A、B基本重合時，它們的連線就變成了圖像的切線，該切線的斜率就表示割線AB在Δt趨近于0時斜率的極限。由割線逼近切線的過程就是平均速度向瞬時速度轉(zhuǎn)化的過程。

以上測量物體在某一時刻或某一位置瞬時速度的過程，其實就是使用極限方法的過程。首先，所研究的時間間隔內(nèi)速度的變化是單調(diào)并連續(xù)的；其次，通過不斷縮小所取時間間隔或位移，即分割時間或位移，從而使得平均速度逐漸接近于待測時刻或位置的瞬時速度，這個過程就是一個不斷逼近的過程；最后，當達到一定精度后，就近似認為測量出來的平均速度即為該時刻或位置的瞬時速度，即要能處理近似和精準之間的關(guān)系。因此，極限方法的核心思想可歸納為三點：單調(diào)性與連續(xù)性、分割與逼近、近似與精準。

3 體會研究物理問題的極限方法體會的意思就是通過體驗然后領(lǐng)會。要想讓學生體會研究物理問題中使用的極限方法，教師需要讓學生經(jīng)歷相關(guān)物理問題的研究，領(lǐng)會極限方法的三個核心思想，然后經(jīng)過內(nèi)化，理解極限方法。

單調(diào)性與連續(xù)性是物理中使用極限方法解決問題的前提條件。單調(diào)性是極限問題的基本特征，指某物理量隨其影響因素的變化在區(qū)間內(nèi)呈單調(diào)變化。［4］連續(xù)性是指在研究的物理問題范圍內(nèi)，物理量隨其影響因素的變化沒有斷點。數(shù)學函數(shù)的極限和連續(xù)性是兩個彼此獨立的問題。在物理中，處理極限問題往往需要通過分割與逼近來實現(xiàn)。變化過程必須連續(xù)，這是由時空的連續(xù)變化決定的。對連續(xù)的理解，可以從離散出發(fā)［5］，即由特殊到一般的演變過程。比如，對于極限，學生很難理解“Δt→0”，一個量如何能連續(xù)不斷地趨于0呢？連續(xù)不斷是什么意思呢？教師可以讓學生先理解1/n經(jīng)過1/2、1/3、1/4、…逐漸實現(xiàn)趨近于0。合理應用極限方法中的單調(diào)性與連續(xù)性可實現(xiàn)物理問題從有限向無限的過渡。

分割與逼近是物理中使用極限方法解決問題的核心。分割是將一個整體分為有限或者無限個部分來研究，其可分為空間分割和時間（或過程）分割。根據(jù)分割單元需要參量不同，常見的空間分割可分為線分割、面分割和體分割。比如，勻速直線運動——一個質(zhì)點沿直線運動，如果質(zhì)點在任意相等的時間內(nèi)通過的位移都相等，這種運動就叫作勻速直線運動。即將質(zhì)點運動的整個過程分割成時間相等的若干個過程，判斷每個運動過程所需要的時間是否相等。當分割的時間段趨近于無限小時，就得到了嚴格意義上的勻速直線運動。再比如，根據(jù)開普勒行星運動第二定律，在證明行星在近日點和遠日點處的運動速度與到軌道焦點距離成反比規(guī)律的過程，我們需要將行星與太陽連線掃過的面積分割為極小，近似認為此過程中行星運動的速率不變。逼近就是“靠攏”的意思，指的是事物在發(fā)展變化的過程中向某個確定值“靠攏”（或“趨近”）。在研究和解決具體物理問題中，有這樣幾種常見的逼近情況：位置逼近、直線逼近曲線、割線逼近切線、矩形逼近曲邊梯形。［6］分割與逼近是極限方法的核心思想，對解決實際物理問題有著十分重要的意義。

近似與精準是物理中使用極限方法解決問題的靈魂。近似與精準本身是一組相互矛盾的概念，而在極限方法中卻實現(xiàn)了辯證與同一。魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，他指出：割之彌細，失之彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。古希臘哲學家安蒂豐同樣提出過類似的方法，通過無限等分的方法計算圓的周長。當然，在實際計算中，他們只能進行有限次的分割。故亞里士多德在《物理學》中提到安蒂豐的觀念，指出安蒂豐的多邊形永遠不能和圓周重合，因為這種等分可以永遠繼續(xù)下去。［7］亞里士多德更多關(guān)注的是近似，認為無論如何分割逼近，最后的結(jié)果也只能是近似值。而他卻忽略了如果重復的次數(shù)足夠多，近似的結(jié)果就能達到研究所需要的精度。在實際物理問題中，精準本身就是一個相對概念，絕對的精準是不存在的。在祖沖之的不懈努力下，早在南北朝時期圓周率就實現(xiàn)了小數(shù)點后七位的精準度。雖然這個結(jié)果仍然是近似值，但是已經(jīng)可以完全滿足當時的生產(chǎn)、生活以及科技發(fā)展要求，所以該值對當時來說就是精準的。因此，我們可以通過近似認識精準。在不斷分割、逼近的過程中所取的值，對于極限值而言是近似的，但是在研究誤差允許的范圍內(nèi)也可以認為是精準的，可作為極限值處理。

4 極限方法與微元法、極值法的關(guān)系在日常教學過程中，教師經(jīng)常將極限方法與微元法、極值法混淆。因此，在了解極限方法及其核心思想之后，教師還需要明確三種方法之間的關(guān)系。

微元法是指在處理較復雜的變化問題時，常常先把整個區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間，認為每一小區(qū)間內(nèi)研究的量不變，再研究單個區(qū)間的特性或?qū)φ麄€區(qū)間求和。［8］微元法是大學物理中常用到的微積分的基礎(chǔ)。中學物理中討論的微元法包含極限、導數(shù)、積分的思想［9］，因此微元法與極限方法是包含與被包含的關(guān)系。微元法除了極限思想中的三個核心特征之外，還包含重新組合疊加的積分思想，這可以作為二者的主要區(qū)別。當然，微元法亦可作為極限方法的思維進階，在學生體會到極限方法之后，再進一步接觸。

示例1 如圖所示，擺球的質(zhì)量為m，懸線的長為L，把懸線拉到水平位置后由靜止釋放。設(shè)擺球運動過程中所受空氣阻力f的大小不變，求擺球從位置A運動到豎直位置B過程中，空氣阻力f做了多少功？［10］

將AB圓弧分成許多段小弧長，使每一段小弧長小到可以看成直線段，可認為每一段小弧長上f的大小、方向均不變，即為恒力，這就將變力做功問題轉(zhuǎn)化為恒力做功問題。f所做的總功等于每段小弧長上f所做功的代數(shù)和。雖然原作者使用該案例來說明極限法在高中物理解題中的應用，但準確來說，原作者在該案例中使用的應該是微元法。這不僅要求學生要理解極限思想，還要能夠理解積分思想。如果學生剛接觸極限方法，直接考查學生對極限方法的體會程度就會有些不合適；如果學生接觸微元法后，再對其進行考查就會合適很多。因此，將此題作為微元法在高中物理解題中的應用會更恰當。

極值法是指通過數(shù)學方法找到某個物理過程或狀態(tài)的最大或最小值的方法。極值是可以達到的，是不需要近似和逼近的。

示例2 如圖所示，一個質(zhì)量為m的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立彈簧上方h高度處。該小球從靜止開始落向彈簧，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，求小球可能獲得的最大動能。［11］

根據(jù)極限法分析，小球跟彈簧接觸后，先做變加速運動，后做變減速運動，因此，小球在所受合力為零的位置時速度、動能最大。上述分析過程雖然是清晰的，但是并沒有體現(xiàn)極限方法核心思想的應用，此處仍是用定性分析物理過程代替定量列方程求解，本質(zhì)仍然是極值法。

5 結(jié)語教師在明確了極限方法及其核心思想之后，不僅能夠更清晰地指導學生體會極限思想，還能夠根據(jù)其核心特征對學生運用極限方法的情況進行評價。例如，教師可以通過觀察學生在解決實際問題或解釋自然現(xiàn)象時對極限方法核心思想的應用來進行評價。以這樣的問題為例：“用照相機拍攝短跑比賽中飛奔的運動員，可以得到一張靜止的照片，因此我們有理由相信運動員在這一時刻是靜止的。請你評價這一觀點，并說明原因?！比绻麑W生能夠運用極限方法的核心思想來說明這一觀點的錯誤之處以及為什么會產(chǎn)生這樣的錯誤觀念，那么可以說學生已經(jīng)體會到了研究物理問題中的極限方法。

參考文獻

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*基金項目：本文系湖南省普通高等學校教學改革研究項目“基于深度學習的物理課程與教學論改革研究與實踐”（課題編號：HNJG-2020-0164）的階段性成果。