數(shù)學(xué)是講邏輯、重推理的學(xué)科，每一個(gè)結(jié)論都需要充分的推導(dǎo)．本文尋找充分、必要條件的知識(shí)源頭并敘述新中國(guó)成立以來(lái)的教學(xué)要求，從高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，對(duì)概念進(jìn)行多視角闡釋，以期促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解;從教育功能出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和構(gòu)建知識(shí)體系的能力，提升課堂教學(xué)效率．

１ 研究緣起

在教研活動(dòng)中，經(jīng)常有教師問(wèn)：“為什么高中數(shù)學(xué)中要學(xué)習(xí)充分、必要條件？”在與數(shù)學(xué)教師的交流中，部分教師也表示“這部分知識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)”“學(xué)生不理解，做題錯(cuò)誤率較高”“學(xué)不學(xué)該部分知識(shí)對(duì)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)沒(méi)有影響”等，導(dǎo)致教學(xué)的現(xiàn)狀是部分教師讓學(xué)生死記硬背，學(xué)生“知其然，而不知其所以然”，學(xué)生做題的錯(cuò)誤率較高．那么，為什么無(wú)論是新教材還是老教材，都沒(méi)有刪去這部分內(nèi)容？ 為什么從原來(lái)的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱到數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都保留這部分內(nèi)容？ 筆者從“充分、必要條件”的知識(shí)源頭入手，重點(diǎn)闡釋這一概念的教學(xué)思路與功能，以利于教師課堂教學(xué)的順利開(kāi)展，提升課堂教學(xué)的效率.

２ 概念的淵源、發(fā)展與教學(xué)要求

亞里士多德是古希臘三賢之一，在數(shù)學(xué)、物理、文學(xué)、邏輯學(xué)等諸多領(lǐng)域都有巨大的成就，其中“三段論”一直被現(xiàn)代數(shù)學(xué)所沿用，充分、必要條件的概念便源于他所創(chuàng)造的邏輯學(xué)理論，他指出充分、必要條件是描述一定語(yǔ)言符號(hào)所指概念范疇所必需的集合特征，這些集合特征是對(duì)客觀世界中某一類實(shí)體的抽象概括，后來(lái)充分、必要條件在數(shù)理邏輯領(lǐng)域逐漸發(fā)展并廣泛應(yīng)用，直到今天．

“有之則必然，無(wú)之則未必不然，是為大故，無(wú)之則必不然，有之則未必然，是為小故”出自戰(zhàn)國(guó)時(shí)期思想家墨子的著作?墨經(jīng)?，這也是我國(guó)關(guān)于充分、必要條件概念最早的描述，形象地解釋了充分、必要條件的含義．新中國(guó)成立以來(lái)，教材版本不斷發(fā)生變化，但這一概念一直存在于數(shù)學(xué)教材之中．表１羅列了新中國(guó)成立以來(lái)高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（以下簡(jiǎn)稱大綱）、普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn)）中關(guān)于充分條件與必要條件的表述．

從表１可以看出，充分、必要條件一直存在于高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系之中，起初這些概念分散于不同的章節(jié)之中，如解析幾何、立體幾何、向量等，后來(lái)從培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的視角出發(fā)，這部分內(nèi)容逐漸被整合到一個(gè)系統(tǒng)的章節(jié)中，使得學(xué)生可以更好地理解和應(yīng)用這些概念，顯然，對(duì)于充分、必要條件知識(shí)的重要性的認(rèn)識(shí)也是一個(gè)逐漸完善和加強(qiáng)的過(guò)程．

３ 充分、必要條件的概念闡釋

３.１ 依據(jù)教材，理解概念

北師大版教材給出的定義如下：一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時(shí)，稱q 是p 的必要條件，同時(shí)稱p 是q 的充分條件;如果p?q，且q?p，那么稱p是q 的充分且必要條件，簡(jiǎn)稱p 是q 的充要條件，記作p?q．

在教學(xué)中，學(xué)生對(duì)充分條件易于理解，但對(duì)必要條件的理解較為困難，教材為了讓學(xué)生突破這一難點(diǎn)，先通過(guò)實(shí)例分析數(shù)學(xué)中的性質(zhì)和定理，再給出定義，讓學(xué)生對(duì)必要條件語(yǔ)言有一個(gè)認(rèn)識(shí)、歸納、理解的過(guò)程．在實(shí)際的教學(xué)中，效果依然不夠理想，需要從多個(gè)維度加以分析，引導(dǎo)學(xué)生抓住概念的本質(zhì)．

３.２ 基于學(xué)情，深化概念

１）利用“逆否命題”的知識(shí)

在“幾何與圖形”課程內(nèi)容中有“定義、命題、定理”一節(jié)，該節(jié)的教學(xué)要求：能結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件與結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念．會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立．為了增強(qiáng)學(xué)生的理解力，我們可以補(bǔ)充原命題的逆否命題的概念，利用逆否命題和原命題的等價(jià)性，充分、必要條件的定義如下．

“若p，則q”是真命題，則稱p 是q 的充分條件;即如果條件A 成立，則結(jié)論B 也成立，我們就稱條件A 是結(jié)論B 的充分條件．

“若￢q，則￢p”是真命題，則稱q 是p 的必要條件，即如果條件A 不成立，則結(jié)論B 也不成立，我們就稱條件A 是結(jié)論B 的必要條件．

這樣就進(jìn)一步詮釋了必要條件的定義．例如，若兩個(gè)三角形全等，則兩個(gè)三角形的面積相等，稱兩個(gè)三角形全等是這兩個(gè)三角形的面積相等的充分條件．顯然，若兩個(gè)三角形的面積不相等，則這兩個(gè)三角形不全等，我們就稱兩個(gè)三角形的面積相等是這兩個(gè)三角形全等的必要條件．這也是對(duì)古籍?墨經(jīng)?中的“無(wú)之則必不然”的具體解釋．

２）利用“集合”的知識(shí)

數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，我們可以認(rèn)為p?q 為符號(hào)語(yǔ)言，p 是q 的充分條件，q是p 的必要條件為自然語(yǔ)言，借用集合知識(shí)A ?B 可以表示為如圖１所示的圖形語(yǔ)言，如果x∈A ，那么x∈B，我們就說(shuō)x∈A 是x∈B 的充分條件，由于x?B 時(shí)，x?A 成立，我們也稱x∈B 是x∈A 的必要條件．

我們知道，同一個(gè)研究對(duì)象，可以有不同的文字語(yǔ)言表征．同樣，闡釋同一件事物屬性的表達(dá)也可以有不同的方法，如“若p，則q”是真命題、p?q、p 是q的充分條件、q 是p 的必要條件這四種說(shuō)法，表達(dá)的意思本質(zhì)上是等價(jià)的，都在描述特定的一個(gè)邏輯關(guān)系．

４ 緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)揮知識(shí)功能

４.１ 為知識(shí)梳理提供方法，建構(gòu)學(xué)生知識(shí)體系

充分、必要條件知識(shí)貫穿整個(gè)高中乃至以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對(duì)建構(gòu)學(xué)生的知識(shí)體系有重大意義．德國(guó)數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)就是研究千變?nèi)f化中不變的規(guī)律．課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)把“常用邏輯用語(yǔ)”等單獨(dú)列為一個(gè)主題，作為高中數(shù)學(xué)的預(yù)備知識(shí)，這有利于初中、高中的平穩(wěn)過(guò)渡，知道數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件;每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件;每一個(gè)定義都給出了結(jié)論成立的充要條件．讓學(xué)生深度理解充分條件、必要條件、充要條件、判定定理、性質(zhì)定理、定義之間的關(guān)系．利用充分、必要條件知識(shí)對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，有利于學(xué)生站在更高的視角理解數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．

４.２ 為解題提供思路，提升學(xué)生思維邏輯

１）分析法與充分條件

分析法是數(shù)學(xué)證明中常用的方法，其特點(diǎn)是執(zhí)果索因．從充分、必要條件知識(shí)來(lái)看，這種方法的本質(zhì)是從結(jié)論出發(fā)，然后一步步得到前一個(gè)結(jié)論成立所具備的充分條件或充要條件，直到歸結(jié)為命題的已知條件，或者歸結(jié)為定義、定理、公理等．

例１ 設(shè)a≥３，求證：

２）參數(shù)范圍問(wèn)題與充要條件

我們?cè)谝恍?dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題（如求參數(shù)的取值范圍）中，經(jīng)常采取迂回的策略———必要性探路的方法，得到參數(shù)的范圍，然后再證明充分性成立．

例２ （２０２３年全國(guó)甲卷理２３）已知函數(shù)

至此，我們通過(guò)三角恒等變形以及不等式放縮，采用必要性探路的方法找到a 所滿足的必要條件a≤３，完成了必要性探路，下面再去證明充分性成立，即當(dāng)a≤３時(shí)，f（x）＜sin２x 成立．

當(dāng)a≤３時(shí)，有

綜上，a 的取值范圍是（－∞，３]．

必要性探路策略能明晰解題路徑，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，是對(duì)充分、必要條件知識(shí)的靈活運(yùn)用，可以培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中，確定一個(gè)條件是否充分或必要是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)習(xí)充分、必要條件知識(shí)可以幫助學(xué)生更好地理解問(wèn)題，從而提高問(wèn)題解決的能力．

４.３ 為大概念獲取提供路徑，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

北京師范大學(xué)的郭華教授說(shuō)過(guò)：“所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程．”因此，利用充分、必要條件的功能可為大概念教學(xué)提供支撐．如“垂直”是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)核心概念，小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)有了兩直線垂直的意識(shí)，初中的平面幾何已給出判定兩直線垂直的方法，高中數(shù)學(xué)也有相關(guān)內(nèi)容，因此教師可以布置任務(wù)：如何利用充分、必要條件再次審視“垂直”這一概念呢？學(xué)生可以多角度深入思考高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的關(guān)于“垂直”的相關(guān)知識(shí)．

若從向量的角度，當(dāng)a，b 分別是直線a，b 的方向向量時(shí)，直線a⊥b 的充要條件是ab＝０;若從斜率的角度，當(dāng)直線a，b 的斜率分別為k１，k２ 時(shí)，k１k２＝－１是直線a⊥b 的充分條件;在立體幾何中，學(xué)生可以歸納出更多的內(nèi)容，如直線b?α，a⊥b 是a⊥α 的必要條件、{b⊥α，a∥b 是a⊥α 的充分條件等．綜上所述，關(guān)于“垂直”可以從向量的角度、斜率的角度和空間的角度來(lái)描述，這些方法不僅可以判斷兩條直線是否垂直，也可以為我們更好地提取大概念“垂直”創(chuàng)造條件，從而促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)．

４.４ 為新命題的發(fā)現(xiàn)提供視角，促進(jìn)知識(shí)自然生長(zhǎng)

瑞士心理學(xué)家皮亞杰是建構(gòu)主義理論的代表人物之一，他認(rèn)為學(xué)生通過(guò)對(duì)概念的理解、應(yīng)用，可以探索出新的知識(shí)，即知識(shí)是可以主動(dòng)構(gòu)建的．當(dāng)我們嘗試尋找新的數(shù)學(xué)命題或結(jié)論時(shí)，可以運(yùn)用充分、必要條件的思維方法，假設(shè)我們嘗試發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的某個(gè)性質(zhì)，可以找到充分條件來(lái)表達(dá)該性質(zhì)，也可以用必要條件來(lái)闡明在什么情況下不滿足該性質(zhì)．例如，函數(shù)y＝Asin（ωx＋θ）（A ＞０）取得最大值時(shí)x 的范圍的充分條件既可以表述為{x|ωx＋θ＝２kπ＋π／２，k∈Z}，也可以是過(guò)圖像最高點(diǎn)時(shí)x 的取值集合，即從數(shù)與形兩個(gè)方面闡述．再如，已知△ABC 的三邊分別是a，b，c，則△ABC 是等邊三角形的充要條件是a２ ＋b２＋c２＝ab＋ac＋bc．這類問(wèn)題可以為新命題的發(fā)現(xiàn)提供廣闊的視角，幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念促進(jìn)知識(shí)的生長(zhǎng)，養(yǎng)成從不同的視角探索數(shù)學(xué)奧秘的習(xí)慣．

?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版２０２０年修訂）?在實(shí)施建議中指出：“樹(shù)立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程．”數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，充分、必要條件是推理過(guò)程中的常用概念之一，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高他們的分析和解決問(wèn)題的能力有著重要意義．因此，從某種程度上可以說(shuō)，充分、必要條件是揭示邏輯推理的一個(gè)思維密碼．

本文系安徽省教育科學(xué)研究項(xiàng)目２０２３年度課題“‘教—學(xué)—評(píng)’一致性下的高中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)的應(yīng)用研究（課題編號(hào)：JK２３１５０）”的階段性成果．

（完）