摘要：地震疊前反演能夠準確獲取地下儲層介質(zhì)的各類參數(shù)，是油氣的勘探與開發(fā)中重要技術之一。然而，地震反演是典型的病態(tài)問題，為了克服此問題，通常使用正則化約束目標函數(shù)，來減輕反演問題的病態(tài)性。但是正則化約束忽略了地層邊界的振幅信息，使用重加權方法可以很好地克服這一問題，更好地恢復稀疏性。提出了一種基于重加權L1 的ATpV 正則化疊前三參數(shù)反演方法（ATpV–L1 方法），首次將重加權L1 方法與ATpV 方法結合，并引入到疊前反演中。采用交替方向乘子算法（ADMM）建立反演框架，對目標函數(shù)進行分塊優(yōu)化，有效提高了收斂速度。首先，介紹ATpV–L1 方法，建立了基于ATpV–L1 的疊前反演目標函數(shù)；然后，應用理論模擬數(shù)據(jù)對比新方法和ATpV 方法反演結果，驗證了方法的效果；最后，使用實際數(shù)據(jù)進行實驗分析，進一步驗證了ATpV–L1 方法的反演精度及可行性。實驗結果表明，提出的ATpV–L1 方法可以有效恢復反演結果的稀疏性，提高反演精度。

關鍵詞：重加權L1 方法；ATpV 正則化；疊前反演；稀疏約束；交替方向乘子法；誤差分析

引言

地震反演是獲取地下儲層物性、彈性及各向異性等參數(shù)的重要手段，在油氣勘探中發(fā)揮著重要作用。地震反演技術中，疊前反演是最有效的方法之一，可以通過疊前地震資料穩(wěn)定地反演出地層參數(shù)。

Zoeppritz 方程[1] 是疊前反演的基礎，該方程闡述了平面波入射到各向同性介質(zhì)中，彈性參數(shù)與反射系數(shù)、透射系數(shù)的關系。但由于其方程過于復雜，不便使用，廣大學者對其進行了近似處理。1985 年，Shuey[2] 重新推導了Zoeppritz 方程，將泊松比引入到反射系數(shù)表達式中。2003 年，Buland 等[3] 實現(xiàn)了基于貝葉斯框架的AVO 三參數(shù)反演。2008 年，毛寧波等[4] 基于Ruger 方程，研究了各向異性介質(zhì)中含氣砂巖的AVO 特征。2011 年，張廣智等[5] 研究了基于MCMC 的非線性AVO 反演方法。2012 年，宗兆云等[6] 在Aki amp; Richard 近似式的基礎上推導了YPD 近似方程，建立了縱波反射系數(shù)與楊氏模量反射系數(shù)、泊松比反射系數(shù)及密度反射系數(shù)的線性關系，提供了直接反演楊氏模量和泊松比的方法。2014 年，張廣智等[7] 在YPD 方程的基礎上推導了基于E （楊氏模量與密度的乘積）、泊松比和密度的縱波和轉換波反射系數(shù)近似方程，為直接反演提供了新的方法。2019 年，張瑞等[8] 通過楊氏模量以及泊松比和密度的關系，將密度項由楊氏模量和泊松比代替，提出了兩項式近似方程。2022 年，Ge 等[9]推導了基于楊氏模量和泊松比相關的新三屬性參數(shù)反射系數(shù)近似方程，對脆性指數(shù)進行了預測。

由于地震反演是典型的病態(tài)問題，具有不適定性。1943 年，Tikhonov 說明了該問題可以解決，并在1963 年提出了Tikhonov 正則化，該方法使用L2范數(shù)有力消除了Zoeppritz 方程反演引起的非線性和不穩(wěn)定性的缺陷[10]。但是其會對反演結果施加均勻的光滑約束，模糊一些傾角較大的地層，不能保持間斷的地質(zhì)結構，難以獲取邊界特征。廣大學者進行了不斷的探索，提出了各種正則化方法，并有很多地球物理學者將正則化應用到地震勘探當中。1992 年，Rudin 等[11] 提出了總變分（TV）正則化，并應用到圖像去噪中，它可以通過L1 范數(shù)表示差分的稀疏信息，使用待反演參數(shù)梯度的L1范數(shù)約束，保護模型參數(shù)的不連續(xù)特征。2010 年，Wang[12] 提出了一種基于L1 正則化的波阻抗反演方法。2014 年，Zhang 等[13] 提出了一種基于TV 正則化的稀疏波阻抗反演方法。2015 年，Liu 等[14] 提出了一種具有L1 正則化的波阻抗反演方法，該方法對噪聲具有魯棒性。2015 年，Gholami[15] 建立了二維TV 正則化，用各向同性總變分（ITV）正則化來表示稀疏性，并證明其結果優(yōu)于TV 正則化。2016年，Gholami[16] 基于TV 正則化提出了一種多通道盲反演方法。2018 年，Wang 等[17] 將各向異性總變分（ATV）正則化引入到地震波阻抗反演中，ATV 正則化比TV 正則化更適合反演具有尖銳界面的阻抗，可以獲得更高精度的反演結果。在圖像處理領域，Woodworth 等[18] 研究表明，使用Lp 范數(shù)可以獲得比L1 范數(shù)更優(yōu)的解[19]。2018 年，Li 等[20] 將基于Lp 范數(shù)的各向異性總變分正則化（ATpV）引入到波阻抗反演中，使得反演誤差更小，改進了反演結果。2019 年，Chen 等[21] 使用Lp 范數(shù)表示反射系數(shù)，并發(fā)現(xiàn)Lp 范數(shù)比L1 范數(shù)更能提高精度。2020 年，Wu 等[22] 在基于ATpV 的波阻抗反演中引入了混合二階分數(shù)各向異性總變分正則化（MS-FATpV），該方法減少了多重性，提高了反演精度。2021 年，Liu等[23] 提出了混合總變分（HTV）正則化，改進了傳統(tǒng)TV 正則化，克服了傳統(tǒng)TV 正則化的階梯效應，并使得正則化參數(shù)更易設置，在反演中取得了更好的效果。目前，地震反演中常使用正則化方法對其進行近似求解，減輕問題的病態(tài)性，有效降低了反演的不確定性，提高地震反演的穩(wěn)定性。

為了稀疏性得到更好的恢復，2007 年，Candes等[24] 提出了重加權L1 方法以及權重迭代公式，更好地懲罰非零系數(shù)。2012 年，Rusu 等[25] 基于重加權L1 算法，描述了一種在極大極小意義下設計一維和二維稀疏濾波器的新方法。2015 年，Ma 等[26]使用重加權L1 極小化為層析SAR 成像增強了稀疏性，并利用增強的稀疏層析識別散射體。2021 年，宋昱等[27] 基于重加權L1 算法，提出了一種新的邊緣保持圖像平滑算法。2022 年，He 等[28] 提出了一種基于加權L1 范數(shù)稀疏約束的阻抗反演方法，有助于反演獲得更精確的阻抗邊界，改善稀疏性，減弱偽層現(xiàn)象。重加權L1 算法通過權值約束正則化項，權重因子會消除正則化范數(shù)項振幅對稀疏性的影響，使得結果比沒有加權時具有更好的稀疏性。該算法在統(tǒng)計估計、誤差校正和圖像處理等領域有廣泛的適用性。