動(dòng)態(tài)問題一直是中考的熱門考點(diǎn)，很多同學(xué)難以抓住其中的關(guān)鍵條件和時(shí)間節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致多解、漏解或錯(cuò)解。下面，我們將借助數(shù)軸來幫助大家厘清時(shí)間點(diǎn)，尋找解決動(dòng)態(tài)問題的方法。

如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊向終點(diǎn)A以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C→B→A向終點(diǎn)A以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。解答下列問題：

（1）當(dāng)Q在BC邊時(shí)：

①當(dāng)t為幾秒時(shí)，PQ的長為[22]cm？

②連接AQ，當(dāng)t為幾秒時(shí)，△APQ的面積等于16cm2？

（2）如圖2，以P為圓心，PQ為半徑作⊙P，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t值，使⊙P正好與△ABD的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

第（1）問的兩個(gè)問題，雖然難度不大，但是依舊有部分同學(xué)答錯(cuò)：

（1）①當(dāng)t為2或[145]秒時(shí)，PQ的長為[22]cm。

②當(dāng)t為[23]或8秒時(shí)，△APQ的面積等于16cm2。

我們?nèi)绻麑忣}仔細(xì)一點(diǎn)，不難從“P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)”中分析出t的取值范圍是0≤t≤[83]。因此，①應(yīng)取t=2，②應(yīng)取t=[23]。

第（2）問的分類情況讓動(dòng)態(tài)過程顯得更為復(fù)雜。我們可以找出關(guān)鍵時(shí)間節(jié)點(diǎn)，將它們?cè)跀?shù)軸上標(biāo)記出來（如圖3），然后在每個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)進(jìn)行討論。

解：（2）①當(dāng)0≤t≤[83]時(shí)，BP=t，BQ=8-3t。在Rt△BPQ中，由勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2，PQ2=t2+（8-3t）2。若⊙P與△ABD的邊AD相切，則AP=PQ，即AP2=PQ2。所以（6-t）2=t2+（8-3t）2。解得t1=[6+223]（舍去），t2=[6-223]。

②當(dāng)[83]＜t≤4時(shí)，點(diǎn)Q在AB邊上且在P右邊時(shí)，PQ=8-2t。

若⊙P與邊DB相切，如圖4，則∠PKB=90°，PK=PQ=8-2t?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠BAD=90°=∠PKB，AD=BC=8?！郆D=[AB2+AD2]=[62+82]=10?！摺螾BK=∠DBA，∴△PBK∽△DBA?！郲PKAD]=[PBBD]，即[8-2t8]=[t10]。解得t=[207]。

若⊙P與邊AD相切，如圖5，則PA=PQ?！?-t=t-（3t-8）。解得t=2。當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)Q在BC邊上，故舍去。

③當(dāng)4＜t≤[143]時(shí)，點(diǎn)Q在AB邊上，且在點(diǎn)P左側(cè)，PQ=2t-8。

若⊙P與邊DB相切，如圖6，PQ=PK。由等積法得[12]BD·PK=[12]BP·AD，所以10×（2t-8）=8t。解得t=[203]（舍去）。

若⊙P與AD相切，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中的Q點(diǎn)先到A點(diǎn)時(shí)，如圖7，此時(shí)t=[143]?！唷裀的半徑為6[-143]=[43]。

綜上，時(shí)間為[6-223]或[207]或[143]秒時(shí)，⊙P正好與△ABD的一邊（或邊所在的直線）相切。

（作者單位：江蘇省泗陽縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）