概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的一種度量。概率越大，表明事件發(fā)生的可能性越大，但并不能保證事件一定發(fā)生。如何知道一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率呢？

一、利用頻率估計(jì)概率

在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果重復(fù)次數(shù)足夠大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并趨于穩(wěn)定，我們把這種現(xiàn)象稱為頻率的穩(wěn)定性，并且用這個(gè)頻率的穩(wěn)定值作為相關(guān)隨機(jī)事件的概率。

某種綠豆在相同條件下發(fā)芽試驗(yàn)的結(jié)果如下：

[每批粒數(shù)

n 發(fā)芽的頻數(shù)

m 發(fā)芽的頻率[mn]

（精確到0.001） 2 2 1.000 5 4 0.800 10 9 0.900 50 44 0.880 100 92 0.920 500 463 0.926 1000 928 0.928 1500 1396 0.931 2000 1866 0.933 3000 2794 0.931 ]

這種綠豆發(fā)芽的概率的估計(jì)值為 （精確到0.01）。

【解析】隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，綠豆發(fā)芽的頻率越來越穩(wěn)定在0.93左右，所以估計(jì)這種綠豆發(fā)芽的概率是0.93。

二、利用公式計(jì)算概率

如果一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m個(gè)結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí)，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=[事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)]=[mn]。因此，

用公式計(jì)算一個(gè)隨機(jī)事件的概率，其前提是這個(gè)事件是一個(gè)等可能事件，解決問題的關(guān)鍵是通過列舉法（如列表、畫樹狀圖等）找到該隨機(jī)事件包含的所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果。關(guān)于列舉法，列表、畫樹狀圖是兩種常用的辦法，但并不局限于此，只要能不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果即可。摸球試驗(yàn)便是此類問題的典型模型：

不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別。

（1）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球。求兩次摸出的球都是紅球的概率。

（2）從袋子中摸出1個(gè)球，如果是紅球，不放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果是白球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球。兩次摸出的球是白球的概率是 。

【解析】（1）列表格或畫樹狀圖分析（過程略，請(qǐng)同學(xué)們自己試一試）。由表格或樹狀圖可知：一共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球都是紅球的結(jié)果有4種，所以兩次摸出的球都是紅球的概率為[49]。（2）第一次摸出白球的概率為[13]，第二次摸出白球的概率也為[13]，求兩次摸出的球都是白球的概率，可以理解成：第一次取單位“1”的[13]，第二次再取“[13]”的[13]，所以兩次摸出的球都是白球的概率為[13]×[13]=[19]。故答案為[19]。

對(duì)于上述第（2）問中，求兩次摸出的球都是白球的概率，很多同學(xué)會(huì)犯一種錯(cuò)誤，就是畫樹狀圖或列表解答，發(fā)現(xiàn)一共有7種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球都是白球的結(jié)果有1種，從而得到答案“兩次摸出的球都是白球的概率為[17]”。這種錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，是沒有抓住用公式求概率的前提條件，“所含的所有結(jié)果必須是等可能的”。

在這個(gè)問題中，第一步操作“從3個(gè)球中摸出1個(gè)球”得到3種結(jié)果，這是等可能的；但是在第二步操作中，如果第一次摸到的是紅球，不放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球，那么第二次摸球的時(shí)候袋中有2個(gè)球；如果第一次摸到的是白球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球，那么第二次摸球的時(shí)候袋中有3個(gè)球。也就是說，第一次摸球得到的“3種結(jié)果”是等可能的，但第二次摸球分別得到“2種結(jié)果”“2種結(jié)果”“3種結(jié)果”，共“7種結(jié)果”，不是等可能的。

因此，要得到正確答案，需要將它們轉(zhuǎn)化成“等可能”的，即將第二次摸球的結(jié)果都理解成有“3種等可能的結(jié)果”，共有“9種等可能的結(jié)果”，其中兩次摸出的球都是白球的結(jié)果有1種，從而得到兩次摸出的球都是白球的概率為[19]。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）