在初中的概率知識中，我們主要接觸到的概率模型是“摸球模型”和“幾何概型”，拋硬幣、擲骰子均屬于“摸球模型”。掌握“摸球模型”是學好概率的基礎，我們先回顧教材上的內容。

一、教材分析【源自蘇科版數(shù)學教材九（上）136頁—139頁】

例題 一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球。求兩次都摸到紅球的概率。

練習 一只不透明的袋子中裝有1個紅球和1個白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球。求兩次摸到的球顏色相同的概率。

習題 一只不透明的袋子中裝有2個白球和1個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球。求兩次都摸到紅球的概率。

【思路分析】例題、練習、習題都是“從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球”，涉及兩個因素，可以使用“列表格”或“畫樹狀圖”求概率。但要注意例題中的2個紅球是相互獨立的，習題中的2個白球也是相互獨立的。

【規(guī)律總結】當一次試驗涉及兩個步驟時，可以用“列表法”或“畫樹狀圖法”不重復、不遺漏地列出所有等可能的結果。當出現(xiàn)的結果數(shù)較多時，通常用列表法；當一次試驗涉及3個或3個以上步驟時，就只能用樹狀圖列出所有結果了。

二、問題變式

在一個不透明的箱子里放有除顏色外其余都相同的3個小球，其中紅球2個、白球1個。

（1）攪勻后，從中隨機摸出1個球，然后不放回，再隨機摸出1個球，求兩次都摸出紅球的概率。

（2）攪勻后，甲、乙、丙三人依次按順序從中任意摸出1個球（摸出的球不放回），甲、乙、丙3人摸到白球的概率相同嗎？為什么？

【思路分析】在變式問題中，要注意條件的變化對事件概率的影響。對于第（1）問，當摸球后不放回時，因同一個球不能被摸到兩次，所以列表時對角線上的結果就不存在了，可用線段劃去：

[ 白 紅1 紅2 白 （白，紅1） （白，紅2） 紅1 （紅1，白） （紅1，紅2） 紅2 （紅2，白） （紅2，紅1） ][果][第二次

摸球][第一次

摸球] [結]

如果選擇畫樹狀圖，則不放回時，第一步有3個分叉，而第二步只有2個分叉：

由表或圖可知，共有6種等可能的結果，兩次都摸出紅球的結果有2種，所以兩次都摸出紅球的概率為[26]=[13]。

對于第（2）問，3次摸球問題，要用樹狀圖列出結果：

由圖可知：甲共有3種等可能的結果，其中摸到白球的結果數(shù)為1，所以P（甲摸到白球）=[13]；

乙共有6種等可能的結果數(shù)，其中摸到白球的結果數(shù)為2，所以P（乙摸到白球）=[26]=[13]；

丙共有6種等可能的結果數(shù)，其中摸到白球的結果數(shù)為2，所以P（丙摸到白球）=[26]=[13]。

所以甲、乙、丙3人摸到白球的概率相同。

教材上的題目具有一定的代表性，所以同學們要認真研讀，從不同角度思考，并且要時常“變題”剖析、延伸拓展，做到舉一反三，這樣才能真正理解這些知識。

（作者單位：江蘇省常州市武進區(qū)湖塘實驗中學）