三角形的外心和內(nèi)心與軸對(duì)稱(chēng)圖形、三角形、圓等都有一定的知識(shí)聯(lián)系，加上近年來(lái)比較熱點(diǎn)的“用無(wú)刻度直尺畫(huà)圖”與之也聯(lián)系甚密，成為初中數(shù)學(xué)考試中的高頻考點(diǎn)，引起了數(shù)學(xué)教師的高度重視。在初中階段，教學(xué)三角形的外心和內(nèi)心時(shí)，必須抓住它們的本質(zhì)和來(lái)源，注重靈活運(yùn)用其他與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，采用變式的手段，加深學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念的理解。

一、確定三角形的外心和內(nèi)心

依據(jù)三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，可以確定三角形的外心和內(nèi)心。

（一）作圖確定三角形的外心和內(nèi)心

1.外心

作三角形兩邊的垂直平分線，其交點(diǎn)就是三角形的外心。如圖1所示，在△ABC中，分別作BC、AB的垂直平分線PQ、MN，PQ與MN交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O就是△ABC的外心。

2.內(nèi)心

作三角形兩個(gè)內(nèi)角的平分線，其交點(diǎn)就是三角形的內(nèi)心。如圖2所示，在△ABC中，分別作∠ABC、∠ACB的平分線BD和CE，BD與CE交于點(diǎn)I。則點(diǎn)I就是△ABC的內(nèi)心。（二）借助網(wǎng)格圖找三角形的外心和內(nèi)心

1.外心

（1）利用兩邊的垂直平分線的原理作出外心。

例1.如圖3所示，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，2）、B（1，3）、C（3，3），僅用無(wú)刻度的直尺作出外心的位置。外心的坐標(biāo)為_(kāi)______。

分析：BC的垂直平分線就是直線x=2;A（0，2）、B（1、3）兩點(diǎn)恰好在一個(gè)網(wǎng)格正方形的對(duì)角上，線段AB的垂直平分線為直線y=-x+3。用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出來(lái)，兩條直線交于點(diǎn)O，則0點(diǎn)就是外心，其坐標(biāo)為（2，1），如圖4所示。

（2）利用外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等作出外心。

例2.如圖5所示，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1）、B（7，3）、C（3，5）。在圖中找出△ABC外心D的位置。

2.內(nèi)心

（1）在網(wǎng)格圖中，依據(jù)內(nèi)心是角平分線的交戰(zhàn)，構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形，作出角平分線，從而作出三角形的內(nèi)心。

例3.如圖7所示，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（6，8）、B（0，5）、C（10，0）。在圖中找出△ABC內(nèi)心，的位置。

分析：在圖中構(gòu)造格點(diǎn)△BDE，根據(jù)三線合一得到∠ABC的平分線；為了畫(huà)∠ACB的平分線，構(gòu)造一個(gè)格點(diǎn)四邊形CGHF，這個(gè)四邊形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，連接CH并延長(zhǎng)便得到∠ACB的平分線。兩條角平分線的交點(diǎn)就是△ABC內(nèi)心，的位置，I點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，5），如圖8所示。

（2）在網(wǎng)格圖中，依據(jù)內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，結(jié)合等弧所對(duì)的圓周角相等，作出角平分線，從而作出三角形的內(nèi)心。

例4.圖9是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，△ABC為⊙O內(nèi)接三角形，A、B、C均在格點(diǎn)上。僅用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出△ABC的內(nèi)心I。

分析：在圖中可以直接找到一個(gè)含有頂點(diǎn)C的格點(diǎn)等腰三角形，所以可以輕松地畫(huà)出∠ACB的平分線CD；可是要畫(huà)∠BAC或∠ABC的平分線就存在很大的困難了。需要先找出△ABC的外心O，再找出弦AC的中點(diǎn)M，連接OM并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則BE為∠ABC的平分線。CD與BE的交點(diǎn)即為△ABC的內(nèi)心I，如圖10所示。

二、求三角形外接圓的半徑

（一）直角三角形

直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，所以直角三角形的外接圓的半徑就是斜邊的一半。

（二）等腰三角形

等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，等腰三角形的外心在其頂角的平分線上。構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可求出外接圓的半徑。

例5.如圖11所示，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm。求△ABC外接圓的半徑。

分析：等腰三角形外心在頂角平分線上，作出頂角平分線AD，則AD是等腰△ABC底邊BC的中線，同時(shí)也是高。則BD=5cm，可算出AD=12cm。當(dāng)OA=OB=r時(shí)，易得r=169/24。

對(duì)于一般的三角形，求其外接圓半徑時(shí)，先畫(huà)出其外接圓，如圖13所示，然后利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，畫(huà)出直徑，構(gòu)造直角三角形。將原三角形一邊和它的對(duì)角轉(zhuǎn)化為直角三角形的一對(duì)邊和角，利用三角函數(shù)求外接圓的半徑。

例6.如圖13所示，已知：△ABC中，AB=13cm.BC=15cm.AC=14cm。求△ABC外接圓的半徑。

（二）一般三角形

給出一個(gè)三角形的三邊，先求出一邊上的高，計(jì)算出該三角形的面積，然后利用面積法求出三角形內(nèi)切圓的半徑。