摘 要：鑒于狼群算法在單目標(biāo)優(yōu)化問題上的優(yōu)越表現(xiàn)，結(jié)合狼群的生物習(xí)性將其運(yùn)用到多目標(biāo)優(yōu)化問題上，提出一種精英引導(dǎo)和信息交互的多目標(biāo)狼群算法（MOWPA-EGII）。首先，提出精英引導(dǎo)策略，利用外部檔案中的精英狼和當(dāng)前子種群的頭狼共同引導(dǎo)種群移動(dòng)，讓人工狼均勻地分布在整個(gè)搜索空間，增強(qiáng)算法的全局搜索能力；其次，設(shè)計(jì)信息交互機(jī)制，模擬狼群捕獵過程中的信息傳遞，具有不同優(yōu)勢(shì)的個(gè)體可以相互傳遞信息，保證狼群的捕獵效率，提高算法勘探Pareto最優(yōu)解的能力；最后，加入變異算子，擾動(dòng)人工狼的移動(dòng)方向，讓算法跳出局部最優(yōu)，增強(qiáng)算法的局部搜索能力。為了驗(yàn)證MOWPA-EGII的有效性，將其與5種經(jīng)典算法和10種新近算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明MOWPA-EGII擁有良好的收斂性和多樣性，證明了所提算法具有較好的優(yōu)化性能。

關(guān)鍵詞：狼群算法； 多目標(biāo)優(yōu)化； 精英引導(dǎo)； 信息交互； 變異算子

中圖分類號(hào)：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2024）08-022-2404-08

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.12.0587

Multi-objective wolf pack algorithm with elite guidance and information interaction

Chen Fujun1a，1b， Wu Runxiu1a，1b， Xiao Renbin2， Wang Hui1a，1b， Zhao Jia1a，1b

（1. a.School of Information Engineering， b.Nanchang Key Laboratory of IoT Perception & Collaborative Computing for Smart City， Nanchang Institute of Technology， Nanchang 330099， China; 2.School of Artificial Intelligence & Automation， Huazhong University of Science & Techno-logy， Wuhan 430074， China）

Abstract：In consideration of the superior performance of the wolf pack algorithm on single-objective optimization problems， combining with the biological habits of wolves to apply it to multi-objective optimization problems， this paper proposed a multi-objective wolf pack algorithm with elite guidance and information interaction（MOWPA-EGII） . Firstly， MOWPA-EGII proposed an elite guidance strategy， using the elite wolf in the external file and the head wolf of the current sub-population to jointly guide the population movement， so that the artificial wolves uniformly distributed in the whole search space， and the strategy enhanced the global search ability of the algorithm; Secondly， it designed the information interaction mechanism to simulate the information transfer in the wolf hunting process， so that individuals with different advantages could transfer information to each other to ensure the hunting efficiency of the wolves and improved the ability of the algorithm to explore the optimal solution of the Pareto; Finally， it added the mutation operator to perturb the moving direction of the artificial wolves， so as to let the algorithm jump out of the local optimum and enhance the local search ability of the algorithm. In order to verify the effectiveness of MOWPA-EGII， comparing it with 5 classical algorithms and 10 recent algorithms， and the results show that MOWPA-EGII possesses good convergence and diversity， which proves that the present algorithm has a better optimization performance.

Key words：wolf pack algorithm; multi-objective optimization; elite guidance; information interaction; variational operator

0 引言

目前工程應(yīng)用中存在大量需要同時(shí)優(yōu)化多個(gè)目標(biāo)的問題，這些問題被稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題（multi-objective optimization problem，MOP）［1］。MOP中不同的目標(biāo)之間相互沖突或競(jìng)爭(zhēng)，即改善一個(gè)目標(biāo)會(huì)導(dǎo)致其余的幾個(gè)目標(biāo)退化，這使得難以找到全局最優(yōu)解。因此，需要對(duì)各個(gè)目標(biāo)進(jìn)行權(quán)衡，找到一組非劣解的集合，即Pareto最優(yōu)解集［2］。

在處理多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)，盡管有混合整數(shù)線性規(guī)劃法、ε約束法和凸優(yōu)化法等［3］，但這些方法通常需要目標(biāo)函數(shù)滿足一些特定的條件，而且這些數(shù)學(xué)優(yōu)化方法面對(duì)復(fù)雜MOP時(shí)往往無法建立精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即使建立了精確表達(dá)式計(jì)算的代價(jià)也十分昂貴。為了解決這類問題，出現(xiàn)了許多受生物啟發(fā)的多目標(biāo)進(jìn)化算法（multi-objective evolutionary algorithm，MOEA）［4］。Coello等人［5］提出多目標(biāo)粒子群算法（multi-objective particle swarm optimization，MOPSO），通過不斷更新粒子的速度和位置以及最優(yōu)解的信息，尋找Pareto最優(yōu)解集，從而解決多目標(biāo)優(yōu)化問題。Hedayatzadeh等人［6］提出多目標(biāo)人工蜂群算法（multi-objective artificial bee colony，MOABC），模擬蜜蜂的搜索和交流行為，將優(yōu)秀的解信息傳遞給其他個(gè)體，使整個(gè)種群逐步向全局最優(yōu)解靠近。Cheng等人［7］提出一種基于分解的多目標(biāo)蟻群算法（multi-objective ant colony optimization based on decomposition，MoACO/D），利用切比雪夫法將一個(gè)大問題分解為多個(gè)子問題，并將蟻群分解為多個(gè)重疊的子種群，每個(gè)子種群分別對(duì)應(yīng)一個(gè)子問題進(jìn)行尋優(yōu)，同時(shí)維護(hù)聚合信息素軌跡和聚合啟發(fā)式矩陣。Deb等人［8］提出基于參考點(diǎn)的非支配排序方法的多目標(biāo)進(jìn)化優(yōu)化算法（evolutionary many-objective optimization algorithm using reference point based nondominated sorting approach，NSGA-Ⅲ），利用參考點(diǎn)引導(dǎo)非支配個(gè)體尋優(yōu)，更好地反映個(gè)體在多目標(biāo)函數(shù)下的性能，并使用快速非支配排序和特殊擁擠度距離來維護(hù)種群的多樣性。Yang等人［9］提出了多目標(biāo)螢火蟲算法（multi-objective firefly algorithm，MOFA），模擬自然界中螢火蟲的發(fā)光行為和相互作用，通過優(yōu)化搜索過程來搜索多個(gè)目標(biāo)解的集合。Mirjalili等人［10］提出了多目標(biāo)灰狼算法（multi-objective grey wolf optimizer，MOGWO），模擬灰狼群體的追逐和領(lǐng)導(dǎo)行為，將問題的解空間映射為灰狼個(gè)體的搜索空間，領(lǐng)導(dǎo)者引領(lǐng)狼群進(jìn)行位置更新，尋找Pareto最優(yōu)解。這些經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化算法，因其創(chuàng)造性設(shè)計(jì)和優(yōu)異性能在多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域穩(wěn)步發(fā)展，為解決工程中的MOP提供了很多思路，也激勵(lì)了新算法的誕生。

吳虎勝等人［11］通過分析狼群的捕獵與分工，提出了一種新的狼群算法（wolf pack algorithm，WPA）。該算法由于在全局搜索和局部開發(fā)上具有較強(qiáng)的能力，被廣泛應(yīng)用于各種工程實(shí)踐。如：張鴻運(yùn)等人［12］利用狼群算法解決多無人機(jī)協(xié)同任務(wù)規(guī)劃問題；徐祐民等人［13］利用狼群算法優(yōu)化支持向量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；She等人［14］利用改進(jìn)的狼群算法提高求解高度非線性黑箱函數(shù)結(jié)構(gòu)可靠度問題的精度和效率；賈光耀等人［15］利用改進(jìn)的狼群算法提出一種交通子區(qū)邊界控制方案。此外還應(yīng)用于最大熵圖像分割問題、路徑規(guī)劃問題和船舶避碰問題等。上述算法在各自的工程應(yīng)用中都取得了較好的優(yōu)化結(jié)果，充分體現(xiàn)了狼群算法較好的全局收斂性和計(jì)算魯棒性，以及在函數(shù)優(yōu)化領(lǐng)域表現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景。雖然狼群算法在處理單目標(biāo)優(yōu)化問題上的發(fā)展與應(yīng)用非常成熟，但在處理多目標(biāo)優(yōu)化問題上卻很少表現(xiàn)。鑒于狼群算法在單目標(biāo)優(yōu)化問題上的突出表現(xiàn)，它在多目標(biāo)優(yōu)化問題上豐富與發(fā)展就非常有意義，于是有學(xué)者將狼群算法應(yīng)用到多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域中。如：荀洪凱等人［16］提出一種多目標(biāo)啟發(fā)式狼群算法用于解決不相關(guān)并行機(jī)分批調(diào)度問題；陶翼飛等人［17］將多目標(biāo)狼群算法應(yīng)用于機(jī)場(chǎng)行李導(dǎo)入問題；李小川等人［18］提出了一種文化狼群算法用于解決多目標(biāo)帶時(shí)間窗的車輛路徑問題。上述算法為狼群算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題提供了解決方案，優(yōu)化結(jié)果較好，但它們都是用于解決離散問題，并不能用于解決連續(xù)優(yōu)化問題。為此，對(duì)于狼群算法在多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題上的應(yīng)用，本文結(jié)合狼群的生物習(xí)性提出一種精英引導(dǎo)和信息交互的多目標(biāo)狼群算法（multi-objective wolf pack algorithm based on elite guidance and information interaction，MOWPA-EGII）。MOWPA-EGII具有如下特點(diǎn)：a）精英引導(dǎo)［19］策略，子種群中的頭狼和檔案中的精英狼共同引導(dǎo)人工狼，可以擴(kuò)大種群搜索范圍，防止算法陷入局部最優(yōu)；b）信息交互機(jī)制，模擬捕獵過程中的信息傳遞，人工狼之間進(jìn)行信息交互，讓優(yōu)良信息在種群中傳遞，保證算法搜索效率的同時(shí)維持種群多樣性；c）變異算子［20］，前期可以減弱人工狼對(duì)頭狼的盲目跟從，后期增強(qiáng)算法的局部搜索能力。在上述三種策略的相互作用下，避免了算法在尋優(yōu)過程中陷入局部最優(yōu)，增強(qiáng)了算法的勘探能力，提高了算法的收斂性和分布性。

1 相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題

對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)決策變量和m個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，以最小化問題為例，可建立多目標(biāo)優(yōu)化問題的模型：

min y=F（x）=（f1（x），f2（x），…，fm（x））

s.t.gi（X）≤0 i=1，…，p

hj（X）=0 j=1，…，q

x=（x1，x2，…，xn）∈X∈Rny=（y1，y2，…，ym）∈Y∈Rm（1）

其中：x表示決策向量;X表示n維決策空間;y表示目標(biāo)向量，Y表示m維目標(biāo)空間;g*（X）表示有p個(gè)不等式約束;h（X）表示有q個(gè)等式約束。對(duì)于xi，xj∈X，若xj的目標(biāo)函數(shù)都不大于且至少存在一個(gè)小于xi的目標(biāo)函數(shù)，則xi Pareto支配xj，記為xixj。若x*∈X且x*不受任意個(gè)體xi支配，則稱x*為非支配個(gè)體。決策空間中所有非支配個(gè)體的集合稱為Pareto最優(yōu)解集（Pareto set，PS），該解集構(gòu)成目標(biāo)空間中的Pareto前沿（Pareto front，PF）。

1.2 狼群算法

狼群算法是模擬自然界中狼群捕食行為而提出的一種新的群智能算法。該算法模擬狼群捕獵并抽象出三種行為：游走行為、召喚行為和圍攻行為。狼群中有明確的分工，探狼負(fù)責(zé)游走探尋獵物，猛狼負(fù)責(zé)圍攻捕獵，頭狼負(fù)責(zé)決策指揮。按照“強(qiáng)者生存”的機(jī)制，保證種群的生存與發(fā)展。

WPA的規(guī)則和行為描述如下：

a）頭狼產(chǎn)生規(guī)則：將目標(biāo)空間中適應(yīng)度值最優(yōu)的人工狼視為頭狼。頭狼不參與人工狼的捕食行為，直至更加優(yōu)秀的人工狼取代它。若存在適應(yīng)度值相同的頭狼則隨機(jī)選擇一匹人工狼為頭狼。

b）游走行為：探狼i在解空間Xi=（x1，x2，x3，…，xN）中進(jìn)行游走，選擇其探索的h個(gè)方向中獵物氣味濃度Yip最大的方向前進(jìn)，重復(fù)游走行為，直至探狼i感知的氣味濃度Yi優(yōu)于頭狼Ylead，或者游走次數(shù)T>Tmax。探狼i的游走位置更新公式如下：

xpid=xid+stepda×sin（2π×p/h）（2）

其中：xid為探狼i在d（d=1，2，3，…，D）為空間中的初始位置，stepda為游走步長(zhǎng)，h∈［hmin，hmax］且為整數(shù)，p（p=1，2，3，…，h），xpid為第p個(gè)方向上的空間位置。

c）召喚行為：游走之后，頭狼會(huì)召喚N-S-1匹猛狼，猛狼i收到頭狼的召喚會(huì)迅速按照向頭狼奔襲。猛狼i的奔襲公式如下：

xk+1id=xkid+stepdb×gkd-xkid|gkd-xkid|（3）

其中：xkid為猛狼i在第k次迭代時(shí)的空間位置；gkd為第k次迭代頭狼的空間位置；stepdb為奔襲步長(zhǎng)。

在奔襲的過程中，猛狼i若未能取代頭狼，則會(huì)繼續(xù)奔襲，直至它們之間的距離d<dnear，此時(shí)轉(zhuǎn)入圍攻行為。頭狼與猛狼之間的距離判定如下：

dnear=1D·ω·∑Dd=1|maxd-mind|（4）

其中：ω為距離判定因子;mind和maxd為第d個(gè)維度變量的下界和上界。

d）圍攻行為：在頭狼召喚，猛狼奔襲后，把頭狼位置視為獵物位置，狼群進(jìn)行捕獵。圍攻的位置更新公式如下：

xk+1id=xkid+λ×stepdc×|gkd-xkid|（5）

其中：λ∈［-1，1］的隨機(jī)數(shù);stepdc為人工狼的圍攻步長(zhǎng)。

e）三種步長(zhǎng)之間的關(guān)系：探狼的游走步長(zhǎng)stepda、猛狼的奔襲步長(zhǎng)stepdb以及人工狼的攻擊步長(zhǎng)stepdc，在d為空間中的關(guān)系如下：

stepda=stepdb2=2×stepdc=|maxd-mind|S（6）

其中：S為步長(zhǎng)因子，表示人工狼在搜尋獵物過程的精細(xì)程度。

f）更新機(jī)制：采用“強(qiáng)者生存”的更新機(jī)制，保證種群的生存與發(fā)展。將適應(yīng)度值較差的R匹人工狼進(jìn)行淘汰，然后再隨機(jī)生成R匹人工狼，其中，R∈［N/2γ，N/γ］且為整數(shù)，γ為種群的更新比例因子。

2 精英引導(dǎo)和信息交互的多目標(biāo)狼群算法

WPA雖然在單目標(biāo)優(yōu)化問題上表現(xiàn)出良好的收斂性和計(jì)算魯棒性，但應(yīng)用于求解多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)還存在如下問題：a）人工狼和頭狼易出現(xiàn)聚集現(xiàn)象；由于WPA本質(zhì)是頭狼引導(dǎo)人工狼朝其所在的方向進(jìn)行搜索，在求解多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)人工狼和頭狼易聚集在某一區(qū)域，使算法陷入局部最優(yōu)；b）種群中的優(yōu)良信息易流失；WPA在狼群捕獵過程中未涉及內(nèi)部的信息交互，易使種群中的優(yōu)良信息無法傳遞，最終導(dǎo)致種群優(yōu)良信息流失和多樣性較差；c）種群進(jìn)化停滯；隨著種群的不斷進(jìn)化，個(gè)體之間的差異逐漸變小，使得種群進(jìn)化停滯。針對(duì)上述問題，本文提出一種精英引導(dǎo)和信息交互的多目標(biāo)狼群算法（MOWPA-EGII）。

2.1 精英引導(dǎo)策略

WPA中人工狼會(huì)向當(dāng)前種群的頭狼學(xué)習(xí)，在求解單目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)，這種學(xué)習(xí)方式會(huì)加速算法收斂，快速尋找到最優(yōu)解，但在求解多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)，種群的快速收斂往往會(huì)導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)，出現(xiàn)人工狼和頭狼聚集現(xiàn)象，即問題a）。通過分析發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)這種聚集現(xiàn)象是由于WPA在執(zhí)行圍攻行為和召喚行為后人工狼總會(huì)直線朝頭狼所在方向移動(dòng)，最終導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)。針對(duì)于此，提出一種精英引導(dǎo)策略：首先，種群通過快速非支配排序［21］選出非支配等級(jí)為1的人工狼為頭狼，將頭狼所支配的人工狼劃分為一個(gè)子種群，面對(duì)多匹頭狼支配同一人工狼問題，按照歐氏距離就近分配；其次，引入外部檔案，讓外部檔案中的精英狼和當(dāng)前子種群的頭狼共同引導(dǎo)狼群前進(jìn)捕獵，讓狼群前期均勻分布在搜索空間，防止產(chǎn)生聚集現(xiàn)象，增強(qiáng)算法的全局搜索能力。經(jīng)過精英引導(dǎo)策略改進(jìn)后，召喚行為中式（3）更新為

xk+1id=xkid+ω1×stepdb×gkSub-xkid|gkSub-xkid|+ω2×stepdb×gkElite-xkid|gkElite-xkid|（7）

圍攻行為中式（5）更新為

xk+1id=xkid+ω3×λ×stepdc×|gkSub-xkid|+

ω4×λ×stepdc×|gkElite-xkid|（8）

其中：gkSub為子種群中的頭狼，gkElite為外部檔案中任意一匹精英狼，ω1，ω2∈［0，1］且∑2i=1ωi=1，ω3，ω4∈［0，1］且∑4i=3ωi=1；其余變量含義和式（3）（5）中一致。

為了驗(yàn)證提出的精英引導(dǎo)策略的有效性，對(duì)采用精英引導(dǎo)策略前后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。圖1展示了算法采用頭狼引導(dǎo)策略和精英引導(dǎo)策略，獲得ZDT1問題的Pareto前沿，圖中紅色圓圈表示算法求得的Pareto前沿，黑色線條表示ZDT1的真實(shí)Pareto前沿（見電子版）。圖1（a）為初始種群；（b）為采用頭狼引導(dǎo)策略的算法在ZDT1問題上迭代20次的Pareto前沿；（c）為采用精英引導(dǎo)策略的算法在ZDT1問題上迭代20次的Pareto前沿。由圖1可知，采用頭狼引導(dǎo)策略時(shí)種群出現(xiàn)了嚴(yán)重的聚集現(xiàn)象，通過觀察發(fā)現(xiàn)算法得到前沿主要集中在真實(shí)Pareto前沿的左半部分，算法的收斂性與分布性較差；采用精英引導(dǎo)策略后，種群中的聚集現(xiàn)象得到了較大改善，算法得到的前沿較為均勻地分布在真實(shí)Pareto前沿上，該策略雖然在增加全局搜索能力時(shí)犧牲了一定的精細(xì)搜索能力，但種群的分布性得到了較大的改善。

2.2 信息交互機(jī)制

在生物界中，狼群會(huì)使用嗅覺和視覺來追蹤獵物的位置，一旦發(fā)現(xiàn)獵物，它們會(huì)發(fā)出特定的叫聲向同伴傳遞信息，其他狼會(huì)迅速向其靠攏。狼群會(huì)一起追逐獵物，相互合作，采取不同的位置來包圍獵物，阻止獵物逃跑，最終在狼群的相互協(xié)作與信息傳遞下成功捕獵?；谶@一生物學(xué)原理，本文在狼群算法的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)信息交互機(jī)制。WPA的每一次迭代視為一次捕獵，但狼群實(shí)際并未捕獲到獵物，即沒有尋找到最優(yōu)解，也就不存在“強(qiáng)者生存，弱者淘汰”。事實(shí)上，算法的每次迭代是向獵物靠近的過程，狼群中不同的個(gè)體會(huì)相互傳遞信息，最終捕獲到獵物。所以針對(duì)問題b），重視不同個(gè)體相互傳遞的優(yōu)勢(shì)信息，設(shè)計(jì)信息交互機(jī)制。該機(jī)制可以讓優(yōu)良信息在種群中傳遞，防止因?yàn)樘蕴斐傻膬?yōu)良信息流失，維護(hù)了種群多樣性。狼群的信息交互如下：

xk+1id=xkid+t×rand×（xk（n-i+1）d-xkid）+α×ε（9）

其中：i∈［1，N］且為整數(shù)。t為抖動(dòng)因子，取值為式（10）。rand∈［0，1］。xk（n-i+1）d為狼群中編號(hào)n-i+1的人工狼。α×ε為擾動(dòng)項(xiàng)，α是擾動(dòng)步長(zhǎng)因子，α∈［0，1］，ε是服從高斯分布、均勻分布或其他分布中提取的隨機(jī)數(shù)向量。α×ε擾動(dòng)項(xiàng)，一方面，可以防止t=1時(shí)導(dǎo)致學(xué)習(xí)與被學(xué)習(xí)人工狼之間過于相似，陷入局部最優(yōu)；另一方面，可以擴(kuò)大搜索范圍。

t=rand×（ubb－1）+1 rand≤0.5rand×（-1+ubb）-ubbrand>0.5（10）

其中：ubb=1.5-（k-1）×1.5/Maxit，k為迭代次數(shù)，Maxit為最大迭代次數(shù)，rand∈［0，1］。

以二目標(biāo)為例，圖2展示了采用信息交互機(jī)制的模型簡(jiǎn)化圖，黑球?yàn)槿斯だ?，紅球?yàn)轭^狼，白球?yàn)橐苿?dòng)后可能的位置。在學(xué)習(xí)和被學(xué)習(xí)人工狼相同的情況下，當(dāng)不加入抖動(dòng)因子和擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)，搜索后可能位于線段AB上的某一點(diǎn)C；當(dāng)加入抖動(dòng)因子和擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)，在抖動(dòng)因子的作用下，點(diǎn)C可能會(huì)位于線段AB上方E點(diǎn)或線段AB下方的D點(diǎn)。在擾動(dòng)項(xiàng)的作用下，點(diǎn)C可能會(huì)出現(xiàn)在以C為圓心的橙色圓內(nèi)的某一點(diǎn)F，點(diǎn)D和E擾動(dòng)后的可能位置如圖所示（見電子版）。由圖2可以看出，搜索范圍顯著增大，在保留各人工狼優(yōu)良信息的同時(shí)有效提升算法探索到真實(shí)Pareto前沿的概率。

按照上述更新式（9），會(huì)產(chǎn)生與原種群P大小N一樣的新種群Q，將新舊種群合并，然后按照快速非支配排序，先選擇前n個(gè)非支配層Zi（i=1，2，3，…）的人工狼，使得Z1+Z2+Z3+…+Zn<N，當(dāng)Z1+Z2+Z3+…+Zn+Zn+1>N，對(duì)于第Zn+1層的人工狼進(jìn)行擁擠度距離排序，選擇擁擠度大的前N－（Z1+Z2+…+Zn）匹人工狼。這樣可以很好保留人工狼身上的優(yōu)良信息，避免優(yōu)秀人工狼被淘汰，從而增加搜索效率。

2.3 變異算子

針對(duì)問題c），隨著種群的不斷進(jìn)化，人工狼之間的差異逐漸變小，種群中可用信息變少，這時(shí)會(huì)使種群進(jìn)化停滯。此時(shí)，通常會(huì)引入變異算子，變異算子是對(duì)種群的父代個(gè)體進(jìn)行隨機(jī)變化來形成子代，其目的是保持種群的多樣性和避免過早收斂。因此本文加入單維選擇變異算子，人工狼i每次進(jìn)行完游走行為、召喚行為和圍攻行為后，按照一種隨迭代次數(shù)動(dòng)態(tài)遞減的變異概率Pm隨機(jī)對(duì)人工狼i的某一維進(jìn)行變異，這里Pm=1-k/Maxit，若選中第d維分量，變異可定義為

xd′i=rand×（ud-ld）+ud rand≤Pmxdirand>Pm（11）

其中：d為人工狼i的第d維分量；ud和ld分別為人工狼i第d維分量的上限和下限；k為迭代次數(shù)；Maxit為最大迭代次數(shù)，式中的ud和ld定義如下：

ud=xdi+（1-kMaxit）×（u-l）

ld=xdi-（1-kMaxit）×（u-l）（12）

通過對(duì)變異前后進(jìn)行比較，若xd′i支配xdi則進(jìn)行替換；若xdi支配xd′i則不進(jìn)行替換；若xdi和xd′i互不支配，是否替換判斷如下：

xdi=xd′i rand≤0.5xdirand>0.5（13）

算法前期，迭代次數(shù)k較小，可以使人工狼有較大的位置波動(dòng)，變異算子和精英引導(dǎo)策略相互作用，可以減弱人工狼對(duì)于頭狼的盲目跟從，使人工狼較為均勻地搜索決策空間，增強(qiáng)算法的全局搜索能力，改善種群的分布性，有效避免種群進(jìn)化停滯，維護(hù)種群的多樣性；算法后期，人工狼之間的差異變小，即種群通過非支配排序后非支配等級(jí)都為1，種群中的人工狼都變?yōu)轭^狼，精英引導(dǎo)策略會(huì)失效。此時(shí)變異算子隨著迭代次數(shù)k增大，可以使人工狼有較小的位置波動(dòng)，該算子使人工狼注重局部搜索，使變異后產(chǎn)生的新解以更大的概率逼近真實(shí)的Pareto前沿，保證了算法的收斂性。

2.4 算法流程

輸入：決策變量的維度D;區(qū)間為［U，L］;種群的大小N;最大迭代次數(shù)Maxit;最大游走次數(shù)Tmax;距離判定因子ω;步長(zhǎng)因子S。

輸出：Pareto最優(yōu)解集。

結(jié)合前文描述的多個(gè)策略，給出MOWPA-EGII算法步驟。

a）種群和參數(shù)初始化。初始化決策變量的維度D，區(qū)間為［U，L］，種群的大小N，最大迭代次數(shù)Maxit，最大游走次數(shù)Tmax，距離判定因子ω，步長(zhǎng)因子S，生成N匹人工狼xi。

b）計(jì)算每匹人工狼的適應(yīng)度值。

c）對(duì)種群進(jìn)行預(yù)處理。找到位于非支配等級(jí)為1的頭狼各自所支配的人工狼，每匹頭狼和它支配的人工狼劃為一個(gè)子種群，并將非支配等級(jí)為1的人工狼存于外部檔案。

d）游走行為。對(duì)于除頭狼外的人工狼按照式（2）執(zhí)行游走行為，直至人工狼在解空間中的位置優(yōu)于支配它的頭狼，或達(dá)到最大游走次數(shù)T>Tmax，則轉(zhuǎn)步驟e）。

e）召喚行為。頭狼發(fā)起召喚，人工狼按照式（7）進(jìn)行奔襲，若在奔襲的過程中人工狼在解空間中的位置優(yōu)于其所在子種群的頭狼，則取代該頭狼，替代它并發(fā)起召喚行為；若劣于其所在子種群的頭狼，人工狼繼續(xù)奔襲，直至d<dnear，則轉(zhuǎn)步驟f）。

f）圍攻行為。人工狼按照式（8）對(duì)獵物發(fā)起攻擊。

g）種群變異。對(duì)執(zhí)行完上述三種行為的人工狼按照式（11）進(jìn)行變異，若變異后的人工狼，支配變異前的人工狼，則進(jìn)行替換；若互不支配，則按照式（13）判斷是否替換；否則不進(jìn)行替換。

h）外部檔案的更新與維護(hù)。將種群中的精英解存入外部檔案，若檔案的大小超過規(guī)定的大小N，則先對(duì)檔案進(jìn)行去重，然后按照擁擠度距離進(jìn)行刪除。

i）判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)Maxit，若達(dá)到則轉(zhuǎn)至步驟j），否則轉(zhuǎn)至步驟c）。

j）輸出Pareto最優(yōu)解集。

2.5 算法時(shí)間復(fù)雜度分析

N為種群大小，NA為外部檔案大小，m為目標(biāo)空間維數(shù)。WPA中游走、召喚和圍攻行為以及更新機(jī)制都是串行，所以WPA的時(shí)間復(fù)雜度近似為O（N）。MOWPA-EGII基于狼群算法，對(duì)N匹人工狼在m個(gè)目標(biāo)空間進(jìn)行預(yù)處理，確定支配關(guān)系、存寫檔案和劃分子種群，此過程通過快速非支配排序并行處理，故間復(fù)雜度近似為O（m×NlogN）。精英引導(dǎo)策略，對(duì)N匹人工狼執(zhí)行式（7）（8），時(shí)間復(fù)雜度為O（N）。信息交互機(jī)制，對(duì)2N匹人工狼進(jìn)行快速非支配排序，對(duì)超過種群大小N的個(gè)體按照擁擠距離淘汰，時(shí)間復(fù)雜度為O（2Nlog2N）+O（m×N）。變異算子，對(duì)N匹人工狼的某一維度進(jìn)行變異，時(shí)間復(fù)雜度為O（N）。檔案維護(hù)，采用擁擠距離對(duì)檔案進(jìn)行維護(hù)，NA的大小通常與種群大小N相等，最大時(shí)間復(fù)雜度為O（m×2N），綜上，MOWPA-EGII的時(shí)間復(fù)雜度為O（mNlogN）。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 多目標(biāo)測(cè)試函數(shù)集

多目標(biāo)測(cè)試函數(shù)集選擇。為了驗(yàn)證MOWPA-EGII的有效性，本文選取了15個(gè)基準(zhǔn)MOP測(cè)試函數(shù)，測(cè)試MOWPA-EGII面對(duì)不同類型MOP問題時(shí)算法的性能。測(cè)試函數(shù)集包括5個(gè)2-目標(biāo)ZDT系列的測(cè)試函數(shù)，3個(gè)3-目標(biāo)Viennet系列測(cè)試函數(shù)，以及7個(gè)3-目標(biāo)DTLZ系列測(cè)試函數(shù)。多目標(biāo)測(cè)試函數(shù)集的特征和性質(zhì)如表1所示。

3.2 性能指標(biāo)

性能指標(biāo)選擇。反世代距離IGD（inverted generational distance），反映真實(shí)Pareto前沿到算法得到的近似Pareto前沿的距離。通過計(jì)算真實(shí)Pareto前沿和近似Pareto前沿之間的距離可以反映一個(gè)算法收斂性和多樣性。一般情況下，某算法的IGD值越小說明該算法獲得的Pareto前沿收斂性和多樣性越好。IGD可以通過式（14）計(jì)算得到。

IGD（X，P*）=min∑x*∈P*d（x*，X）|P*|（14）

其中：P*表示真實(shí)Pareto前沿上均勻分布的點(diǎn)集，|P*|表示P*內(nèi)真實(shí)點(diǎn)集的個(gè)數(shù)，d（x*，X）表示x*∈P*的解到X中解的最小歐氏距離。

3.3 信息交互機(jī)制的有效性分析

信息交互機(jī)制比強(qiáng)者生存機(jī)制具有更好的尋優(yōu)效率和算法多樣性，是因?yàn)閺?qiáng)者生存機(jī)制是直接淘汰種群中較差的R匹人工狼，然后再隨機(jī)生存R匹人工狼，這種隨機(jī)很有可能使種群的優(yōu)良信息流失，使種群進(jìn)化變得緩慢和多樣性缺失，最終會(huì)導(dǎo)致算法在目標(biāo)空間中的分布為圖3（b）所示狀況。信息交互機(jī)制不會(huì)直接淘汰，而是按照式（9）重新生成和原種群大小相等的新種群，最后在目標(biāo)空間中按照擁擠距離［21］淘汰，最終種群的分布狀況會(huì)和圖3（a）類似。因此信息交互機(jī)制可以較好地保持種群多樣性。圖3中Z1和Z2為非支配序后的非支配等級(jí)。

算法的多樣性和尋優(yōu)效率驗(yàn)證如下：實(shí)驗(yàn)將采用信息交互機(jī)制的算法命名為A，采用強(qiáng)者生存機(jī)制的算法命名為B，其他策略保持不變，畫出算法A和B的IGD隨迭代次數(shù)增加的收斂曲線圖。選擇不同Pareto前沿特征測(cè)試函數(shù)，凹形：ZDT2（二目標(biāo)）和DTLZ2（三目標(biāo)），不連續(xù)：ZDT3（二目標(biāo)）和DTLZ7（三目標(biāo)），混合：Viennet2。為了防止偶然性，在算法運(yùn)行30次結(jié)果中，每間隔10迭代次數(shù)取一次IGD的平均值，總共取30組數(shù)據(jù)。算法隨迭代次數(shù)增加IGD收斂曲線變化，如圖4所示。從圖4（a）可得出：算法A在ZDT2和ZDT3上迭代到80次左右IGD趨于平穩(wěn)，而算法B在迭代到120次左右IGD趨于平穩(wěn)，算法A比B收斂速度快且精度更高；從圖4（b）可得出：算法A在迭代約180次時(shí)IGD趨于0.24左右，而算法B在迭代200次后IGD仍然有較大的波動(dòng)，說明算法A比B收斂速度快且穩(wěn)定；從圖4（c）可得出：算法A和B在DTLZ2和DTLZ7上，雖然在迭代到大約50次后IGD都趨于穩(wěn)定，但算法A的精度比B高。綜上所述，算法采用信息交互機(jī)制能夠較好地保留種群中的優(yōu)良信息，取得了更快的收斂速度和更好的IGD值，說明算法采用信息交互機(jī)制可以擁有更好的多樣性與尋優(yōu)效率。

3.4 與經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化算法比較

為了測(cè)試MOWPA-EGII算法的性能，本節(jié)將MOWPA-EGII與5種經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化算法在ZDT、Viennet和DTLZ系列函數(shù)上進(jìn)行比較，比較算法包括MOEA/D［22］、MOPSO［5］、NSGA-Ⅱ［21］、PSEA-Ⅱ［23］以及MOFA［9］。除MOFA算法參數(shù)取自原文獻(xiàn)，其余算法參數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均來自PlatEMO平臺(tái)，版本為PlatEMO4.1，如表2所示。表3給出了5種經(jīng)典算法和MOWPA-EGII獲得的IGD的平均值（mean）和標(biāo)準(zhǔn)差（std），每種算法最優(yōu)值的總數(shù)（total），F(xiàn)riedman檢驗(yàn)對(duì)各個(gè)算法進(jìn)行秩（ranking）排名，以及各個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化算法的最終排名（final rank）。其中，F(xiàn)riedman檢驗(yàn)的秩均值越小表示算法的性能越好，表3中加黑數(shù)據(jù)為每種算法在同一種測(cè)試函數(shù)上的最優(yōu)結(jié)果。為了保證實(shí)驗(yàn)的公平性，每種算法的種群規(guī)模設(shè)置為100，外部檔案設(shè)置為100，對(duì)二目標(biāo)測(cè)試函數(shù)評(píng)估10 000次，三目標(biāo)測(cè)試函數(shù)評(píng)估20 000。為了防止偶然性的出現(xiàn)，對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)在每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行30次取IGD均值。

根據(jù)表3，對(duì)算法的綜合性能進(jìn)行評(píng)估，在15個(gè)測(cè)試函數(shù)上，MOWPA-EGII取得9次最好的優(yōu)化結(jié)果，MOEA/D和NSGA-Ⅱ取得1次最好的優(yōu)化結(jié)果，PSEA-Ⅱ取得4次最好的優(yōu)化結(jié)果，MOPSO和MOFA未取得最好的優(yōu)化結(jié)果。其中，MOWP-EGII在ZDT系列測(cè)試函數(shù)上全部占優(yōu)，Viennet3、DTLZ3、DTLZ6和DTLZ7優(yōu)化結(jié)果占優(yōu)；在Viennet1和Viennet2測(cè)試函數(shù)上雖然未取得最好的優(yōu)化結(jié)果，但與優(yōu)化結(jié)果最好的算法屬于同一個(gè)數(shù)量級(jí)并且相差較??；在DTLZ2、DTLZ4和DTLZ5與取得最優(yōu)結(jié)果的算法屬于同一個(gè)數(shù)量級(jí)；在DTLZ1上優(yōu)化結(jié)果較差。根據(jù)表3，所有算法的均值和方差結(jié)果表明MOWPA-EGII比其他5種經(jīng)典算法具有更好的IGD性能。從Friedman檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，MOWPA-EGII的秩均值最小，NSGA-Ⅱ的秩均值次之，MOFA的秩均值最大，本文算法穩(wěn)定性更好。綜合上述分析，MOWPA-EGII的最優(yōu)值總數(shù)（total）、秩均值（ranking）和最終排名（final rank）均位列第一，所以本文算法與其他5種經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)比，表現(xiàn)出更好的優(yōu)化結(jié)果，在收斂性和分布性上具有較好的性能，在不同的測(cè)試問題上具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性。為了直觀地表現(xiàn)出MOWPA-EGII的性能，表4列出各算法在6個(gè)典型的測(cè)試函數(shù)上的Pareto前沿?cái)M合圖，二目標(biāo)選取了Pareto前沿特征為連續(xù)（ZDT2）和非連續(xù)（ZDT3），三目標(biāo)選取了Pareto前沿特征為混合（Viennet2）、面（DTLZ2）、線（DTLZ6）和非連續(xù)（DTLZ7）。擬合圖中紅色圓圈代表各算法求解到的Pareto前沿，黑灰色的點(diǎn)線和面表示該測(cè)試函數(shù)的真實(shí)Pareto前沿面。從表4中可以看出，MOWPA-EGII在二目標(biāo)測(cè)試函數(shù)上收斂性和分布性具有較大的優(yōu)勢(shì)，在三目標(biāo)測(cè)試函數(shù)上也具有較強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)力。

3.5 與新興多目標(biāo)優(yōu)化算法比較

為了進(jìn)一步測(cè)試MOWPA-EGII性能，本節(jié)將MOWPA-EGII與9種新興算法作比較，比較算法包括：CAMOEA［24］、FLEA［25］、MOEADDYTS［26］、RPDNSGAII［27］、RVEAiGNG［28］、ToP［29］、NSGAII-SDR［30］、MOEAPSL［31］、CFMOFA［32］、HVFA-M［19］，除CFMOFA和HVFA-M算法參數(shù)取自原文獻(xiàn)，其余比較算法的參數(shù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均來自PlatEMO平臺(tái)，版本為PlatEMO4.1，算法的參數(shù)設(shè)置如表5所示。

本節(jié)測(cè)試函數(shù)選擇如表6所示，評(píng)價(jià)指標(biāo)、種群大小、外部檔案大小和測(cè)試函數(shù)評(píng)估次數(shù)的設(shè)置上與3.3節(jié)相同。為了保證公平性，所有算法獨(dú)立運(yùn)行30次取IGD的均值。

根據(jù)表6可知，MOWPA-EGII在15個(gè)測(cè)試函數(shù)上取得7次最好的優(yōu)化結(jié)果，CAMOEA取得4次最好優(yōu)化結(jié)果，RPDNSGAII和RVEAiGNG分別取得2次最好的優(yōu)化結(jié)果，TOP、NSGAIISDR、MOEAPSL、CFMOFA、HVFA-M、FLEA和MOEADDYTS未取得最好優(yōu)化結(jié)果。

其中，MOWPA-EGII在ZDT系列測(cè)試函數(shù)、DTLZ3和DTLZ6上取得了最好的優(yōu)化結(jié)果；在Viennet1、Viennet2、Viennet3、DTLZ2、DTLZ4、DTLZ5和DTLZ7上雖然未取得最好的優(yōu)化結(jié)果，但與優(yōu)化結(jié)果最好的算法屬于同一數(shù)量級(jí)，且相差較?。辉贒TLZ1上的優(yōu)化結(jié)果較差。根據(jù)表6，所有算法的均值和方差結(jié)果表明，MOWPA-EGII比其他10種新興算法具有更好的IGD性能。從Friedman檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，MOWPA-EGII的秩平均值最小，CAMOEA秩均值次之，F(xiàn)LEA的秩均值最大，本算法穩(wěn)定性更好。綜合上述分析，MOWPA-EGII的最優(yōu)值總數(shù)（total）、秩均值（ranking）和最終排名（final rank）均位列第一，所以本文算法與其他10種新興多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)比，表現(xiàn)出更好的優(yōu)化結(jié)果，體現(xiàn)出其在求解MOPs時(shí)有較好的收斂性、多樣性和穩(wěn)定性。

綜上，MOWPA-EGII在面對(duì)多數(shù)測(cè)試函數(shù)時(shí)，在收斂性和分布性上表現(xiàn)較好，獲得較好Pareto前沿?cái)M合效果，表現(xiàn)出較強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)力，是一種可靠的多目標(biāo)優(yōu)化算法。

4 結(jié)束語

優(yōu)化問題在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域一直是研究熱點(diǎn)之一，本文鑒于狼群算法在求解單目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)的優(yōu)越性，將狼群算法應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化問題，提出一種精英引導(dǎo)和信息交互的多目標(biāo)狼群算法（MOWPA-EGII）。MOWPA-EGII提出精英引導(dǎo)策略，通過快速非支配排序，選出非支配等級(jí)為1的人工狼視為頭狼并存入外部檔案，再將每匹頭狼所支配的人工狼劃為同一個(gè)子種群，人工狼在支配它的頭狼和外部檔案中的精英狼共同引導(dǎo)下在解空間中進(jìn)行搜索，能夠有效防止算法陷入局部最優(yōu)；設(shè)計(jì)信息交互的機(jī)制，模擬狼群捕獵過程中的信息交流并向獵物一次次靠近的過程，該更新機(jī)制凸顯人工狼個(gè)體之間的優(yōu)勢(shì)差異，它們可以相互學(xué)習(xí)，防止種群中的優(yōu)良信息流失，保持種群的多樣性；加入變異算子，能夠有效幫助種群跳出局部，增強(qiáng)局部搜索的能力。將MOWPA-EGII與5種經(jīng)典算法和10種新興算法比較，通過在多目標(biāo)領(lǐng)域的測(cè)試函數(shù)上作對(duì)比，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行Friedman檢驗(yàn)，證明了MOWPA-RGII是解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的一種行之有效的方法。然而在實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)，在處理多模態(tài)問題時(shí)，與其他算法對(duì)比略失競(jìng)爭(zhēng)力。未來將進(jìn)一步提高算法在多模態(tài)問題上的優(yōu)化能力，并將算法應(yīng)用于高維超多目標(biāo)優(yōu)化問題［33，34］和實(shí)際的工程應(yīng)用［35］當(dāng)中。

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