摘 要：處理大角度懸垂結構的打印問題是無支撐打印的主要挑戰(zhàn)。針對NURBS（non-uniform rational B-spline）體參數化模型的多自由度無支撐三維打印技術，提出一種錐形切片算法。通過對模型的三維文件進行幾何映射，利用水平切片算法對其進行切片，得到模型變形后的連續(xù)打印路徑G-code；然后對得到的G-code進行逆映射，生成適用于六軸機械臂的多自由度連續(xù)打印路徑。利用錐形切片算法規(guī)劃打印路徑，可以在無須支撐的情況下，依靠自支撐結構實現對懸空結構部分的打印。最后，通過仿真實驗和對比實驗，驗證了錐形切片算法的準確性、可行性和有效性。錐形切片算法的引入為NURBS體參數化模型的無支撐三維打印提供了一種更加高效、經濟和環(huán)保的解決方案。

關鍵詞：NURBS體參數化； 無支撐打??； 錐形切片； 幾何映射； 六軸機械臂

中圖分類號：TP391.9 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2024）07-030-2141-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.10.0535

Unsupported printing algorithm of NURBS volume parametric mode

Abstract：Achieving unsupported 3D printing still faces challenges in handling large-angle overhangs and improving printing precision. This paper presented a cone slicing algorithm for multi-freedom unsupported 3D printing of NURBS volume parametric models. Though the geometric mapping of the 3D model file of the model， it applied a horizontal slicing algorithm to this mapped model， resulting in a continuous print path G-code of the deformed model. This G-code was then subjected to inverse mapping， generating multi-degree-of-freedom continuous printing paths suitable for six-axis robotic arms. Utilizing the conical slicing algorithm to plan printing paths enabled printing of overhanging structures without the need for support. It validates the accuracy， feasibility， and effectiveness of the conical slicing algorithm through simulation experiments and comparative trials. The introduction of the conical slicing algorithm offers a more efficient， economical， and green solution for unsupported 3D printing of NURBS-based parametric models.

Key words：NURBS volume parameterization; unsupported printing; conical slicing; geometric transformation; six-axis robotic ARM

0 引言

非均勻有理B樣條（NURBS）是計算機輔助設計（CAD）中表示對象的事實標準［1］。增材制造（AM）的輸入數據為CAD模型，而CAD模型主要采用NURBS曲面作為邊界表示。NURBS以數據交換格式（如初始圖形交換規(guī)范IGES、STEP）為基礎，允許在計算機輔助設計（CAD）與計算機輔助制造（CAM）系統(tǒng)或幾何庫之間進行精確的數據傳輸。此外，基于權值和控制點的NURBS不僅可以準確地表達幾何形狀，還能夠表達解析形式［2］。通過在CAD系統(tǒng)中生成準確的NURBS模型，并將其多邊形近似值引入到適用于多軸機械臂的多自由度打印工藝中，極大地增強了增材制造路徑規(guī)范的靈活性［3］。

增材制造技術是一種基于現代CAD/CAM技術、激光技術、計算機數控技術、精密伺服驅動技術以及新材料技術的先進制造方法［4］。該技術已在生物技術、航空航天、電子、建筑、醫(yī)藥等多個領域廣泛應用［5，6］。增材制造技術可以直接從CAD數據模型生成三維產品模型，通常采用分層制造逐層疊加的方法進行材料堆積制造［7，8］。當前，已有多項相關研究將NURBS體參數化模型成功應用于增材制造領域，其中包括切片算法、支撐點的求解 ［9］以及生成非均勻NURBS體參數化模型的三維打印通用AMF（additive manufacturing file format）文件［10］等研究。

具有懸垂結構的模型的無支撐打印是增材制造3D打印中的難點。傳統(tǒng)的熔融沉積成型（fused deposition modeling，FDM）三軸3D打印工藝通常需要使用支撐結構來實現成型［11，12］，同時也帶來了一系列的問題，例如制造成本的增加、后期人工處理的煩瑣以及材料浪費。在無支撐的情況下，懸空部分的穩(wěn)定性是一個關鍵問題。這些部分容易變形、下垂或坍塌，因此，如何確保打印頭能夠準確地定位并在不添加支撐的情況下完成打印是一個挑戰(zhàn)［13］。在這一背景下，對無支撐打印技術的深入研究是一個亟待解決的問題。通過研究無支撐打印技術，可以更好地滿足不同行業(yè)對于精細、復雜結構的需求，促進3D打印技術朝著更加智能化的方向發(fā)展［14，15］。由于機械臂具備高自由度和靈活的運動軌跡，能夠構建空間中的任意無干涉曲線。所以將機械臂技術與3D打印工藝相融合，可以突破傳統(tǒng)3D打印工藝在成型復雜度方面的限制，實現對多方向復雜曲面的無支撐一體化成型［16，17］。

FDM是一種層層堆疊的制造過程。在面對存在懸垂結構的模型時，因其水平切片算法和Z軸垂直堆疊的特性，所以在無支撐情況下打印具有懸垂結構的模型時會出現坍塌的情況。因此，需要設計一種高效的切片算法來規(guī)劃打印路徑，以實現無支撐打印。近年來，為了突破傳統(tǒng)的“2.5D 打印”限制［18］，國內外學者紛紛進行了機械臂3D打印及無支撐曲面打印切片算法的研究。例如：Wüthrich等人［19］提出一種非平面切片算法，可以通過改變噴頭打印方向來實現一定懸垂角度的無支撐打印，但是該算法無法解決大懸垂模型的無支撐打印問題；Allen等人［20］提出了一種具有Z值可逆性的打印方法，通過在三軸打印機上動態(tài)調整Z值，實現曲面路徑的生成，但該方法僅適用于三自由度打印機，并且模型的懸垂部分仍需要支撐；Chen等人［21］提出了一種適用于薄殼結構的彎曲層路徑規(guī)劃方法，該方法要求事先打印與薄殼形狀相匹配的模具作為支撐，然后在模具表面進行路徑規(guī)劃，然而，該方法的適用場景具有諸多限制，僅適用于薄殼零件的打印，沒有真正解決無支撐打印問題。為此，本文提出了一種錐形切片算法。該算法通過傾斜每個打印層，使其呈現一種圓錐形狀，而非傳統(tǒng)的平行于打印平面；同時，通過調整打印噴嘴在Z軸上的旋轉角度，使當前打印層附著在上一層已完成打印的部分上，形成自支撐結構。該算法在無須額外支撐的情況下可以實現大懸垂結構的無支撐打印。

綜上所述，為了解決具有懸垂特征模型的無支撐打印問題，本文提出了一種基于NURBS體參數化模型的錐形切片算法。基于NURBS體參數化模型的基礎理論，對模型進行等參線網格單元劃分和三角網格劃分；然后，對模型進行幾何映射，并使用錐形切片技術生成映射后模型的連續(xù)打印路徑G-code；最后，對生成的G-code進行逆映射，以獲得原始模型的多軸機械臂多自由度無支撐連續(xù)打印路徑。

1 NURBS體參數化模型定義和網格劃分

1.1 NURBS體參數化模型定義

三維幾何空間中NURBS體參數化模型的參數方程具體表達式為

其中：Pi，j，k為控制點；ωi，j，k為權因子；Ni，p（u）、Nj，q（v）、Nk，r（w）是分別定義在節(jié)點矢量空間U、V、W上的NURBS基函數，其階數分別為p、q、r。U、V、W的節(jié)點矢量空間為

NURBS在U方向上的基函數表達式為

NURBS在V、W方向上的基函數定義與U方向上的類似。

1.2 等參線網格單元劃分

NURBS體參數化模型通過三變量張量體參數化模型T與規(guī)則的立方體P建立一一映射關系［10］。如圖1所示，T是指在（X，Y，Z）三維坐標中具有物理域邊界的三維模型，P是指在正交參數域坐標（U，V，W）中構建的立方體。其中：①②為物理域與參數域之間的映射關系，③為物理域在參數域相對應的單元。

在參數域u、v、w三個參數方向上，將節(jié)點矢量空間U、V、W分別細分為 δu、δv、δw等份，得到等參數線網格單元。相應地，在物理域中，通過在三變量張量方向上進行細分，可以獲得六面體單元，如圖2所示。

當δu、δv、δw的細分次數足夠大時，等參線網格單元可被視為規(guī)則的六面體結構，其在物理域中的八個頂點分別為B（ui，vj，wk）、B（ui+1，vj，wk）、B（ui，vj+1，wk）、B（ui，vj，wk+1）、B（ui+1，vj+1，wk）、B（ui，vj+1，wk+1）、B（ui+1，vj，wk+1）、B（ui+1，vj+1，wk+1）。等參線網格單元的數量K的計算方法如式（3）所示，其中K（u）、K（v）、K（w）分別為u、v、w三個參數方向的細分次數。

K=K（u）·K（v）·K（w）（3）

1.3 三角形網格劃分

標準三角語言（standard triangle language，STL）是三維模型用于增材制造的主要文件格式，其主要通過三角形網格來擬合三維實體的外表面。因此在對模型進行等參線網格單元劃分后，還需要進行三角形網格劃分。

根據等參線網格單元的六面體單元結構，其每個表面皆可劃分出兩個三角形。通過連接參數域的正方形對角線劃分出兩個直角三角形，對應的物理域就可獲得兩個NURBS曲面三角形。圖3為NURBS曲面的三角形網格劃分，左側為物理域劃分，右側為對應的參數域劃分。

當u、v、w三個參數方向的細分次數足夠多時，劃分的三角形網格可視為直線三角形。隨著細分次數的增多，劃分的三角形網格也會增多。目前有很多不同的方法來細化三角形，其中最便捷的是將每個三角形的邊進行等分，然后把3個新生成的中點連接起來，這樣1個三角形可以產生4個更小的三角形，如圖4所示。同時，1個六面體單元可以劃分為5個相同大小的四面體。

模型劃分的三角形網格數量和細分次數之間的關系如式（4）（5）所示。

n=K（u）+K（v）+K（w）（4）

Q=4n·N（5）

其中：Q為劃分的三角形網格總數；n為在參數域u、v、w三個參數方向上細分次數總和;N為三角形網格基數。

2 錐形切片算法

2.1 錐形切片算法原理

常見的FDM 3D打印機通常能夠打印具有適度傾斜角度的模型，但在處理大角度傾斜或懸空部位時，必須添加支撐結構。而錐形切片算法的原理在于使每個打印層傾斜，形成一種圓錐形狀，如圖5所示。這種方法確保即使在打印水平懸空部位時，只有最外層的部分會懸空打印，而當前打印層的絕大部分仍然附著在周圍的層上，充當支撐。通過這種方式，可以實現對懸空的復雜幾何形狀進行打印，而無須添加額外的支撐結構。

傳統(tǒng)的切片軟件以固定的Z值將模型水平劃分為層，而錐形切片算法是利用錐形層對模型進行劃分。錐形層由同心圓組成，每個圓具有不同的Z值和半徑。錐形層的生成主要是通過如式（6）所示的幾何映射S來完成。

圖6展示了所提出的錐形切片算法的工作流程。首先，對三維模型的三角形網格文件進行幾何映射；然后，對映射后的文件進行切片；最后，使用S-1對G-code進行幾何逆映射，得到多自由度連續(xù)打印路徑。

2.2 模型幾何映射

三維模型由三角形網格進行擬合，通過對三角形網格的所有頂點執(zhí)行如式（6）所示的幾何映射，完成對所有三角形網格的變換，實現模型的幾何映射。圖7展示了原始三維模型及其轉換的示例。

三角形網格文件通過單位法線和三角形的頂點在三維笛卡爾坐標系中描述三角曲面。其通用表示定義為

在計算機圖形學和計算機輔助設計領域，通常會選擇邊長適中的三角形網格，以在模型準確性和計算效率之間取得平衡。當三角形網格的邊長小于1 mm時，幾何模型的精度高，有助于提高仿真的準確性，但同時會增加頂點和面片數量，導致數據儲存和計算復雜度的上升；而當邊長大于2 mm時，計算量減小，但切片時可能產生偽影，嚴重降低打印模型的表面質量。因此，將三角形網格的邊長控制在1～2 mm，能夠在保證精度的前提下，提高計算效率。

將三角形網格文件存儲為mesh（網格）對象。利用該對象的points、normals和vector等屬性，對對象所有的點、面的法向量和三角形數組進行描述，以完成三角形網格的幾何映射。具體過程如下：

a）讀取三角形網格文件并將其存儲為mesh對象。

b）使用vector屬性提取描述對象的三角形數組。

c）通過給定次數的細化步驟來細化三角形劃分。如果有N個三角形，細化步驟執(zhí)行m次，則輸出為4m×N。

d）對劃分后的三角形網格進行幾何映射。

e）將轉換后的三角網格數據存儲為mesh對象，并將其保存在一個新的三角網格文件中。

2.3 G-code逆映射

將模型進行幾何映射后，對其進行水平切片，然后將生成的打印軌跡G-code進行逆映射，得到最終的錐形打印軌跡。圖8為逆映射前后打印軌跡及填充的示意圖，其中藍色截面表示層打印邊界周長，綠色表示可調整寬度的邊界周長，紅色表示打印填充（參見電子版）。

在傳統(tǒng)的打印機設置中，新打印的層總是有很好的支撐，并且它在擠出過程中會被壓平和加寬。錐形切片旨在實現無支撐打印，因此打印層不會加寬，擠出寬度也不會超過噴嘴的直徑，以確?，F擠出線層與已打印的部分有良好的連接。例如，將切層高度為0.28 mm的G-code進行逆映射，由于逆映射的特點，切層高度減小為0.2 mm的錐形層矩形距離，擠壓寬度保持0.4 mm不變，這導致擠壓寬度和層高度之間的比例為2∶1。兩個不同層的單線之間有50%的良好重疊，這也是保證實現無支撐打印的主要原因。

G-code是打印頭的一組移動指令，其中每條移動命令定義了打印頭移動到的端點。因此，打印頭在指令執(zhí)行前的位置被定義為“舊”點，而打印頭在執(zhí)行后的位置被定義為“新”點。每走一步，“新”點就會變成新的“舊”點。經過逆映射后坐標值定義如下，其中經過逆映射后的值用“im”標記。

假設當前層的z坐標為zlayer，舊點坐標為xold，yold，新點坐標為xnew，ynew。

逆映射后舊點的坐標可以表示為

逆映射后新點的坐標可以表示為

逆映射的“新舊”兩點之間的距離不應過大，否則會導致逆映射后打印失真。如圖9（a）所示，當打印軌跡為較長線段時，噴嘴將在位置P1（“舊”點），移動到線的端點P2（“新”點）。當這條由起點和終點組成的軌跡用S-1進行逆映射后，噴頭將沿著直線再次從P1到P2。然而，對于逆映射后的錐形打印軌跡，噴嘴必須在一個圓錐截面上移動，圖9中用藍色雙曲線表示（參見電子版）。因此，長線條軌跡必須被分割成長度相等的小段，以達到適當的精度，如圖9（b）所示。

根據式（8）計算兩點之間軌跡長度：

當軌跡長度最大為lmax時，由式（9）得出分割后軌跡的數量m為

在對每一點的軌跡進行逆映射后，得到分割后打印噴嘴位置，即運動軌跡點的坐標（xk，yk，zk），如式（10）～（12）所示，其中k=0，1，…，m。

多自由度增材制造方式需要知道機械臂末端每個點的位姿信息，除了上述的x、y、z位置坐標外，還需要求得每個點的姿態(tài)信息。通過打印路徑的方向計算出機械臂末端噴頭的角度，使其可以垂直于打印路徑。

歐拉角是一種將位姿分解為繞坐標軸的旋轉角度的常見表示方式。通常，歐拉角包括繞X、Y和Z軸的旋轉角度，分別稱為滾轉角（roll）、俯仰角（pitch）和偏航角（yaw）。已知一段打印路徑中相鄰的兩點pi、pi+1的坐標，如圖10所示，連接這兩點形成段lpipi+1，這個線段視為兩點之間的打印軌跡。其次過線段lpipi+1創(chuàng)建平面Su，使平面Su垂直于打印平臺，令平面Su作為約束平面。同時定義向量Ni為噴嘴在線段lpipi+1內的歐拉角，即噴嘴打印方向，Ni在平面Su內，即與平面Su平行。然后向量Ni需要垂直于線段lpipi+1，并指向Z軸負方向，也就是與Z軸的夾角大于90°。通過使用反三角函數，可以分別計算出滾轉角、俯仰角和偏航角，此時可求得向量Ni的唯一值。最后使用NURBS樣條曲線對打印軌跡中每個路徑點的位姿進行插值平滑計算，以消除噪聲和錯誤路徑點的影響，從而提高打印路徑的魯棒性。

3 仿真實例

本文在Anaconda Python（Python3）編程環(huán)境下開發(fā)了一套用于NURBS體參數化模型的錐形切片程序，并在RobotStudio仿真軟件中驗證了該切片算法在機械臂多自由度無支撐打印應用場景中的可行性。此外，為了驗證錐形切片算法無支撐打印的有效性，針對具有懸垂結構的模型，設計了錐形切片算法和水平切片算法的對比實驗。

3.1 仿真實驗

本文采用了兩個具有懸空部分的NURBS體參數化模型，這種類型的模型通常需要在傳統(tǒng)的3D打印方式下添加支撐結構才能實現成型，如圖11所示。

針對實驗模型，采用本文提出的錐形切片算法對模型進行切片，以生成多軸機械臂的多自由度打印軌跡，在無支撐的情況下實現對具有懸空結構模型的三維打印。為了提高模型的精度和幾何映射的準確性，必須對模型的三角網格進行精細的劃分。然而，如果三角形網格被過度細分，將會導致模型數據的增加。將三角形網格的邊長控制在1～2 mm，如圖12所示。這既可以確保模型文件的數據量不會過大，又能夠保證打印件具有良好的表面質量。

對模型進行三角形網格劃分后，對模型進行幾何映射，圖13為兩個模型進行映射后的可視化模型。經過映射后的模型，在xy方向倍數擴大，在z方向上平移相關位移，模型整體向下呈錐形。

將模型進行幾何映射后，通過水平切片算法對其進行水平切片，然后將生成的打印軌跡G-code進行逆映射，得到連續(xù)的錐形無支撐打印軌跡，如圖14所示。

在傳統(tǒng)的打印條件下，實驗模型無論如何擺放都需要添加支撐結構。然而，支撐結構會增加額外的材料消耗，導致材料的浪費，并延長打印時間。此外，支撐結構難以清除，可能會導致打印物體表面不夠光滑，進而需要進行額外的表面處理和修復。

錐形切片算法生成的多自由度打印軌跡不僅包括路徑點的位置信息，還包含姿態(tài)信息。通過RobotStudio仿真軟件，采用規(guī)格型號為IRB1410的六軸機械臂，建立ABB機械臂多自由度打印工作站，讀取位姿軌跡信息，可以控制六軸機械臂對兩個實驗模型進行多自由無支撐打印仿真。IRB1410六軸機械臂打印仿真平臺如圖15所示，管道模型和圣誕樹模型的六軸機械臂多自由無支撐打印仿真分別如圖16、17所示。

通過仿真實驗，驗證了錐形切片算法對具有懸垂結構的模型的無支撐打印的可行性。利用機械臂六自由度優(yōu)勢，打印噴嘴可以實時垂直于當前打印路徑切線，保證當前層能夠始終依托上一層有足夠的支撐，從而使得懸空結構可以以自支撐方式實現無支撐打印。

3.2 對比實驗

為了驗證錐形切片算法的有效性，針對具有懸垂結構的模型，將其與水平切片算法的打印效果進行對比。圖18和19分別展示了水平切片算法對管道模型和圣誕樹模型的打印過程。對比圖16和17中錐形切片算法對管道模型和圣誕樹模型的打印過程可以看出，水平切片算法在打印懸垂結構時需要先打印出支撐結構，然后在支撐結構上完成對懸垂結構的打印。由于水平切片算法相對于錐形切片算法需要額外打印支撐結構，所以會增加打印時間和成本。

表1展示了錐形切片算法和水平切片算法的打印時間，錐形切片算法的無支撐打印方式比水平切片算法帶支撐結構的打印方式分別節(jié)約了18.15%和20.19%的時間。通過對比實驗，可以看到對于具有懸垂結構的模型，錐形切片算法的無支撐打印方式可以有效節(jié)約打印時間和成本，減少材料浪費，是一種更加高效、經濟和環(huán)保的打印方式。

4 結束語

本文在NURBS體參數化模型的基礎上，針對帶有懸空結構模型的無支撐打印問題，首次提出了一種NURBS體參數化模型錐形切片算法。該算法首先對模型進行等參數網格單元劃分和三角形網格細分；然后利用幾何映射、水平切片和軌跡逆映射實現對模型的錐形切片，并生成適用于多軸機械臂的多自由度打印的路徑軌跡；最后控制多軸機械臂完成對帶有懸空結構的模型進行多自由度無支撐打印。通過在機械臂仿真軟件中實施的無支撐打印仿真實驗，驗證了該算法能夠準確生成多軸機械臂多自由度無支撐打印的路徑軌跡。該方法旨在提高打印效率，減少材料浪費，為制造領域中無支撐打印提供了一種創(chuàng)新的解決方案。本文所提出的錐形切片算法生成的多自由度打印軌跡適用于六軸機械臂。而非六軸以下機械臂因自由度的限制，缺少機械臂末端打印角度的靈活性，需要更多地去考慮打印噴嘴與已完成打印部分的碰撞問題。未來將進一步探討如何實現其他自由度機械臂的無支撐打印，以及結合曲面切片算法和錐形切片算法對帶有非對稱懸空結構模型進行無支撐打印。

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