【摘 要】數(shù)學是思維的學科，數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展、遷移和推廣都需要經(jīng)歷嚴謹?shù)奶嚼?。在初中?shù)學體驗教學中，學生在數(shù)學學習中經(jīng)歷困惑、沖突或者矛盾，遇到困境，然后經(jīng)過操作、聯(lián)想、對比、抽象、推理、反思、否定和重構等一系列探理過程，實現(xiàn)對數(shù)學知識由淺層的經(jīng)驗理解到深層的領悟覺知，在體驗中發(fā)展數(shù)學的思維。

【關鍵詞】初中數(shù)學；探理；數(shù)學體驗；教學模式

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2024）27-0017-05

【作者簡介】1.張愛平，南京市金陵中學（南京，210005）副校長，正高級教師，江蘇省數(shù)學特級教師；2.萬濤，南京大學附屬中學（南京，210008）教師，高級教師；3.吳濤，南京市紅山初級中學（南京，210000）教師，一級教師；4.陳吉，南京市第二十九中學（南京，210029）初中部教師，高級教師。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，通過經(jīng)歷獨立的數(shù)學思維過程，學生能夠理解數(shù)學基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，數(shù)學基本概念之間、數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系……發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神。［1］

新課標指出了數(shù)學思維過程對于培養(yǎng)一個人的思維的重要性，學生學好數(shù)學的關鍵是通過探理，發(fā)展數(shù)學思維。數(shù)學體驗教學是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的重要載體，通過數(shù)學體驗教學，學生在操作中思考，在思考中探理，在探理中覺悟。這樣的體驗教學能發(fā)展學生思維，對這樣的體驗教學模式的探索是有意義、有價值的。

一、探理的內(nèi)涵和要義

1.探理的內(nèi)涵

《新華字典》中對“探”和“理”的解釋是“探”即尋求探索，“理”即道理、事物的規(guī)律?！疤嚼怼北硎緦で筇剿鞯览砗褪挛锏囊?guī)律。它是數(shù)學知識產(chǎn)生、發(fā)展、遷移和推廣的重要途徑。

2.探理的要義

探理主要是指從事實和命題出發(fā)，依據(jù)一定的規(guī)則推出其他命題或結論的思維過程。在初中數(shù)學體驗教學中，探理側重數(shù)學的邏輯推理，指通過邏輯推理，得到數(shù)學命題或結論。邏輯推理主要表現(xiàn)為：掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，探索和表達論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流。［2］邏輯推理主要包括兩種類型：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要為歸納和類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要為演繹。因此，探理的要義主要體現(xiàn)在演繹推理、歸納推理和類比推理三種方式。

二、探理對發(fā)展數(shù)學思維的意義

從其內(nèi)涵和要義出發(fā)，探理在發(fā)展學生數(shù)學思維方面具有重要意義。

首先，探理有助于學生運算能力和推理能力的提升。傳統(tǒng)教學中，學生往往通過死記硬背來掌握數(shù)學運算和推理的步驟和法則，使得頗具思維含量的數(shù)學運算和推理變成機械的數(shù)字操作，這樣不利于學生運算能力和推理能力的提升。而在體驗教學中，教師引導學生通過操作體驗、理解算理、逐步推理，在算理和算法之間，在探理和推理之間搭建橋梁，加深學生對運算和推理的理解。

其次，探理有助于學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗。在探理過程中，學生通過觀察、操作、分析、推理、歸納等活動，經(jīng)歷知識生成的過程，體驗獲得知識的喜悅，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗。

最后，探理有助于學生感悟數(shù)學的嚴謹性，形成實事求是的科學態(tài)度與理性精神。學生經(jīng)歷獨立的數(shù)學思維過程，能夠理解數(shù)學基本概念和法則的發(fā)生和發(fā)展，理解數(shù)學基本概念之間、數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系，分析、解決簡單的數(shù)學問題和實際問題，經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”的過程。這樣的“再發(fā)現(xiàn)”過程，有助于發(fā)展學生質(zhì)疑問難的批判性思維，有助于學生逐步養(yǎng)成重論據(jù)、重邏輯的思維習慣，使其初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神。

三、以“探理”為體驗意義的數(shù)學體驗教學模式的框架

數(shù)學是思維的學科，思維的形成離不開探理。在數(shù)學體驗教學過程中，要讓學生的學習真正發(fā)生，探理是其中一個重要環(huán)節(jié)。在這個環(huán)節(jié)中，我們探索出以“探理”為體驗意義的數(shù)學體驗教學模式的框架：建構符號表征意義—建構經(jīng)驗關聯(lián)—形成思維加工—形成思維躍遷—實現(xiàn)問題解決。

四、以“探理”為體驗意義的數(shù)學體驗教學模式的實施策略

在數(shù)學體驗教學模式中，教師應通過創(chuàng)設有驅(qū)動性的問題情境，引導學生產(chǎn)生認知困惑，然后啟發(fā)學生對原有知識進行經(jīng)驗關聯(lián)，從而激活學生的已有經(jīng)驗；引導學生運用已有知識進行關聯(lián)操作體驗，啟發(fā)學生進行邏輯推理驗證等，使其通過探理解決自己的困惑、矛盾和沖突，實現(xiàn)問題解決，并對整個探理過程進行總結優(yōu)化反思。因此，教師啟發(fā)學生探理的實施策略為：創(chuàng)設問題情境—啟發(fā)點撥激活—組織引導探究—完善補充升華；學生自主探理的實施策略為：激活已有經(jīng)驗—關聯(lián)操作體驗—邏輯推理驗證—總結優(yōu)化反思。

在義務教育階段，數(shù)學思維主要表現(xiàn)為：運算能力、推理意識或推理能力。其中，運算能力重在代數(shù)探理，推理能力重在幾何探理。運算能力指學生能夠理解運算的算理，并能尋求合理簡潔的運算方法來解決問題。推理能力主要培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，邏輯推理能力是幾何探理過程中必需的一種能力，培養(yǎng)學生幾何探理的過程就是在提升學生邏輯推理能力。

下面，筆者分別從代數(shù)推理和幾何推理的角度，通過案例具體闡釋以“探理”為體驗意義的數(shù)學體驗教學模式的實施策略。

案例1：有無必勝方案

如圖1，現(xiàn)有A、B、C、D四個長方體容器，A、B的底面積都為a2，高分別為a、b（a＞0，b＞0，a≠b），C、D的底面積都為b2，高分別為a、b。小明和小聰商定一種游戲規(guī)則：小明先從這四個容器中任取兩個，剩下的給小聰，盛水多者獲勝。請分析，無論a、b的大小關系，小明有無必勝的方案？若有，應取哪兩個容器？若無，請說明理由。

【激活已有經(jīng)驗】學生首先會思考有6種選擇，選擇容器A和B，A和C，A和D，B和C，B和D，C和D，要計算盛水量，學生的已有經(jīng)驗就是計算每個容器的體積，因此會想到長方體的體積公式，從而激活學生的知識經(jīng)驗。

【關聯(lián)操作體驗】學生根據(jù)長方體的體積公式，得到容器A的體積為a3，容器B的體積為a2b，容器C的體積為ab2，容器D的體積為b3，這四個容器的體積哪個最大，哪個最小呢？根據(jù)條件a＞0，b＞0，a≠b，但a和b誰大誰小卻不知道，因此無法判斷哪個容器盛水多。

學生也會通過計算所選的兩個容器的體積之和來進行比較，容器A和B的體積為a3 + a2b = a2（a + b），容器A和C的體積為a3 + ab2 = a（a2 + b2），容器A和D的體積為a3 + b3，容器B和C的體積為a2b + ab2 = ab（a + b），容器B和D的體積為a2b + b3 = b（a2 + b2），容器C和D的體積為ab2 + b3 = b2（a + b），但仍然無法判斷哪個容器盛水多。在這里，學生的思維受阻，利用已有知識解決的方法行不通，遇到學習困境，渴望得到新的理解。

【邏輯推理驗證】在教師的啟發(fā)點撥、組織引導下，學生經(jīng)過深層思考，發(fā)現(xiàn)比較兩個代數(shù)式的大小可以用作差法來完成，然后對已有知識進行重構，經(jīng)歷由淺層的經(jīng)驗理解到深層的醒悟覺知的探理過程。

不妨設取A、B兩個容器的盛水量為AB（其他類似），可得：

①AB - CD = （a + b）2（a - b）

②AC - BD = （a2 + b2）（a - b）

③AD - BC = （a - b）2（a + b）

因為a＞0，b＞0，a≠b，學生發(fā)現(xiàn)①中（a + b）2（a - b），②中（a2 + b2）（a - b），仍然無法判斷正負，但在③中（a - b）2（a + b），無論a和b誰大誰小，（a - b）2（a + b）恒大于0，所以必勝方案是選擇容器A和D。

【總結優(yōu)化反思】從這個代數(shù)推理的問題中可以看出，學生所具備的知識是求長方體的體積，但是學生用公式表示出體積后，遇到學習困境：由于不知道a和b的大小，無法判斷哪個容器的體積大，哪個容器的體積小。學生嘗試把兩個容器的體積加起來觀察，發(fā)現(xiàn)還是不行，再次遇到困惑。這時教師適時啟發(fā)點撥，并組織引導探究，學生發(fā)現(xiàn)比較兩個代數(shù)式的大小可以用作差法，從而引導學生去完善解決這個問題。學生經(jīng)歷實踐推理驗證的探理過程，最終找到解決問題的方法，發(fā)展了其數(shù)學思維。

案例2：“圓周角”教學

“圓周角”是蘇科版初中數(shù)學教材九年級上冊第二章的內(nèi)容。在圓中，圓周角與弦、弧和圓心角之間存在很多關聯(lián)。很多教師都覺得“圓周角”這節(jié)課不好上，主要是因為沒有弄明白圓周角從哪來，為什么要研究圓周角。要想上好這節(jié)課，教師必須想清楚兩個問題。

問題1：在學習圓周角的定義時，“頂點在圓上”容易理解，如何才能使得學生自主歸納出“兩邊都和圓相交”這一特征？

問題2：在學習圓周角的性質(zhì)時，學生怎樣才能想到圓周角與圓心角的關系？

因此，下面筆者嘗試借助圓周角體驗儀（見圖2）來開展體驗教學，幫助學生深刻理解圓周角的概念和性質(zhì)。

（1）發(fā)現(xiàn)圓周角

如圖3，∠BOC為圓心角，讓∠BAC的頂點A從圓心O出發(fā)，在直軌道上自由移動，在移動的過程中讓學生感受∠BAC的大小隨點A的位置變化而變化的規(guī)律：以點A從圓心O向上移動為例，在移動的過程中，點A離圓心O越遠，∠BAC越小。

觀察這些角的特征，根據(jù)點A位置的“不相同”，學生不難把點A的位置分為三類：圓內(nèi)、圓上和圓外，進而把這些角分為三類：頂點在圓內(nèi)的角、頂點在圓上的角和頂點在圓外的角。

學生對哪類角最感興趣？心理學研究表明，人對變化過程中的某些特殊狀態(tài)往往表現(xiàn)出特殊的興趣。頂點在圓上的角是特殊狀態(tài)，這必定是學生最感興趣的角。自然地，學生發(fā)現(xiàn)了“圓周角”。

（2）探索圓周角的性質(zhì)

問題：圓周角∠BAC的度數(shù)可能與什么有關？

【激活已有經(jīng)驗】學生通過觀察和操作圓周角體驗儀，發(fā)現(xiàn)與它所對的[BC]有關，學生根據(jù)已有經(jīng)驗，聯(lián)想到圓心角∠BOC的度數(shù)等于[BC]的度數(shù)，圓周角∠BAC的度數(shù)可能與圓心角∠BOC的度數(shù)有關，猜想∠BAC = [12]∠BOC。

【關聯(lián)操作體驗】學生通過操作圓周角體驗儀發(fā)現(xiàn)：當點A從圓心O出發(fā)，在直軌道上向上平移到圓上，此時∠BAC和∠BOC如圖4中的①。學生根據(jù)外角的性質(zhì)探理，得到∠BOC = ∠BAC + ∠B + ∠C，接著根據(jù)OA = OB = OC，得到∠BOC = 2∠BAC。

當點A沿著圓周移動，使得AB和OB重合時，如圖4中的②。根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠BOC = ∠BAC+∠C。由于OA = OC，因此∠BAC = ∠C，即∠BOC = 2∠BAC。

當點A沿著圓周繼續(xù)移動，當圓心在圓周角∠BAC外部的情形時，如圖4中的③，此時，學生的思維受到阻礙，探理出現(xiàn)困難，學生遇到學習困境，不知道如何證明∠BOC = 2∠BAC。

【邏輯推理驗證】學生通過操作圓周角體驗儀發(fā)現(xiàn)：轉動直軌道，使其和OA所在直線重合——即作直徑AD（如圖4③），學生經(jīng)過探理發(fā)現(xiàn)圖4③和其他兩圖有相似之處，可以把∠DOC和∠DOB看成外角，∠BOC=∠DOC-∠DOB=2∠DAC-2∠DAB=2（∠DAC-∠DAB）=2∠BAC，得以驗證。

【總結優(yōu)化反思】學生在尋找∠BOC和∠BAC的關系時，會出現(xiàn)思維的局限，只會對圖4①進行探理。圖4②和圖4③中，點A的位置不同，證明的方法也是不同的，需要全面看待問題。當學生遇到圖4③的情形時，由于沒有連接直徑，很多學生想不到如何添加輔助線進行探理，思維受到阻礙。該如何突破思維阻礙呢？這時借助圓周角體驗儀的幫助，學生通過上述操作體驗——轉動直軌道，就能發(fā)現(xiàn)探理的突破口。學生通過體驗，經(jīng)歷由淺層的經(jīng)驗理解到深層的醒悟覺知的探理過程，發(fā)展了自身的思維。

數(shù)學體驗教學中教師要站得高、看得遠、想得透，引導學生有疑、有思、有探、有悟、有得，對學生的探理給予支持和肯定，為學生學習數(shù)學樹立信心。教師只有通過探理來發(fā)展學生的思維，學生才能獲得成就感和滿足感，才會將所學知識融入日常的學習和生活中，并對其進行創(chuàng)新，促進學習和生活走向深處，獲得更多的意義。

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：5.

［2］李昌官.邏輯推理素養(yǎng)及其培養(yǎng)［J］.中學數(shù)學教學參考，2023（1）：10-13，18.