[摘 要] 文章以齊次化教學(xué)實(shí)錄為例說明如何在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中堅(jiān)持“以生為主”，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂、反復(fù)試錯(cuò)糾錯(cuò)、構(gòu)建知識系統(tǒng)、課后獨(dú)立反思，經(jīng)歷觀察、試錯(cuò)、類比、歸納、總結(jié)的數(shù)學(xué)思維過程，以此緩解“聽得懂、不會做”的窘境，提升復(fù)習(xí)課課堂效率.

[關(guān)鍵詞] 以生為主;復(fù)習(xí)課;齊次化

問題提出

高考改革正如火如荼地開展，如何批判性地認(rèn)識以往的備考經(jīng)驗(yàn)，防止其在新高考背景下產(chǎn)生負(fù)遷移顯得尤為重要. 傳統(tǒng)高三復(fù)習(xí)課以教師為主導(dǎo)，將自己多年積累的高考經(jīng)驗(yàn)“灌輸”給學(xué)生，但外部經(jīng)驗(yàn)難以不打折扣地內(nèi)化為學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，最終形成學(xué)生“聽得懂、不會做”的窘境.

高考復(fù)習(xí)不僅僅是對前兩年知識做簡單梳理，還要在學(xué)生已有知識體系的基礎(chǔ)上提煉“高階”的思想方法. 限于高一、高二的課時(shí)壓力與知識體系構(gòu)建的完成度，許多高效的解題方法需要在高三復(fù)習(xí)時(shí)傳授給學(xué)生，這也符合學(xué)生認(rèn)知螺旋上升的特點(diǎn). 以齊次化為例，它作為一種運(yùn)算策略，早在高一處理正切的商數(shù)關(guān)系時(shí)就有滲透，那時(shí)叫它“1的妙用”. 2022年新高考Ⅰ卷的解析幾何題更加凸顯了齊次化的重要性，使得應(yīng)不應(yīng)教學(xué)“二級結(jié)論”“特殊方法”再次成為熱議的焦點(diǎn). 實(shí)際上，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平三明確要求“能夠理解數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，能夠感悟高度概括、有序多級的數(shù)學(xué)知識體系”;邏輯推理素養(yǎng)的水平三也明確要求“對于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，能夠通過構(gòu)建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題”[1]. 齊次化就屬于一般數(shù)學(xué)結(jié)論的高度概括，包含許多過渡性命題. 因此，齊次化作為課本外的“舶來品”絕非超綱知識，反而是貫穿高中數(shù)學(xué)的方法之一.

基于上述分析和思考，筆者借助齊次化在圓錐曲線中的應(yīng)用實(shí)錄，就提升高考復(fù)習(xí)質(zhì)量談幾點(diǎn)認(rèn)識.

教學(xué)過程回顧

1. 真題再現(xiàn)，課題引入

引例 （2022年新高考Ⅰ卷第21題節(jié)選）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C：-=1（a>1）上，直線l交C與P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0. 求l的斜率.

師：相信大家對2022年全國新高考Ⅰ卷的難度有所耳聞，現(xiàn)在我們迎難而上. 這是試卷中的解析幾何題，請大家談?wù)勛约旱慕忸}思路.

生1：斜率可先用定義表示出來，再相加起來，通過方程聯(lián)立、韋達(dá)定理求解.

師：符合直覺回答，大部分題目都可以用這種方法來解決. 現(xiàn)在給大家展示一下參考答案. （用PPT展示）

由題可得-=1，解得a2=2，所以雙曲線的方程為-y2=1.

根據(jù)題意可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m.

聯(lián)立y=kx+m，-y2=1，得（2k2-1）x2+4kmx+2m2+2=0，Δ=-16k2+8m2+8>0，即m2-2k2+1>0. 設(shè)P（x，y），Q（x，y），則x+x=

由題可知，k+k=+==0，即（y-1）（x-2）+（y-1）（x-2）=0，整理得2k2+（m+1）k+m-1=0，即（k+1）（2k+m-1）=0，得k=-1或2k+m-1=0.

當(dāng)2k+m-1=0時(shí)，m=1-2k，則直線l的方程為y=kx+1-2k，整理得y-1=k（x-2），過定點(diǎn)（2，1），不符題意，舍去.

綜上所述，直線l的斜率k=-1.

（看到參考答案后，學(xué)生驚呼，議論紛紛.）

師：大家為什么會覺得難？

生2：運(yùn)算量太大了，考試時(shí)沒有那么多時(shí)間算.

師：確實(shí)有相當(dāng)大的運(yùn)算量，而且僅僅是第一小題的運(yùn)算過程. 大家分析過這么復(fù)雜的運(yùn)算是如何產(chǎn)生的嗎？

生3：將韋達(dá)定理的式子代入斜率相加的式子，變形化簡的過程很復(fù)雜.

師：沒錯(cuò)，y，y要用直線方程表示為關(guān)于x，x的式子，才能將斜率之和整理為可用韋達(dá)定理的形式，代入韋達(dá)定理的式子后，還要將結(jié)果進(jìn)行因式分解，通過l不過點(diǎn)A求得斜率. 這個(gè)過程的本質(zhì)是將k+k=0轉(zhuǎn)化為關(guān)于xx與x+x的表達(dá)式，從而與韋達(dá)定理建立聯(lián)系. 如果有種方法能夠避免這個(gè)轉(zhuǎn)化過程，就能很大程度上簡化運(yùn)算. 這節(jié)課學(xué)習(xí)的齊次化就能做到這一點(diǎn)，相信大家掌握后都能輕松地解決這道高考試題.

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課以高考試題為引例，通過參考答案的展示，讓學(xué)生感受到常規(guī)方法的復(fù)雜運(yùn)算，順理成章地引出能夠簡化運(yùn)算的齊次化，從內(nèi)部激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的驅(qū)動力. 最后點(diǎn)明導(dǎo)致運(yùn)算復(fù)雜的根源是將k+k=0轉(zhuǎn)化為關(guān)于xx與x+x的表達(dá)式，而齊次化可以避免這種轉(zhuǎn)化，為學(xué)生理解它的本質(zhì)做好了鋪墊.

師：我們先通過一道例題來掌握齊次化的運(yùn)算原理與書寫格式.

例題：已知直線l與拋物線C：y2=4x相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). 若直線OP與OQ的斜率之和為4，求證直線l過定點(diǎn).

師：設(shè)P（x，y），Q（x，y），如果我們能得到一個(gè)關(guān)于斜率k的二次方程，而不是關(guān)于x的，就能避免復(fù)雜的轉(zhuǎn)化. 如何才能實(shí)現(xiàn)這點(diǎn)呢？

（經(jīng)過短暫的思考）

生4：k=，若y2=4x的兩邊同除以x2，可得k2=.

生5：不對，不能同除以x2，同除以x得到y(tǒng)k=4也不行.

師：沒錯(cuò)，由于y2=4x中y與x的次數(shù)不同，處理成k2=，yk=4都有雙變量，還不能達(dá)到斜率k的二次方程的變形目的. 因此，我們的首要目標(biāo)是使y與x“齊次”. 關(guān)注到P，Q是交點(diǎn)，我們往往通過方程聯(lián)立來求交點(diǎn). 同學(xué)們能否通過方程聯(lián)立使之齊次并得到關(guān)于斜率k的二次方程？

（經(jīng)過一段時(shí)間的思考與討論，用希沃白板投影學(xué)生的解答過程.）

師：我選了兩位解答寫得比較清楚的同學(xué)，請他們來講講思路.

生6：為了使y與x的次數(shù)相同，我將直線方程與拋物線方程相乘，這樣y，x都是二次了.

生7：我和他的想法一樣，不過生6直接將兩方程相乘，等號就不成立了. 為了使等號成立要乘上1，即先把直線方程變成1=的形式再乘上去，每項(xiàng)都有了二次，兩邊再同除以x2就可得到關(guān)于斜率k的二次方程，最后用韋達(dá)定理便可以解決了.

師：兩位同學(xué)的想法都很好，聯(lián)立的關(guān)鍵就是將一次項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)以保證各項(xiàng)次數(shù)相同，因此稱之為齊次化. 接下來請大家分析我的解答過程. （用PPT投影解答過程）

設(shè)直線l：mx+ny=1，P（x，y），Q（x，y）.

聯(lián)立mx+ny=1，

y2=4x，得y2=4x（mx+ny）?y2-4nxy-4mx2=0①.

①式兩邊同除以x2得

-4n-4m=0.

k+k=+=4n=4?n=1.

即l：mx+y=1，過定點(diǎn)（0，1）.

生8：直線方程的設(shè)立和以前的不一樣，設(shè)成mx+ny=1可以直接相乘，不需要變形.

師：非常好，這次聯(lián)立過程時(shí)使用了一種全新的直線方程，加上此前常用的兩種設(shè)法，我們現(xiàn)在有了三種直線方程的設(shè)法. 誰能總結(jié)它們的使用條件？

生9：y=kx+b在消y方便的時(shí)候使用，但不能表示斜率不存在的直線;x=my+n在消x方便的時(shí)候使用，但不能表示斜率為0的直線;mx+ny=1在齊次化的時(shí)候使用，沒有限制條件.

設(shè)計(jì)意圖 經(jīng)歷知識的生長而不是強(qiáng)行灌輸，能有效避免書寫格式的機(jī)械記憶，把握齊次化的本質(zhì).展示三個(gè)不同的解答過程意在使學(xué)生經(jīng)歷觀察、試錯(cuò)、類比、歸納、總結(jié)的數(shù)學(xué)思維過程，讓學(xué)生參與新知識的誕生和發(fā)展，積累數(shù)學(xué)思考的基本經(jīng)驗(yàn).

師：總結(jié)得很準(zhǔn)確，根據(jù)題目設(shè)合適的直線方程能簡化運(yùn)算. 齊次式通過作商得到關(guān)于斜率k的二次方程減少了運(yùn)算，實(shí)際上這種方法我們早已接觸過.

（學(xué)生沉默思考）

師：比如三角函數(shù)的“1的妙用”，通過齊次式找到“切與弦”的轉(zhuǎn)化關(guān)系，如1+sin2α??，還有其他的嗎？

（學(xué)生驚嘆，全新的知識原來早就掌握了.）

生10：比如計(jì)算圓錐曲線的離心率時(shí)，在a2+ac+c2=0齊次的情況下，兩邊同除以a2就能得到關(guān)于e的二次方程.

師：很好，大家要理解齊次化的本質(zhì)是一種計(jì)算手段，它用于構(gòu)造一個(gè)以比值為變量的二次方程以簡化運(yùn)算.

設(shè)計(jì)意圖 將新概念與學(xué)生已有的知識儲備和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)相連接，挖掘齊次式與二次方程的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)的“1的妙用”、圓錐曲線的離心率的計(jì)算中，類比理解齊次化的算理，促使學(xué)生知其然且知其所以然.

2. 變式教學(xué)，強(qiáng)化理解

變式題1：已知直線l與拋物線C：y2=4x相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若直線OP與OQ的斜率之積為4，求證：直線l過定點(diǎn).

師：將斜率之和改為斜率之積，過程會怎么變呢？

生11：聯(lián)立得到的齊次式不變，利用韋達(dá)定理得kk=-4m=4?m=-1，直線l：-x+ny=1，過定點(diǎn)（-1，0）.

師：很好，遇到斜率之積或斜率之和為定值的條件，我們就可以嘗試使用齊次化解題. 繼續(xù)變式——將原點(diǎn)O改為A，過程又會如何變化？

變式題2：已知直線l與拋物線C：y2=4x相交于P，Q兩點(diǎn)，A（4，4）. 若直線AP與AQ的斜率之和為0，求直線l的斜率.

生12：斜率變?yōu)閗=，k=，不再是齊次式

-4n-4m=0的根. 斜率之和為定值的類似問題就不能再用韋達(dá)定理解決了.

師：沒錯(cuò)，齊次式是關(guān)于的二次方程，兩點(diǎn)中有一個(gè)是原點(diǎn)才能使關(guān)于的方程與關(guān)于斜率的方程等價(jià). 如何才能使變式題2化歸為例題呢？

生13：只要把點(diǎn)A平移到原點(diǎn)就可以.

師：很好，但為了保持斜率的關(guān)系不變，平移點(diǎn)A的同時(shí)也要平移點(diǎn)P，Q. 平移這三個(gè)點(diǎn)，其實(shí)就是平移坐標(biāo)系. 為了與xOy坐標(biāo)系有所區(qū)別，可使用XAY來表示以A為原點(diǎn)的新坐標(biāo)系，它與xOy坐標(biāo)系的關(guān)系是X=x-4，

Y=y-4，即將xOy坐標(biāo)系內(nèi)的A（4，4）代入XAY坐標(biāo)系得X=0，

Y=0，使A成為原點(diǎn). 在XAY坐標(biāo)系中，變式題2化歸為例題. 書寫按照如下格式. （用PPT投影展示）

設(shè)以A為原點(diǎn)的坐標(biāo)系為XAY，則X=x-4，

Y=y-4，即x=X+4，

y=Y+4①，直線l：mX+nY=1.

將①式代入C：y2=4x，得Y2+8Y-4X=0.

聯(lián)立Y2+8Y-4X=0，

mX+nY=1，得Y2+8Y（mX+nY）-4X（mX+nY）=0，即（1+8n）Y2+（8m-4n）XY-4mX2=0.

兩邊同除以X2，得（1+8n）+（8m-4n）-4m=0，所以k+k= -=0?2m=n. 故k=-=-.

設(shè)計(jì)意圖 通過變式設(shè)置理解階梯，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地分步掌握不同形式的齊次化技巧與書寫格式.規(guī)范的書寫格式是應(yīng)試中的重要一環(huán)，實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)將平移后的坐標(biāo)系設(shè)為XAY（A為平移后的原點(diǎn)）更能被學(xué)生接受. 變式題1的設(shè)置讓學(xué)生理解齊次化的使用條件;變式題2的設(shè)置讓學(xué)生通過化歸思想，將一般問題轉(zhuǎn)化為以原點(diǎn)為起點(diǎn)的特殊問題.

3. 錯(cuò)解辨析，主動歸因

師：接下來請大家依照此格式完成引例的第一問.

（經(jīng)過一段時(shí)間的思考與討論，用希沃白板投影學(xué)生的解答過程.）

師：我發(fā)現(xiàn)大家通過剛才的示范已經(jīng)能夠順利得到答案了，并且總體框架、解題步驟、符號運(yùn)用等都是比較規(guī)范的，但細(xì)節(jié)上還存在差異. 我挑選了兩位同學(xué)的解答過程，大家比較一下.

生16：生15的坐標(biāo)軸平移錯(cuò)了，把點(diǎn)A代入得到的坐標(biāo)是（4，2）而不是原點(diǎn)，但后面怎么算著算著就對了？生14才是對的.

生17：生14也是錯(cuò)的，她把x-2，y-1代入雙曲線的方程-y2=1了，應(yīng)該把X+2，Y+1代進(jìn)去. 生15的坐標(biāo)系寫錯(cuò)了，代入也錯(cuò)了，錯(cuò)上加錯(cuò)反而答案寫對了.

（學(xué)生笑，課堂氣氛活躍.）

生15：說不定我這樣寫也對呢？我答案都算出來了.

師：為什么過程明明是錯(cuò)的，但最終結(jié)果卻是對的呢？誰能為大家解惑呢？

（生15的回答出乎意料，筆者順勢拋出問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)——坐標(biāo)轉(zhuǎn)化.）

生18：我好像知道了，因?yàn)槲易约簩懙氖菍Φ? 我把他們寫的斜率之和的式子與我的比較了一下，相差一個(gè)正負(fù)號. 但這題的條件剛好是斜率之和為0，所以最終結(jié)果是m=n，得到斜率是-1.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生在解題實(shí)踐中的典型錯(cuò)誤是最好的糾錯(cuò)素材，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考完成自我糾錯(cuò)，充分暴露思維過程. 同時(shí)能讓未犯錯(cuò)的學(xué)生汲取教訓(xùn)，避免常見錯(cuò)誤的發(fā)生，完善個(gè)體認(rèn)知體系.

師：原來如此，答案對但過程不一定對. 生14、生15已經(jīng)把兩種經(jīng)典的錯(cuò)誤展示了出來，我們要注重坐標(biāo)轉(zhuǎn)化與書寫格式來避免錯(cuò)誤的發(fā)生. 我們完成了課前的目標(biāo)，使用齊次化高效地解決了高考試題，現(xiàn)在誰能總結(jié)一下這種方法？

生19：看到斜率之積或斜率之和為定值時(shí)就可以使用齊次化這種方法.

生20：計(jì)算斜率的兩個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)為原點(diǎn)，否則需要平移坐標(biāo)系.

生21：將直線方程設(shè)為mx+ny=1最有利于計(jì)算.

師：很好，大家從“使用條件”“一般情況與特殊情況的轉(zhuǎn)化”“直線的設(shè)立”三個(gè)方面深度理解了齊次化的使用模型與書寫格式.最后留給大家一道思考題，請?jiān)谡n后獨(dú)立完成.

思考題：請用流程框圖的形式展示你所掌握的齊次化解題過程.

設(shè)計(jì)意圖 將總結(jié)的任務(wù)交給學(xué)生，使其對本節(jié)課有整體認(rèn)識，思維得到升華.思考題讓學(xué)生用流程框圖重現(xiàn)齊次化的解題步驟，使其反思自身的解題邏輯是否周密，從而完善學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)，鞏固課堂學(xué)習(xí)成果.（在此展示一份學(xué)生的流程框圖，如圖5所示.）

教學(xué)思考

1. 激發(fā)興趣，積極參與課堂

“若教師不能在學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生高昂和振奮的心理狀態(tài)下就急于授課，此時(shí)傳授的知識只會讓學(xué)生處于冷漠狀態(tài)”.學(xué)習(xí)新解法的興趣主要源于常規(guī)解法的局限性和新方法的高效性. 本節(jié)課選取高考試題為問題主線，讓學(xué)生在實(shí)戰(zhàn)中意識到原有方法的局限性，充分激發(fā)他們掌握新方法的熱情，為學(xué)生學(xué)習(xí)奠定“主人翁”精神基礎(chǔ).

2. 試錯(cuò)糾錯(cuò)，認(rèn)知螺旋上升

復(fù)習(xí)過程中出錯(cuò)在所難免，通過反復(fù)試錯(cuò)糾錯(cuò)完成認(rèn)知的螺旋hdLRc4R8LXAECtkP67LAVw==上升才能在高考中少犯錯(cuò). 本節(jié)課通過信息技術(shù)展示典型錯(cuò)誤，引導(dǎo)全班參與試錯(cuò)糾錯(cuò)過程. 一方面讓犯錯(cuò)的學(xué)生在自我糾錯(cuò)的過程中完善自我，避免一錯(cuò)再錯(cuò);另一方面讓未犯錯(cuò)的學(xué)生汲取教訓(xùn)，避免犯同樣的錯(cuò). 教師在糾錯(cuò)過程中既要給學(xué)生充分的空間進(jìn)行獨(dú)立思考，又要扮演好“引導(dǎo)者”的角色[2]，要讓學(xué)生成為糾錯(cuò)主體.

3. 鏈接舊知，建構(gòu)系統(tǒng)知識

復(fù)習(xí)課需要建立在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上，將已有知識作為養(yǎng)料，生長新的思想方法. 本節(jié)課建立在學(xué)生已知的韋達(dá)聯(lián)立的知識基礎(chǔ)上，類比三角函數(shù)的“1的妙用”、圓錐曲線的離心率的計(jì)算中的齊次化處理技巧，提煉齊次化與韋達(dá)定理相聯(lián)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生掌握新方法的同時(shí)完善知識結(jié)構(gòu).

4. 總結(jié)鞏固，獨(dú)立課后反思

在新高考背景下，更應(yīng)改變“滿堂灌”的舊模式，預(yù)留一定時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行自我反思與總結(jié). 通過學(xué)生的自我審視，對解題過程、方法等內(nèi)容進(jìn)行再認(rèn)識、再學(xué)習(xí)[3]. 本節(jié)課將總結(jié)的任務(wù)交給學(xué)生，通過大家的相互補(bǔ)充，使學(xué)生更加完整地認(rèn)識到齊次化. 課后要求學(xué)生通過流程框圖反思自身的解題邏輯是否周密，從而鞏固課堂學(xué)習(xí)成果.

教育變革如此激烈的當(dāng)下，我們要在復(fù)習(xí)過程中打開格局，滲透齊次化等高階思維方法，同時(shí)要避免掉入只記形式不懂原理的陷阱. 通過創(chuàng)設(shè)開放、平等、以生為主的課堂環(huán)境，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、試錯(cuò)、類比、歸納、總結(jié)的數(shù)學(xué)思維過程，最終形成生動又高效的復(fù)習(xí)課堂.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 曾勤. 談“以生為主”的糾錯(cuò)教學(xué)的設(shè)計(jì)與思考[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022 （24）：68-70.

[3] 吳春林. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中反思性教學(xué)的研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（24）：52-54.

作者簡介：盧象鵬（1996—），教育碩士，中學(xué)二級教師，從事數(shù)學(xué)教育研究工作.