[摘 要] 關(guān)注數(shù)學(xué)聯(lián)系，突出知識(shí)間的融合關(guān)系，可促使學(xué)生更好地理解教學(xué)內(nèi)容，提升學(xué)習(xí)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 文章以“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，從“新舊聯(lián)系，揭露主題”“多元聯(lián)系，構(gòu)建新知”“變式應(yīng)用，鞏固新知”“歸納總結(jié)，提煉升華”四個(gè)環(huán)節(jié)談一談設(shè)計(jì)理念與思考.

[關(guān)鍵詞] 聯(lián)系;融合;核心素養(yǎng)

辯證唯物主義認(rèn)為事物之間具有普遍聯(lián)系的特征. 數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間、數(shù)學(xué)知識(shí)與知識(shí)之間都有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系. 關(guān)注知識(shí)聯(lián)系，挖掘其中的融合關(guān)系是完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路. 數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)可視為與數(shù)學(xué)相關(guān)的各種聯(lián)系所組成的蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)，它由縱橫交錯(cuò)的聯(lián)系所組成，其中包含了并列、相似等層級(jí)結(jié)構(gòu)[1].

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 新舊聯(lián)系，揭露主題

問(wèn)題1 在本節(jié)課之前，大家已經(jīng)探索過(guò)一些曲線，還記得當(dāng)時(shí)研究了它們的哪些內(nèi)容嗎？用了哪些研究方法或思路？

問(wèn)題2 本節(jié)課將要研究拋物線這一類曲線，猜想需要研究它的哪些內(nèi)容，可以用什么方法來(lái)研究？

上述兩個(gè)問(wèn)題成功激發(fā)了學(xué)生的興趣. 經(jīng)回憶，學(xué)生提出之前探索過(guò)的曲線有橢圓、雙曲線等，著重從它們的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)與應(yīng)用等方面展開(kāi)了分析與探究，基本思路可分為如下幾步：①抽象曲線的定義;②結(jié)合定義構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)方程;③探索曲線的幾何性質(zhì);④探尋直線與曲線之間的位置關(guān)系;⑤用曲線性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.

類比橢圓與雙曲線的研究方法，學(xué)生認(rèn)為拋物線的研究可從“定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)與應(yīng)用”四個(gè)方面展開(kāi). 教師順勢(shì)揭露本節(jié)課的教學(xué)主題為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖 舊知研究方法的回憶為學(xué)生指明了新知研究方向，在師生積極的互動(dòng)中，學(xué)生不僅明確了本節(jié)課的研究主題，還從宏觀的角度認(rèn)識(shí)了拋物線的研究思路. 此環(huán)節(jié)明確提出本節(jié)課教學(xué)的主要目的在于讓學(xué)生明晰研究拋物線的思維策略.

研究解析幾何不外乎兩個(gè)方向：①結(jié)合已知條件建立曲線方程;②由方程分析曲線的幾何性質(zhì). 不論是從代數(shù)還是幾何的角度出發(fā)進(jìn)行研究，都離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 此環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)成功增強(qiáng)了前后知識(shí)、方法與思想的聯(lián)系，為接下來(lái)的教學(xué)做鋪墊.

2. 多元聯(lián)系，構(gòu)建新知

問(wèn)題3 拋物線的定義是什么？如何驗(yàn)證該定義？拋物線的形狀是怎樣的？

如圖1所示，教師借助信息技術(shù)手段（幾何畫(huà)板）動(dòng)態(tài)演示拋物線的形成過(guò)程，并要求學(xué)生說(shuō)一說(shuō)每一條拋物線上的特殊點(diǎn)是什么.

追問(wèn)：在我們生活實(shí)際中存在大量拋物線，請(qǐng)列舉一些實(shí)例.

設(shè)計(jì)意圖 明確拋物線的概念是建立拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的前提，從猜想到驗(yàn)證離不開(kāi)學(xué)生積極的思考，由定義出發(fā)實(shí)施教學(xué)是最常見(jiàn)的教學(xué)策略. 此處，教師帶領(lǐng)學(xué)生緊緊圍繞拋物線的定義，從“三定”（定點(diǎn)、定直線、定距離）確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并借助幾何畫(huà)板引發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)線段KF的中點(diǎn)的特殊性. 列舉生活實(shí)例，意在讓學(xué)生感知生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，感悟研究拋物線的重要性.

問(wèn)題4 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程該如何推導(dǎo)？想一想橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法.

在問(wèn)題4的引導(dǎo)下，師生、生生積極互動(dòng)，共同復(fù)習(xí)并總結(jié)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，分別為：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代入與化簡(jiǎn).

追問(wèn)1：推導(dǎo)拋物線方程的第一步是建系，該怎么建系呢？為什么？

學(xué)生通過(guò)合作交流，最終獲得三類建系方法（見(jiàn)圖2）.

追問(wèn)2：觀察這三種建系方法，哪種更便利一些？說(shuō)明理由.

要求各個(gè)小組選擇其中一種建系方法，用來(lái)推導(dǎo)拋物線的方程，完成后各小組展示交流.

學(xué)生對(duì)這三種建系方法進(jìn)行運(yùn)算與推理后獲得方程：①y2=2px-p2;②y2=2px;③y2=2px+p2. 其中p>0，p=KF.

新知建構(gòu)1 根據(jù)上述結(jié)論，學(xué)生經(jīng)交流后一致認(rèn)為第二種建系方法最簡(jiǎn)潔、美觀，由此確定y2=2px為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，

，0為焦點(diǎn)坐標(biāo)，x=-為準(zhǔn)線方程，這里涉及焦準(zhǔn)距（用p表示）的概念，即焦點(diǎn)F到相應(yīng)準(zhǔn)線l的距離.

在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，從真正意義上明晰拋物線方程的建立應(yīng)遵循的步驟，并通過(guò)互動(dòng)明確建系方法，在最簡(jiǎn)潔、最美原則的驅(qū)使下，確定最合理的建系方法. 由于曲線關(guān)于橫軸對(duì)稱，不關(guān)于縱軸對(duì)稱，因此方程必然含y2項(xiàng)，不含x2項(xiàng)（但含x項(xiàng)）.

上述一系列的教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力、抽象能力、運(yùn)算素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng)等具有重要意義. 因此，突出知識(shí)間的融合關(guān)系是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

問(wèn)題5 是否還存在其他的建系方法？如調(diào)整拋物線的開(kāi)口方向，又能獲得哪些形式的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

面對(duì)問(wèn)題5，基于獨(dú)立思考與合作交流，學(xué)生很快就提出了新的建系方法（見(jiàn)圖3）.

鑒于學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象的對(duì)稱變化比較熟悉，此處教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱變化的角度來(lái)猜想與論證方程，獲得以下三類形式的標(biāo)準(zhǔn)方程：①y2=-2px;②x2=2py;③x2=-2py. 其中p>0.

追問(wèn)1：上述三類形式的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些異同點(diǎn)？

追問(wèn)2：函數(shù)y=x2-2x+3的圖象確定為拋物線，我們能否確定它是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

追問(wèn)3：若y2=x和y=x2的圖象均為拋物線，這兩者是否均為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？是否都能表述為“y是x的函數(shù)”？

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)通過(guò)幾種建系方法的類比，使學(xué)生感知其中的共同點(diǎn)為：這些都是二元二次方程，零點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)均位于坐標(biāo)軸上;差異點(diǎn)為：方程中的符號(hào)、一次項(xiàng)、平方項(xiàng)不同，拋物線的開(kāi)口方向與焦點(diǎn)位置不同. 綜上可知，一次項(xiàng)的變量決定焦點(diǎn)位于的坐標(biāo)軸，一次項(xiàng)的正負(fù)決定焦點(diǎn)所在的位置.

上述設(shè)計(jì)的目的在于讓學(xué)生明確“焦點(diǎn)看字母，開(kāi)口看符號(hào)”的規(guī)律，深化學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念，以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí).

新知建構(gòu)2 填表分析：

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)計(jì)該表格的意圖在于突出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其他知識(shí)之間的聯(lián)系：第一點(diǎn)，讓學(xué)生感知概念的基礎(chǔ)性作用;第二點(diǎn)，借助圖象、焦點(diǎn)坐標(biāo)、開(kāi)口方向、準(zhǔn)線方程等，表征拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生從多維度理解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從真正意義上實(shí)現(xiàn)知識(shí)的互相轉(zhuǎn)化與融合;第三點(diǎn)，類比二次函數(shù)，凸顯方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，促使學(xué)生重新審視自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為形成批判性思維奠定基礎(chǔ).

3. 變式應(yīng)用，鞏固新知

例1 已知y2=4x為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程分別是什么？

變式題1：已知y=4x2為拋物線的方程，那么該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程分別是什么？

變式題2：已知（-2，0）為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，那么該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

變式題3：已知y=-1為拋物線的準(zhǔn)線方程，那么該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

例2 若拋物線過(guò)點(diǎn)P（-2，4），寫(xiě)出該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式題：如果拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的某一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F之間的距離恰巧是4，y軸與點(diǎn)P之間的距離為1，那么該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方式是什么？

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)數(shù)學(xué)事物進(jìn)行準(zhǔn)確表征是學(xué)生獲得長(zhǎng)時(shí)記憶的重要方法，究竟該如何從多維度準(zhǔn)確表征同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，是值得每一個(gè)學(xué)生思考的問(wèn)題，靈活轉(zhuǎn)化與理解表征方式是學(xué)生從真正意義上掌握新知的關(guān)鍵[2]. 此環(huán)節(jié)，教師借助例題和變式題，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)具體的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、圖象等進(jìn)行拓展，促使學(xué)生從真正意義上掌握教學(xué)內(nèi)容，在理解的基礎(chǔ)上觸類旁通，穩(wěn)固認(rèn)知結(jié)構(gòu).

4. 歸納總結(jié)，提煉升華

問(wèn)題6 本節(jié)課所研究的與拋物線相關(guān)的內(nèi)容有哪些？應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

問(wèn)題7 根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本研究思路來(lái)看，后續(xù)咱們研究的內(nèi)容有什么？

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課教學(xué)的目的并不僅僅在于傳授知識(shí)與技能，更重要的是優(yōu)化學(xué)生的思維，促使學(xué)生自主探尋知識(shí)間的聯(lián)系，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)服務(wù). 總結(jié)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)一方面促使學(xué)生縱觀整節(jié)課的教學(xué)過(guò)程，從宏觀的角度來(lái)分析研究過(guò)程、思路與方法，提煉數(shù)學(xué)思想，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力;另一方面為接下來(lái)的教學(xué)奠定基礎(chǔ).

幾點(diǎn)思考

1. 關(guān)注類比，觸類旁通

開(kāi)普勒曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：類比是最值得信賴的老師，它能有效揭示數(shù)學(xué)的奧秘，因此我珍視類比勝過(guò)一切. 類比是將兩個(gè)在某些方面相似或相同的對(duì)象放在一起比較，推導(dǎo)出它們?cè)谄渌矫嫦嗨苹蛳嗤囊环N推理形式，它是揭露數(shù)學(xué)規(guī)律，以及數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系的重要方法[3].

在教學(xué)中，新舊知識(shí)的類比可將原有知識(shí)作為新知的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，使學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)新知的特征與規(guī)律，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的觸類旁通. 本節(jié)課的雙曲線、橢圓的研究思路與拋物線的研究一脈相承，因此類比它們，可促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知順應(yīng)與同化，成功構(gòu)建新知.

2. 關(guān)注聯(lián)系，融會(huì)貫通

將各個(gè)知識(shí)有機(jī)地融合在一起，形成完整的知識(shí)體系可深化學(xué)生理解. 事實(shí)證明，數(shù)學(xué)知識(shí)間，大到學(xué)科，小到知識(shí)點(diǎn)，都存在一定聯(lián)系. 關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系，并從整體性與邏輯性的角度認(rèn)識(shí)、理解、應(yīng)用這些聯(lián)系，可掌握知識(shí)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通，這也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)不可或缺的一關(guān).

3. 緊扣本質(zhì)，一通百通

在教學(xué)中，若將目光鎖定在“部分”上，則學(xué)生無(wú)法從真正意義上理解知識(shí)間的聯(lián)系;只有緊扣知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)知識(shí)“部分”與“整體”的融通，才能讓學(xué)生從真正意義上理解教學(xué)內(nèi)容. 本節(jié)課的本質(zhì)為“建系”，因此教師在授課時(shí)緊扣這個(gè)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從真正意義上實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的一通百通，能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1] 約翰·杜威. 我們?nèi)绾嗡季S[M]. 北京：新華出版社，2010.

[2] 李庾南. （數(shù)學(xué)）自學(xué)·議論·引導(dǎo)（教學(xué)法）[M]. 北京：人民教育出版社，2004.

[3] G.波利亞. 數(shù)學(xué)與猜想：數(shù)學(xué)中的歸納和類比[M]. 李心燦，王日爽，李志堯，譯. 北京：科學(xué)出版社，2001.

作者簡(jiǎn)介：沈佳瑤（1999—），本科學(xué)歷，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.