摘 要：針對(duì)永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)易受突變負(fù)載影響導(dǎo)致轉(zhuǎn)速下降的問(wèn)題，結(jié)合二階自抗擾控制器，實(shí)現(xiàn)了電機(jī)自抗擾控制。首先，給出了電機(jī)d-q軸數(shù)學(xué)模型，解決了ABC坐標(biāo)系下電機(jī)多變量、非線性等問(wèn)題；其次，針對(duì)電機(jī)d-q軸下的數(shù)學(xué)模型研究了q軸二階自抗擾控制器；最后，在MATLAB/Simulink中進(jìn)行了變速和加負(fù)載仿真，結(jié)果表明，二階自抗擾控制器具有較好的魯棒性、抗擾性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)性。

關(guān)鍵詞：永磁同步電機(jī)；二階自抗擾；矢量控制

中圖分類號(hào)：TP312；TM341 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2024）13-0107-05

Vector Control of Permanent Magnet Synchronous Motor Based on

Second-order Active Disturbance Rejection

LIAO Xiaolu

（Unit 75842， Guangzhou 510599， China）

Abstract： In order to solve the problem that the speed of permanent magnet synchronous motor speed control system is reduced due to sudden load， a second-order active disturbance rejection controller is combined to realize the motor active disturbance rejection control. Firstly， the d-q axis mathematical model of the motor is given， and the problems of multi-variable and nonlinear of the motor in ABC coordinate system are solved. Secondly， the q-axis second-order active disturbance rejection controller is researched according to the mathematical model of d-q axis. Finally， variable speed and load simulation are carried out in MATLAB/Simulink. The results show that the second-order ADRC has good robustness， immunity and dynamic response performance.

Keywords： permanent magnet synchronous motor; second-order active disturbance rejection; vector control

0 引 言

永磁同步電機(jī)（Permanent Magnet Synchronous Motor， PMSM）憑借高功率密度、高效率等優(yōu)勢(shì)廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、數(shù)控機(jī)床及航空航天設(shè)備等需要高性能的調(diào)速系統(tǒng)中[1]。目前，高性能系統(tǒng)對(duì)PMSM調(diào)速系統(tǒng)提出了更高的要求，系統(tǒng)在面臨因突加負(fù)載等因素而導(dǎo)致轉(zhuǎn)速突變時(shí)，不僅要減小轉(zhuǎn)速的下降范圍，還要保證系統(tǒng)能夠在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)[2-3]。

電機(jī)常用的轉(zhuǎn)速和電流控制器有PI、滑模控制（Sliding Mode Control， SMC）和自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control， ADRC）三種[4]。其中PI控制器是工程上應(yīng)用較多的控制器，它利用誤差信號(hào)計(jì)算控制器的輸出，并通過(guò)比例和積分兩個(gè)參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)控制器的性能[5]。SMC是一種以系統(tǒng)非線性特性為前提，基于滑模曲線的概念使系統(tǒng)在滑模面上運(yùn)行，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的控制[6]。然而，這兩種控制器的魯棒性受限，在面臨電機(jī)突加負(fù)載情況時(shí)難以以較快的響應(yīng)速度恢復(fù)到給定轉(zhuǎn)速，加之SMC對(duì)系統(tǒng)模型的精確性要求較高[7-9]。因此，具有強(qiáng)魯棒性和良好動(dòng)態(tài)性能的ADRC控制器是目前電機(jī)驅(qū)動(dòng)界的研究熱點(diǎn)。李培康等設(shè)計(jì)了基于負(fù)載估計(jì)的復(fù)合自抗擾調(diào)速策略，將PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)負(fù)載突變時(shí)轉(zhuǎn)速最大減少量抑制到30% [10]。李白雅等為了實(shí)現(xiàn)在系統(tǒng)具有良好魯棒性的同時(shí)縮短系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間，采用Sigmoid函數(shù)對(duì)自抗擾控制進(jìn)行了改進(jìn)，該方法比傳統(tǒng)ADRC的抗擾能力更強(qiáng)，恢復(fù)時(shí)間更短[11]。

當(dāng)前，大部分研究人員對(duì)電流環(huán)和轉(zhuǎn)速環(huán)僅研究了ADRC，其形式均為一階，而一階形式中包含的過(guò)渡過(guò)程無(wú)法產(chǎn)生微分信號(hào)，后續(xù)的誤差反饋過(guò)程只能成比例形式的體現(xiàn)；若將ADRC拓展為二階形式則可產(chǎn)生微分信號(hào)。結(jié)合上述問(wèn)題，本文的主要工作安排如下：

1）對(duì)PMSM電壓和磁鏈方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，給出電機(jī)d-q軸數(shù)學(xué)模型，解決了ABC坐標(biāo)系下PMSM存在的多變量、非線性等問(wèn)題。

2）在id = 0矢量控制策略框架下，將轉(zhuǎn)速環(huán)控制器和q軸電流環(huán)控制器合二為一，研究了二階形式的ADRC，該形式控制器在實(shí)現(xiàn)無(wú)超調(diào)的同時(shí)提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

3）在MATLAB/Simulink仿真環(huán)境中搭建了PMSM矢量控制系統(tǒng)，證明了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

PMSM在傳統(tǒng)ABC坐標(biāo)系下的電壓和磁鏈方程表示如下：

式中，uA、uB、uC、iA、iB、iC、ψA、ψB、ψC分別表示ABC坐標(biāo)系下的電壓、電流和磁鏈值；ψf表示永磁體磁鏈值；Rs表示定子電阻值；θe表示轉(zhuǎn)子電角度。在式（2）磁鏈方程中三相繞組自感的表達(dá)式如下：

結(jié)合式（1）（2）（3）可以看出，PMSM在傳統(tǒng)ABC坐標(biāo)系下電壓和磁鏈方程具有多變量、強(qiáng)耦合及非線性的特點(diǎn)，需將其坐標(biāo)變換到d-q坐標(biāo)系下以減少變量和消除非線性，d-q坐標(biāo)系下電壓和磁鏈方程可表示為：

式中，ud、uq、id、iq、ψd、ψq分別表示同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的d軸和q軸電壓、電流和磁鏈；ωe表示轉(zhuǎn)子電角速度。

此外，在后續(xù)研究二階ADRC時(shí)還需給出d和q軸下的運(yùn)動(dòng)方程和電流方程，其形式如下：

式中，ωm表示機(jī)械角速度，TL表示負(fù)載，B表示摩擦系數(shù)，Kt表示推力系數(shù)，對(duì)ωm再次求導(dǎo)，并將電流狀態(tài)方程代入，進(jìn)行一定的變換，得到如下方程：

2 二階自抗擾控制器ADRC

二階ADRC具體共分為三個(gè)環(huán)節(jié)，即過(guò)渡過(guò)程、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器及線性狀態(tài)誤差反饋，下面對(duì)這三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行理論推導(dǎo)并給出最終的二階ADRC形式。

2.1 過(guò)渡過(guò)程

傳統(tǒng)PI控制器無(wú)法在保證速度的同時(shí)解決超調(diào)問(wèn)題，而跟蹤微分器（Tracking Differentiator， TD）可以解決這個(gè)矛盾，即能夠以無(wú)超調(diào)形式使PMSM快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，因此過(guò)渡過(guò)程采用跟蹤微分器可顯著提升二階ADRC的轉(zhuǎn)速跟蹤效果。

跟蹤微分器屬于二階微分環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)能夠?qū)⒃盘?hào)和微分信號(hào)從PMSM系統(tǒng)中含有的噪聲信號(hào)值中提取出來(lái)，從而消除了經(jīng)典微分將噪聲放大的弊端。另外，該形式的傳遞函數(shù)雖然能夠較為準(zhǔn)確地獲得微分信號(hào)，但由于其慣性時(shí)間常數(shù)太小，最終會(huì)對(duì)所采集信號(hào)中包含的噪聲信號(hào)產(chǎn)生放大效應(yīng)，從而使得微分信號(hào)因被噪聲覆蓋而失真。

為解決微分信號(hào)被噪聲信號(hào)覆蓋的問(wèn)題，跟蹤微分器采用如下近似微分形式的傳遞函數(shù)：

式中，r表示轉(zhuǎn)速因子，該值的大小可以改變二階系統(tǒng)對(duì)原信號(hào)的跟蹤效果，其值越大系統(tǒng)對(duì)原信號(hào)的跟蹤越快，最終獲得的微分信號(hào)也會(huì)更為精準(zhǔn)。

在上述基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步利用最速跟蹤微分器來(lái)實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確輸入信號(hào)的跟蹤效果，并獲得較高質(zhì)量的微分信號(hào)，最速跟蹤微分器形式如下：

式中，v1受加速度 ≤r限制，將快速跟蹤輸入信號(hào)v0（t），r越大跟蹤越快，狀態(tài)變量v2為v1的微分信號(hào)，若r足夠大，則可近似等于輸入v0。將其利用歐拉法離散化：

式中，v表示輸入信號(hào)，v1和v2分別是對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤及其微分，h0表示濾波時(shí)間常數(shù)，一般取步長(zhǎng)h的整數(shù)倍。

此外，式中新引入的函數(shù)fhan（v1，v2，r，h）形式如下：

輸入信號(hào)取nref（為PMSM給定轉(zhuǎn)速），則二階ADRC過(guò)渡過(guò)程方程如下：

2.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（Extended State Observer， ESO）是整個(gè)二階ADRC的核心，ESO用于對(duì)未知負(fù)載擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，確定內(nèi)部狀態(tài)信息并讓二階ADRC做出抗擾調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)自抗擾。ESO將影響系統(tǒng)輸出的內(nèi)部因素和外部因素作用的和視為總擾動(dòng)項(xiàng)，并將其擴(kuò)展成一個(gè)新的狀態(tài)變量，使?fàn)顟B(tài)方程階次比系統(tǒng)階次高一階，故被稱為擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器。

對(duì)于二階系統(tǒng)，狀態(tài)方程可表示為：

式中，f （x1，x2，t）表示內(nèi)部擾動(dòng)項(xiàng)，ω（t）表示外部擾動(dòng)項(xiàng)，兩者相加則表示系統(tǒng)總擾動(dòng)，將其設(shè)為a（t） = f （x1，x2，t） + w（t），若再將該總擾動(dòng)擴(kuò)展成新的狀態(tài)變量x3（t） = a（t），則原系統(tǒng)狀態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

進(jìn)而可得出如下形式的ESO：

由式（16）可知，在b已知的情況下，ESO能使z1和z2實(shí)現(xiàn)跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)變量的目的。此外，z3用于對(duì)前述總擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。對(duì)式（16）進(jìn)行離散化，得到離散域下的ESO：

式中，β1、β2、β3表示ESO的增益，h表示采樣周期。設(shè)觀測(cè)器的帶寬β0，則β1、β2、β3和β0之間滿足如下關(guān)系式：

結(jié)合上述分析，對(duì)于PMSM調(diào)速系統(tǒng)而言，其總擾動(dòng)可以根據(jù)式（7）確定，則其總擾動(dòng)a（t）可以表示如下：

對(duì)于PMSM系統(tǒng)的ESO離散化狀態(tài)方程如下：

式中，n表示系統(tǒng)的反饋轉(zhuǎn)速，z1表示對(duì)轉(zhuǎn)速信號(hào)n進(jìn)行降噪和跟蹤，z2表示對(duì)轉(zhuǎn)速微分信號(hào)的跟蹤，z3表示估計(jì)前述系統(tǒng)總擾動(dòng)項(xiàng)a（t）。

2.3 線性狀態(tài)誤差反饋

狀態(tài)誤差反饋分為線性狀態(tài)誤差反饋（Linear State Error Feedback， LSEF）和非線性狀態(tài)誤差反饋（Nonlinear State Error Feedback， NLSEF）兩種，狀態(tài)誤差反饋通過(guò)小誤差實(shí)現(xiàn)大增益或大誤差實(shí)現(xiàn)小增益的方式進(jìn)行工程實(shí)踐模擬，這樣提高了閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。NLSEF通常比LSEF推導(dǎo)更為復(fù)雜，因此本文擬采用LSEF進(jìn)行狀態(tài)誤差反饋。

對(duì)于二階系統(tǒng)，當(dāng)采用LSEF實(shí)現(xiàn)線性二階ADRC時(shí)，該LSEF環(huán)節(jié)采用比例微分控制器即可，其具體形式為：

式中，Kp = / b，Kd = 2ωc / b，e1、e2分別表示原信號(hào)的誤差和微分與ESO跟蹤的系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的偏差。因此將（20）和（21）的變量相結(jié)合，得到本控制系統(tǒng)的控制率：

2.4 二階ADRC總體整合

在2.3小節(jié)中得出誤差反饋控制率后，需要將估計(jì)的擾動(dòng)在控制輸入中進(jìn)行補(bǔ)償后才能輸出給定的uq信號(hào)。對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)補(bǔ)償如下：

此時(shí)，整個(gè)二階ADRC內(nèi)部的各模塊已經(jīng)推導(dǎo)完畢，將過(guò)渡過(guò)程、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器以及線性狀態(tài)誤差反饋整合成二階ADRC后的整體方程為：

由式（24）得到二階ADRC的控制框圖，如圖1所示，從控制框圖中可以看出二階ADRC利用ESO將反饋輸入的機(jī)械轉(zhuǎn)速進(jìn)行擴(kuò)展觀測(cè)估計(jì)擾動(dòng)，并與經(jīng)過(guò)過(guò)渡過(guò)程后的給定轉(zhuǎn)速作差，再由線性狀態(tài)誤差反饋給出電壓指令控制后續(xù)脈沖波的調(diào)制。

3 仿真驗(yàn)證

由以上推導(dǎo)得到采用二階ADRC的PMSM矢量控制框圖，如圖2所示，將轉(zhuǎn)速控制器和q軸電流控制器采用一個(gè)二階ADRC代替，系統(tǒng)中q軸電流環(huán)開(kāi)環(huán)處理。

PMSM參數(shù)如表1所示。

二階ADRC各參數(shù)如表2所示，其中步長(zhǎng)h也對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)仿真步長(zhǎng)。

設(shè)定電機(jī)運(yùn)行工況為變速、加負(fù)載，首先速度給定為500 r/min，待系統(tǒng)穩(wěn)定后調(diào)速至1 000 r/min以驗(yàn)證中高速下電機(jī)調(diào)速性能，最后再突加3 N·m負(fù)載以驗(yàn)證ADRC的抗擾性能。

由圖3中PMSM在變轉(zhuǎn)速、加負(fù)載工況下的各種波形圖可以看出，對(duì)于圖3（a）的轉(zhuǎn)速項(xiàng)，二階ADRC在調(diào)速過(guò)程中的轉(zhuǎn)速上升階段，其均能以無(wú)超調(diào)的形式過(guò)渡到給定轉(zhuǎn)速，其中，當(dāng)突加負(fù)載時(shí)，由于二階ADRC的自抗擾性能，轉(zhuǎn)速在下降到最低點(diǎn)936 r/min時(shí)快速回升并達(dá)到給定轉(zhuǎn)速1 000 r/min，轉(zhuǎn)速下降率僅為6.4%。對(duì)于控制著電機(jī)轉(zhuǎn)矩的q軸電流，如圖3（b）所示，當(dāng)突加負(fù)載后，電流迅速穩(wěn)定到2.7 A，對(duì)于如圖3（c）所示的電磁轉(zhuǎn)矩，由于采用電機(jī)為表貼式PMSM，其電磁轉(zhuǎn)矩大小僅由極對(duì)數(shù)、轉(zhuǎn)子磁鏈及q軸電流決定，前兩項(xiàng)對(duì)于特定電機(jī)均為常數(shù)項(xiàng)，因此電磁轉(zhuǎn)矩與q軸電流的變化是同步進(jìn)行的，二者大小僅相差特定系數(shù)，而圖3（d）中的電角度則無(wú)太大變化，說(shuō)明采用二階ADRC能夠?qū)崿F(xiàn)較好的帶載性能。

4 結(jié) 論

將PMSM矢量控制框架下的轉(zhuǎn)速和q軸電流控制器合二為一研究了二階ADRC控制器，該控制器能夠?qū)ν饧迂?fù)載擾動(dòng)實(shí)現(xiàn)快速響應(yīng)，并能迅速調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速在負(fù)載擾動(dòng)時(shí)回到給定值。仿真結(jié)果表明，突加3 N·m負(fù)載時(shí)轉(zhuǎn)速最大波動(dòng)范圍僅為6.4%，且能夠調(diào)節(jié)電磁轉(zhuǎn)矩平衡外加負(fù)載使系統(tǒng)以無(wú)超調(diào)形式迅速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

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作者簡(jiǎn)介：廖曉璐（1990—），女，漢族，湖北鐘祥人，工程師，碩士研究生，研究方向：自動(dòng)化、計(jì)算機(jī)。