【摘要】實施促進學生發(fā)展的教學活動，教師可通過一題多解、解題方法提煉、多思巧問、總結基本圖形等策略培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。激發(fā)學生學習興趣，引發(fā)學生積極思考。培養(yǎng)學生良好的學習習慣，形成積極的情感態(tài)度和價值觀，從而促進學生綜合素養(yǎng)的有效提升。

【關鍵詞】初中數(shù)學;一題多解；基本圖形;發(fā)散性思維

新課程目標的確定，立足學生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學育人價值。在基礎教育階段，應該幫助學生形成適應個人發(fā)展和社會發(fā)展需要的品格和解決問題的素養(yǎng)與關鍵能力，立德樹人。

一、發(fā)散性思維培養(yǎng)的必要性

發(fā)散性思維是創(chuàng)新意識的基礎。發(fā)散性思維（Divergent Thinking），又稱輻射思維、放射思維、擴散思維或求異思維，是從不同角度、不同層面、不同維度正反兩方面分析問題。因而視野開闊，思維活躍，會產(chǎn)生大量新穎的解題思路?？梢酝ㄟ^“一題多解”“一事多寫”“一物多用”等方式培養(yǎng)學生發(fā)散性思維能力。幾何題往往會出現(xiàn)開放性、非常規(guī)、一題多解等特征，這些特征都跟發(fā)散性思維有密切聯(lián)系，所以對幾何題的一題多解更容易培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。注意從小培養(yǎng)發(fā)散性思維，才能為創(chuàng)新人才培養(yǎng)打下良好的基礎。

二、發(fā)散性思維培養(yǎng)的有效性

核心素養(yǎng)落實的陣地在于課堂，實踐在于師生。在初中數(shù)學教學中幾何以平面幾何為主。其中圖形的運動是難點，圖形的運動包括平移、翻折、旋轉，特別是翻折、旋轉運動是難中之難。筆者以一題多解的方式幫助學生突破難點，順便復習整個初中幾何體系。一題多解是培養(yǎng)學生發(fā)散性思維的有效途徑，同時培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識，也為創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)鋪路。本文將從翻折、旋轉的一題多解為例來談談初中數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，最后培養(yǎng)出具有創(chuàng)新意識的人才。

三、一題十解發(fā)散性思維探究

題目：如圖，已知在中，，BC=3，AC=4，點D是線段BC上的一點，把沿直線AD翻折，使AC正好與AB重合，求線段BD的長。

解析：本題運用了初中大部分幾何知識。這些知識雖出現(xiàn)在不同年級、不同章節(jié)，但是是相互聯(lián)系的，又是螺旋式上升的。各種方法的出現(xiàn)符合學生年齡特征和認知規(guī)律。對素養(yǎng)的培養(yǎng)也是逐漸遞增的，從抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念，到推理能力、模型觀念，甚至創(chuàng)新意識。

1.六七年級方法，構造圖形結構，總結基本圖形。目標是通過實踐掌握“圖形的性質”。

方法（1）面積法：過D作DE⊥AB，垂足為E，先證明≌或者由角平分線定理可得CD=DE。

再由S△ABC=S△ACD+S△ABD

×3×4＝×4×CD+×5×DE

得CD=，則BD=

解析：在七年級第一學期第十一章圖形的運動中，我們剛學習了圖形的翻折和旋轉運動。很多有效方法還沒學習，本方法利用六年級三角形面積和七年級全等三角形解答。

2.八年級方法，構造圖形結構，結合方程函數(shù)坐標系。目標感悟數(shù)形結合掌握“圖形與坐標”。

方法（2）勾股定理法：設CD=DE=x，由全等可知AE=CA=4，BE=1，BD=3-x，由勾股定理BD2=DE2+BE2（3-x）2=x2+12，x=，則DE=3-x=

解析：在八年級第一學期第十九章幾何證明中學習了勾股定理。本方法利用這個定理解出了這一題，間接證明了勾股定理可以用面積法證明，因為上一種方法是面積法解出的。

方法（3）數(shù)形結合函數(shù)法：如圖，建立直角坐標系，并延長AD交y軸于F，由角平分線和AC平行

于y軸得，所以BF=AB=5，A（3，4），F(xiàn)（0，-5）易得直線AF：y=3x-5當y=0，則BD=

解析：在八年級第二學期第二十章一次函數(shù)的學習后，學生可以利用一次函數(shù)的性質，根據(jù)數(shù)形結合的特點解出本題，也為以后的解析幾何的學習埋下種子。

3.九年級方法，常見基本圖形，適用范圍更廣。目標提升抽象能力掌握“圖形的變化”。

方法（4）8字型法：過B作BF∥AC交AD的延長線F，由角平分線和平行易得，

所以BF=AB=5，由三角形一邊的平行線性質定理得，

解析：在九年級第一學期第二十四章相似三角形平行線性質定理學習后，利用定理的比例式解決本題，并順便抽象出“8字形”?！?字形”是初中的常用的基本圖形，必須記住并熟練運用。

方法（5）A字型法：過D作DG∥AC交AB于G，由角平分線和平行易得∠GDA=∠GAD，所以DG=AG

由三角形一邊的平行線性質定理得，

，，，，

解析：“A字形”也是通過三角形一邊的平行線性質定理總結出的基本圖形。同樣“A字形”也是初中必須掌握的基本圖形。對基本圖形的熟練才能更快更準確地解出題目。

方法（6）相似三角形法：設CD=DE=x，由△BDE∽△BAC得得，BD=3-x=

解析：在九年級第一學期第二十四章中學習了相似三角形，相似法是對三角形一邊的平行線定理的進一步歸納提煉并總結。適用的范圍更廣，能解決的題型更多。

方法（7）三角比法：由，得，CD=DE=，則BD=BC-CD=

解析：在九年級第一學期第二十五章銳角的三角比中，可以利用三角比的性質使格式更簡單。

4.拓展內容法，抽象幾何圖形，解題快速方便。目標提高學生應用意識。

方法（8）角平分線成比例法：由角平分線分線段成比例定理三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。（可以由面積法證明）

解析：本方法利用拓展知識，角平分線成比例法，是對面積法的深刻理解，當然也可以用上面的“8字形”互相證明。說明很多定理之間相互聯(lián)系，并且相互印證的。

方法（9）割線定理法：以線段AD為直徑畫圓，因為∠ACD是直角，所以點C在圓上，記圓與AB的交點為E，AD是直徑，AD平分∠BAC，易得AE=AC=4，BE=1由割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的兩條線段的積相等。

BD·BC=BE·BA，3BD=1×5，BD=

解析：在九年級第二學期拓展二第二章直線和圓中的割線定理。本方法巧妙的利用了割線定理解決，同時說明了圓的知識在幾何證明中也非常有用，并且也比較簡單。

5.高中解題法，從模型觀念到數(shù)據(jù)觀念。目標為初中高中知識的過渡。

方法（10）半角倍角法：通過上面的方法可知

∠BAC的正切是，它的半角∠DAC的正切是。同時也可以得到∠ABC的正切是，它的半角∠CBE的正切是這樣可知正切是和的兩個角的和是45°。記住這些結論以后填空選擇題碰到可以秒解。

，得，

，

解析：在高中一年級第二學期第五章三角比中

半角倍角公式如。利用這些

公式可以快速轉化半角和倍角的三角比。

四、發(fā)散性思維促進創(chuàng)新意識

在數(shù)學教學中，若將經(jīng)典例題充分挖掘一題多解。注重對例題等認真教學，不但可以在初三復習階段抓好基礎知識點，還可以激發(fā)學生的求知欲望。一題多解是讓學生跳出單一思維模式，多種角度、多方位審視分析題目，而不是局限于某個知識點、某個章節(jié)，甚至某個體系，從而深刻理解某些題型。一題多解是培養(yǎng)學生發(fā)散性思維的常用而有效的方法，遵循學生的認識規(guī)律，遵循了發(fā)散性思維培養(yǎng)的規(guī)律，螺旋上升，逐段遞進。一題多解也是課堂教學的一次重要反饋，在學習幾種解法后，用另外幾種解法檢驗是否學會。在實際教學過程中，讓學生自己動手操作，用不同章節(jié)的知識點多方向、多緯度的分析問題，充分發(fā)揮自己的想象力、判斷力、思考力。經(jīng)常讓學生多思考更多方法，一題多解，這樣發(fā)散性思維也會慢慢培養(yǎng)出來。發(fā)散性思維是創(chuàng)造意識的前提，只有不斷提升發(fā)散性思維，才能培養(yǎng)出具有創(chuàng)新意識的人才。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.