摘 要：【目的】針對(duì)直線三級(jí)倒立擺控制輸入受限下的穩(wěn)擺控制問題，設(shè)計(jì)了具有H∞性能的輸入受限三級(jí)倒立擺控制器?！痉椒ā坷镁€性矩陣不等式（LMI）方法，將控制輸入約束問題轉(zhuǎn)化為利用線性矩陣不等式求解優(yōu)化值的優(yōu)化問題，經(jīng)Lyapunov穩(wěn)定性推導(dǎo)出符合條件的LMI，利用MATLAB中的LMI工具箱求解得到有效的K。進(jìn)一步在控制輸入受限下引入H∞性能指標(biāo)，使所設(shè)計(jì)的控制輸入受限下的算法具有H∞性能?！窘Y(jié)果】仿真結(jié)果表明，該控制器對(duì)于控制輸入受限下的復(fù)雜高階次不穩(wěn)定系統(tǒng)具有很好的控制效果。【結(jié)論】控制輸入信號(hào)在給定的受限范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)了三級(jí)倒立擺的穩(wěn)擺要求，且引入H∞性能指標(biāo)后控制輸入和擺桿波動(dòng)更小。

關(guān)鍵詞：直線三級(jí)倒立擺；控制輸入受限；線性矩陣不等式（LMI）；H∞性能指標(biāo)

中圖分類號(hào)：UTP273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2024）17-0004-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.17.001

Design of Input Constrained Triple Inverted Pendulum Controller with H∞ Performance

HAN Guangxin ZHANG Baokui

（College of Information and Control Engineering， Jilin of Chemical Technology， Jilin 132022， China）

Abstract： [Purposes] To solve the stabilization control problem of triple inverted pendulum with control input constraint， an input constrained control strategy with H∞ performance is proposed.[Methods] By using linear matrix inequalities（LMI）， the control input constraint problem is transformed into an optimization problem using LMI to solve the optimization value. A suitable LMI is obtained by Lyapunov stability derivation， and an effective K is obtained by using the LMI toolbox in MATLAB. Furthermore， H∞ performance index is introduced to make the designed algorithm with control input constraint have H∞ performance. [Findings] The simulation results show that the control strategy has a good control effect on the complex high-order unstable system with control input constraint. [Conclusions] The control input signal can achieve the stability requirement of the triple inverted pendulum within the given limited range， and the fluctuation of the control input and pendulum rod is less after the introduction of H∞ performance index.

Keywords： linear triple inverted pendulum; control input constraint; linear matrix inequality（LMI）; H∞ performance

0 引言

控制輸入受限問題［1］在實(shí)際的控制系統(tǒng)中是廣泛存在的。由于其自身的物理特性而引起的執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和約束，例如，在汽車主動(dòng)懸架控制系統(tǒng)［2］中，力發(fā)生器只能產(chǎn)生有限的作用力；在化工反應(yīng)釜生產(chǎn)過程控制中，填料速率［3］不可能無限地快，必然要有個(gè)限度。因此，對(duì)于控制輸入受限的研究［4-6］具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。如果只考慮系統(tǒng)性能而忽略控制輸入約束，那么在實(shí)際應(yīng)用時(shí)極有可能會(huì)因執(zhí)行機(jī)構(gòu)限制而造成整個(gè)控制系統(tǒng)發(fā)散，進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)控制系統(tǒng)失控。即使系統(tǒng)不發(fā)散，長(zhǎng)時(shí)間高強(qiáng)度的振蕩也會(huì)造成控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)損壞，從而導(dǎo)致故障。在不超出規(guī)定的約束范圍內(nèi)，完成倒立擺的穩(wěn)擺控制目標(biāo)，對(duì)于諸多的實(shí)際控制系統(tǒng)來說，具有極為值得借鑒的現(xiàn)實(shí)意義。

對(duì)于控制輸入受限的控制器設(shè)計(jì)方法分為兩大類。一類為補(bǔ)償器設(shè)計(jì)法［7］：即通過定義輔助系統(tǒng)，采用輸入飽和誤差動(dòng)態(tài)放大的方法，可以實(shí)現(xiàn)一種基于控制輸入抗飽和控制；另一類為直接法：即在設(shè)計(jì)控制器之時(shí)就考慮控制輸入受限，使控制輸入在給定的受限范圍內(nèi)完成穩(wěn)擺控制目標(biāo)。本研究采用直接法設(shè)計(jì)，將約束條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式［8-9］的條件，求解出有效的控制器增益，使控制輸入在給定的有限范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)三級(jí)倒立擺的控制。

1 數(shù)學(xué)模型

直線三級(jí)倒立擺系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型如圖1所示。在系統(tǒng)建模時(shí)定義擺桿正旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，小車位移的正方向?yàn)橄蛴疫\(yùn)動(dòng)，以擺桿垂直位置為0。下擺桿離垂直位置的偏角為[θ1（t）]，中擺桿離垂直位置的偏角為[θ2（t）]，上擺桿離垂直位置的偏角為[θ3（t）]。

在對(duì)直線三級(jí)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用拉格朗日力學(xué)［10］的方法進(jìn)行建模時(shí)，分別列出小車、下擺、中擺、上擺、質(zhì)量塊1和質(zhì)量塊2這6個(gè)部分的動(dòng)能和勢(shì)能。之后構(gòu)建拉格朗日算子，列寫出拉格朗日方程，對(duì)所得到的微分方程組化簡(jiǎn)后，即可得到三級(jí)倒立擺系統(tǒng)的非線性數(shù)學(xué)模型。

利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，對(duì)于直線三級(jí)倒立擺系統(tǒng)，系統(tǒng)的總動(dòng)能見式（1）。

[T=T0+T1+T2+T3+T4+T5] （1）

系統(tǒng)的總勢(shì)能見式（2）。

[V=V0+V1+V2+V3+V4+V5] （2）

拉格朗日方程見式（3）。

[L=T-V] （3）

式中：[L]為系統(tǒng)的總動(dòng)能與總勢(shì)能之差。

在倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí)，在理想條件下（忽略摩擦和干擾），小車和擺桿相對(duì)于伺服電機(jī)而言，電壓的拉格朗日方程的一般形式表示見式（4）。

[ddt?L?qi-?L?qi=Qi] （4）

式中：[qi]為廣義坐標(biāo)。

對(duì)于直線三級(jí)倒立擺系統(tǒng)，則存在的關(guān)系見式（5）。

[qi（t）T=x（t）θ1（t）θ2（t）θ3（t）] （5）

系統(tǒng)在[θ1（t）]、[θ2（t）]、[θ3（t）]方向上不受外力，在小車水平方向上受外力[F]，且[F]為系統(tǒng)的控入輸入量[u]，則等式（6）成立。

[?2L?t?x-?L?x=F=u?2L?t?θ1-?L?θ1=0?2L?t?θ2-?L?θ2=0?2L?t?θ3-?L?θ3=0] （6）

對(duì)于直線三級(jí)倒立擺系統(tǒng)而言，其工作點(diǎn)是倒立擺系統(tǒng)保持在平衡狀態(tài)下各個(gè)變量的值，在倒立擺處于平衡狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處線性化，則有[sinθ≈0，cosθ≈1]。

假定系統(tǒng)保持豎直向上的平衡狀態(tài)時(shí)，所有狀態(tài)都取零，見式（7）。

[X=xθ1θ2θ3xθ1θ2θ3T=[00000000]T] （7）

將式（6）得到的微分方程組，在平衡點(diǎn)位置附近用Taylor Series展開并代入此刻狀態(tài)變量的值，運(yùn)用Mathematica科學(xué)計(jì)算軟件進(jìn)行計(jì)算，且取[x]作為輸入，令控制輸入量等于加速度，即[u=x]。系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程見式（8）。

[X=AX+BuY=CX] （8）

將倒立擺機(jī)械系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)值代入，即可得到三級(jí)倒立擺的線性數(shù)學(xué)模型，具體見文獻(xiàn)［11］。

為了得到存在外部擾動(dòng)不確定性因素的三級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型，將小車與三級(jí)擺桿作為一個(gè)整體系統(tǒng)，外界擾動(dòng)作為系統(tǒng)的輸入，可以得出的結(jié)果見式（9）。

[x=u-wM] （9）

式中：[M]表示小車、三級(jí)擺桿和質(zhì)量塊的總質(zhì)量；[w]表示系統(tǒng)的建模誤差及外界輸入擾動(dòng)。

因此，可得到三級(jí)擺不確定性數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)空間方程見式（10）。

[X=AX+B1w+B2uY=CX] （10）

式中：[A=]

[00001000000001000000001000000001000000000159.504-38.435 60.784 64600000-127.957.9951-17.189000002.570 86-16.924 539.348 50000；]

[B1=0 0 0 0 -1 -6.649 04 0.158 31-0.003 182 11T]；[B2=0 0 0 0 1 6.649 04 -0.158 31 0.003 182 11T]；

[C=1000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001] 。

2 控制器設(shè)計(jì)與分析

2.1 具有H∞性能指標(biāo)的輸入受限下LMI控制器

根據(jù)三級(jí)倒立擺系統(tǒng)模型式（10），控制器設(shè)計(jì)見式（11）。

[u=KX] （11）

式中：[K=k1k2k3k4k5k6k7k8]。

控制目標(biāo)為[t→∞]時(shí)，在控制輸入滿足[|u|?umax]條件下，使得[X→0]且[||Gzω（s）||∞<γ]，把控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI設(shè)計(jì)，推導(dǎo)得到具有H∞性能指標(biāo)的輸入受限下三級(jí)倒立擺控制結(jié)論見式（12）。

[AN+BF+NAT+FTBTBBT-γ2<0N>0， N=NTk0NFTF1≥0wX0TX0N≥0] （12）

通過式（12）構(gòu)造的4個(gè)LMI，可求得具有H∞指標(biāo)的控制輸入受限下［12］有效的[K]，其中：[P]是李雅普諾函數(shù)設(shè)計(jì)的正定矩陣，[F=KP-1]，[N=P-1]，[X0]是倒立擺系統(tǒng)初始狀態(tài)，其余為待選參數(shù)。

2.2 具有H∞性能指標(biāo)的LMI控制器設(shè)計(jì)分析

根據(jù)模型式（10）相當(dāng)于在狀態(tài)方程中加入擾動(dòng)[d]，模型可表示為式（13）。

[X=AX+Bu+dY=CX] （13）

設(shè)計(jì)的Lyapunov函數(shù)見式（14）。

[V=XTPX] （14）

其中[P>0]為8×8階正定矩陣，通過P的設(shè)計(jì)可有效調(diào)節(jié)X的收斂效果。

[V=XTPX+XTPX=（AX+Bu+Bd）TPX+XTP（AX+Bu+Bd）=（AX+BKX+Bd）TPX+XTP（AX+BKX+Bd）=XT（A+BK）TPX+XTP（A+BK）X+（Bd）TPX+XTP（Bd）=XTQT1X+XTQ1X+（BTPX+XTPB）d=XTQX+（BTPX+XTPB）d]

（15）

式中：[Q1=P（A+BK）]，[Q=QT1+Q1]。

[令η=XTdT，則η=Xd， ηT=XTd]

從而得到式（16）和式（17）。

[XTQX=XTdQ000Xd]

[=ηTQ000η] （16）

[BTPX+XTPBd=dBTPXTPBXd=XTd0PBBTP0Xd=ηT0PBBTP0η] （17）

即：

[V=XTQX+ηT0PBBTP0η=ηTQPBBTP0η] （18）

輸出為 [Z=CX]， 則H∞性能指標(biāo)取式（19）。

[0tZTZdt<0tγ2d2（t）dt+V（0）]（[γ>0]） （19）

由于式（20）和式（21），則得出式（22）。

[ZTZ-γ2d2=XTCTCX-γ2d2] （20）

[ηTCTC00-γ2η=XTdCTC00-γ2Xd]

[=XTCTC-γ2d2Xd=XTCTCX-γ2d2] （21）

[ZTZ-γ2d2=ηTCTC00-γ2η] （22）

從而[V+ZTZ-γ2d2=ηTQ+CTCPB（PB）T-γ2η] （23）

取[θ=Q+CTCPB（PB）T-γ2<0] （24）

則[V+ZTZ-γ2d2≤0] （25）

對(duì)上式積分，可得式（26）。

[V+0tZTZdt≤0tγ2d2dt+V（0）] （26）

假設(shè)[d]為遞減的擾動(dòng)信號(hào)，即積分有界擾動(dòng)，取：

[0∞d2 dt≤γ-2vmax] （27）

由于[0tZTZdt≥0，則：]

[V（t/aLo1CNMnnqxDbHZQ/L0YiBjOVQrTAe/759T14Uw3oU=）≤w] （28）

其中[vmax +V（0）≤w]。

由[V（t）≤w]可得式（29）。

[Pmin ‖X‖2≤XTPX≤w] （29）

則收斂結(jié)果為式（30）。

[‖X‖2≤vmax+V（0）Pmin] （30）

將式（24）展開即可得到滿足H∞性能指標(biāo)的條件：

[PA+PBK+ATP+KTBTPPB（PB）T-γ2<0] （31）

左右兩邊同時(shí)乘[P-1001]

[AP-1+BKP-1+P-1AT+P-1KTBTBBT-γ2<0] （32）

令[F=KP-1，][ N=P-1]。由式（32）可化為L(zhǎng)MI設(shè)計(jì)形式，得到第一個(gè)LMI，見式（33）。

[AN+BF+NAT+FTBTBBT-γ2<0] （33）

根據(jù)[P]的定義可設(shè)計(jì)第二個(gè)LMI，見式（34）。

[N>0， N=NT] （34）

2.3 控制輸入受限下LMI控制器設(shè)計(jì)分析

由于[V（0）=X0TPX0]，如果存在正定矩陣P和[w>0，]使得[X0TPX0≤w]成立，則可保證[V（0）≤w]，從而[V（t）≤w]。

取[KTK?w-1u2maxP]，由[u=KX]可得式（36）。

[u2=（KX）TKX=XTKTKX≤XTw-1u2maxPX=w-1u2maxV≤u2max] （35）

則 [|u|?umax] （36）

通過上述理論分析，可以構(gòu)造線性矩陣不等式見式（37）。

[KTK-w-1u2maxP≤0] （37）

由于不等式（37）中含有非線性項(xiàng)，必須轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式才能求解。故取[k0=w-1u2max]，則有式（38）。

[KTK≤k0P] （38）

根據(jù)Schur補(bǔ)定理［13］，假設(shè)[C]為正定矩陣，則[A-BC-1BT≥0]等價(jià)于[ABBTC≥0]，則有式（39）。

[k0PKTK1≥0] （39）

式（39）左右兩邊同時(shí)乘[P-1001]，則有式（40）。

[k0P-1P-1KTKP-11≥0] （40）

[取F=KP-1， N=P-1]根據(jù)式（40）可得到第三個(gè)LMI，見式（41）。

[k0NFTF1≥0] （41）

要滿足[X0TPX0≤w]，根據(jù)Schur補(bǔ)定理，可以將其設(shè)計(jì)為第四個(gè)LMI，見式（42）。

[wX0TX0N≥0] （42）

通過式（33）、式（34）、式（41）、式（42）構(gòu)造的4個(gè)LMI，可求得具有H∞指標(biāo)的控制輸入受限下有效的[K]。

3 仿真結(jié)果

采用Matlab中的LMI工具箱—YALMIP求解倒立擺初始值為小車位置-0.5 m，上擺桿、中擺桿、下擺桿分別為-0.2 rad、0.1 rad、0.1 rad?？刂破鲄?shù)為[w=1.0、α=2.0、γ=0.5][umax=20]。即可得到H∞指標(biāo)的控制輸入受限控制器反饋增益：[K =0.1118 ]

[-106.8847 90.4163 -132.2230 0.3735 -4.8538 ][8.1204 -19.8516]。

對(duì)比算法選用H∞控制器［14-15］實(shí)現(xiàn)三級(jí)倒立擺穩(wěn)擺控制目標(biāo)可以看出控制輸入不滿足限制的要求，采用直接法線性矩陣不等式技術(shù)可以直接考慮控制輸入，使控制輸入在給定的受限范圍內(nèi)對(duì)直線三級(jí)倒立擺達(dá)到穩(wěn)擺控制的要求。為了進(jìn)一步對(duì)比出效果，H∞控制器的控制輸入利用限幅模塊對(duì)其進(jìn)行壓縮，壓縮到20.5 v系統(tǒng)已發(fā)生變形，再壓縮系統(tǒng)將發(fā)散變得不穩(wěn)定，無法達(dá)到期望的控制輸入20 v條件下穩(wěn)擺的控制目標(biāo)。控制輸入約束下LMI控制器則可以使控制輸入在期望的受限范圍內(nèi)完成控制目標(biāo)，加入H∞指標(biāo)控制輸入約束LMI控制器也可以在控制輸入被限制的范圍內(nèi)完成穩(wěn)擺的控制目標(biāo)且擺桿具有更小的波動(dòng)，仿真實(shí)驗(yàn)過程如圖2至圖6所示。

4 結(jié)論

針對(duì)直線三級(jí)倒立擺高階次欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制輸入受限下的控制問題，本研究基于線性矩陣不等式采用直接法解決控制輸入受限問題，推導(dǎo)出考慮控制輸入受限時(shí)的LMI，利用LMI工具箱求解出有效的K，使三級(jí)倒立擺在保證控制輸入在期望范圍內(nèi)完成穩(wěn)擺控制目標(biāo)，再進(jìn)一步引入H∞性能指標(biāo)使擺桿和控制輸入在波動(dòng)上更為平穩(wěn)，有更為優(yōu)越的控制性能。經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提控制算法的有效性，控制輸入受限下和引入H∞指標(biāo)控制輸入約束LMI控制器均達(dá)到了控制輸入信號(hào)在給定的受限范圍內(nèi)對(duì)直線三級(jí)倒立擺穩(wěn)擺的控制要求，也進(jìn)一步說明了線性矩陣不等式對(duì)于解決高階次復(fù)雜非線性系統(tǒng)控制方面的有效性。

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收稿日期：2024-05-17

作者簡(jiǎn)介：韓光信（1971—），男，博士，教授，研究方向：欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制、非線性控制、帶約束控制、魯棒控制。

通信作者：張?？?999—），男，碩士生，研究方向：倒立擺系統(tǒng)控制算法研究。