卜以樓老師提出的生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的教學(xué)主張?jiān)跀?shù)學(xué)教學(xué)中產(chǎn)生了較大反響，掀起了廣大一線教師的生長(zhǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)熱潮.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)是指以數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維方法、重要思想的形態(tài)、方法與生長(zhǎng)過程，來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)課堂的系統(tǒng)、樣態(tài)、思維的生長(zhǎng)活動(dòng).生長(zhǎng)數(shù)學(xué)以“數(shù)學(xué)教學(xué)為學(xué)生生命成長(zhǎng)助力”為理念，構(gòu)建“以生長(zhǎng)為構(gòu)架的教與學(xué)的教學(xué)方式，堅(jiān)持“讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)全過程”的教學(xué)主張.

生長(zhǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)基于大局觀、整體觀構(gòu)建知識(shí)體系，旨在“能貫通、能生長(zhǎng)”，利用可遷移的基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)——“前后聯(lián)系、思維貫通”的“數(shù)學(xué)種子”，生長(zhǎng)出更多的數(shù)學(xué)知識(shí)、思維方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

函數(shù)的對(duì)稱性直觀地體現(xiàn)在函數(shù)圖象上，與奇偶性、單調(diào)性、周期性有著密切聯(lián)系.教材雖沒有專門的章節(jié)介紹，但在教材（人教A版）第85頁(yè)練習(xí)3、第87頁(yè)拓廣探索13、第214頁(yè)拓廣探索19等處以習(xí)題的形式呈現(xiàn)，近幾年全國(guó)卷高考題也多有考查.雖然能直觀地從函數(shù)圖象感知對(duì)稱性，但從“式結(jié)構(gòu)”和奇偶性、周期性的聯(lián)系上，在必修一新課教學(xué)時(shí)并沒有深入、系統(tǒng)地對(duì)其展開研究.因而本節(jié)課從學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)和函數(shù)性質(zhì)的研究方法出發(fā)，嘗試在生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的教學(xué)理念下設(shè)計(jì)高三一輪復(fù)習(xí)課教學(xué)，旨在構(gòu)建學(xué)生的知識(shí)生長(zhǎng)框架，助力思維生長(zhǎng)，感悟生長(zhǎng)樂趣.

1 教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)分析

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述現(xiàn)實(shí)世界中變量關(guān)系和規(guī)律的基本數(shù)學(xué)工具，在解決現(xiàn)實(shí)問題中發(fā)揮著重要的作用.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.2019人教A版必修一教材的函數(shù)單元以體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思考方法的問題——“什么是函數(shù)的性質(zhì)”“如何研究函數(shù)性質(zhì)”等，促進(jìn)學(xué)生思考，讓學(xué)生在探究函數(shù)性質(zhì)的完整過程中掌握研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，提升學(xué)生學(xué)習(xí)和思考能力，并進(jìn)一步研究了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù).

單調(diào)性、奇偶性、周期性是函數(shù)的三大基本性質(zhì).函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律，如隨著自變量的增大函數(shù)值是增大還是減?。ㄗ兓厔?shì)），有沒有最大值或最小值（特殊意義的取值），函數(shù)圖象有什么特征（主要是對(duì)稱性），有沒有其他特殊取值（如函數(shù)零點(diǎn)），等等.本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)如下：

教學(xué)目標(biāo)：（1）了解對(duì)稱性的概念和幾何意義，知道基本初等函數(shù)函數(shù)的對(duì)稱性.

（2）知道對(duì)稱性與奇偶性、周期性的關(guān)系.

（3）經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般的研究過程，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界.

重點(diǎn)：探究對(duì)稱性與奇偶性、周期性的關(guān)系.

難點(diǎn)：對(duì)稱性與奇偶性、周期性關(guān)系的應(yīng)用.

2 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

2.1 函數(shù)的軸對(duì)稱與中心對(duì)稱

師：今天和大家一起來(lái)研究“函數(shù)的對(duì)稱性”.函數(shù)的對(duì)稱性體現(xiàn)在函數(shù)圖象上，就是我們熟悉的圖形的對(duì)稱性，包括軸對(duì)稱和中心對(duì)稱.

教師課件呈現(xiàn)函數(shù)的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱示意圖，敘述函數(shù)對(duì)稱性的定義.

師：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了函數(shù)圖象軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的“形特征”，如果考慮函數(shù)y=f（x），能從“數(shù)”的角度刻畫函數(shù)的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱嗎？

學(xué)生討論得出：若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則有f（a+x）=f（a-x），或f（x）=f（2a-x）成立.若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱，則有f（a+x）+f（a-x）=2b，或f（x）+f（2a-x）=2b成立.

說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)性質(zhì)的主要方法.一方面通過觀察和分析函數(shù)圖象的特征，可以得到函數(shù)的一些性質(zhì)；另一方面通過對(duì)解析式的代數(shù)運(yùn)算，也可得出函數(shù)的一些性質(zhì).

教師呈現(xiàn)基本初等函數(shù)示意圖（圖1），引導(dǎo)學(xué)生討論常值函數(shù)和冪函數(shù)的對(duì)稱性.

說(shuō)明：高中階段學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)是現(xiàn)實(shí)世界最為基本而典型的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)抽象.基本初等函數(shù)經(jīng)過復(fù)合與綜合后折射出現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)變化，其性質(zhì)反映了現(xiàn)實(shí)世界中大量事物的變化規(guī)律，因而探索和掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，是非常重要的.整節(jié)課以基本初等函數(shù)的對(duì)稱性為問題研究鏈條，從對(duì)稱性與奇偶性，到對(duì)稱性與周期性，再到函數(shù)的互對(duì)稱，體現(xiàn)了本節(jié)課的研究主線，是本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)點(diǎn).

2.2 奇偶性與對(duì)稱性

學(xué)生討論常值函數(shù)和冪函數(shù)對(duì)稱性，回憶得出“偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”.

師：同學(xué)們總結(jié)得很好.若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那它一定是偶函數(shù)嗎？若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它一定是奇函數(shù)嗎？

學(xué)生根據(jù)偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義及前面“數(shù)結(jié)構(gòu)”得出肯定的結(jié)論.教師肯定學(xué)生的結(jié)論，課件呈現(xiàn)教材第85頁(yè)練習(xí)3.

說(shuō)明：?jiǎn)拘褜W(xué)生的已有認(rèn)知，尋根溯源，呼應(yīng)教材內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生重視教材，也為從特殊推廣到一般作鋪墊.

師：對(duì)于一般的情況，若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a（a≠0）對(duì)稱，它不一定是偶函數(shù).你可以從y=f（x）出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)偶函數(shù)嗎？

師：若函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，b）（a2+b2≠0）對(duì)稱，可以進(jìn)行類似操作嗎？

說(shuō)明：通過代數(shù)運(yùn)算和圖象直觀，從具體到抽象、從特殊到一般，精確刻畫出對(duì)稱性和奇偶性的關(guān)系.在整個(gè)探究過程中，學(xué)生不僅掌握了知識(shí)，還學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思考和研究的方法，不僅生長(zhǎng)出新的知識(shí)和方法，也提升了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng).

學(xué)生討論得出，可以將函數(shù)y=f（x）的圖象通過平移得到偶函數(shù)或奇函數(shù).總結(jié)得出如下結(jié)論：

結(jié)論1：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱y=f（x+a）為偶函數(shù).

結(jié)論2：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（a，b）成中心對(duì)稱圖形y=f（x+a）-b為奇函數(shù).

教師課件呈現(xiàn)教材第87頁(yè)拓廣探索13，肯定學(xué)生的成果.

說(shuō)明：尋根溯源，呼應(yīng)教材內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生重視教材.

探究1：若y=f（a+bx）為偶函數(shù)，則y=f（x）的圖象關(guān)于______對(duì)稱.

探究2：若y=f（a+bx）為奇函數(shù)，則y=f（x）的圖象關(guān)于______對(duì)稱.

追問：若y=f（a+bx）為奇函數(shù)，則f（a）=______.

說(shuō)明：從形和數(shù)的角度深度認(rèn)識(shí)函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性，進(jìn)一步在所得結(jié)論1和結(jié)論2的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)出新的結(jié)論.

例1 （2017全國(guó)卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=ln x+ln（2-x），則下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A.f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增

B.f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減

C.f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱

D.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱

例2 對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，解答下列問題.

（1）求函數(shù)f（x）=13x3-12x2+3x-512的對(duì)稱中心；

（2）求f12 023+f22 023+f32 023+……+f2 0222 023的值.

說(shuō)明：在綜合問題情境中促使學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，熟練掌握對(duì)稱性.

2.3 周期性與對(duì)稱性

教師呈現(xiàn)基本初等函數(shù)（圖1），引導(dǎo)學(xué)生回顧正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的對(duì)稱性；課件呈現(xiàn)教材第214頁(yè)拓廣探索19，肯定學(xué)生的成果.

師：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，原點(diǎn)是它的一個(gè)對(duì)稱中心，由于它具有周期性，因而有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心；正弦函數(shù)的圖象也是軸對(duì)稱圖形，由于周期性，它具有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸.對(duì)一般的函數(shù)y=f（x）而言，如果它有x=a，x=b兩條對(duì)稱軸，那么它具有周期性嗎？如果有，周期是多少？

學(xué)生自主展開探究，有的利用特殊作圖探究，有的利用數(shù)式證明.教師及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的探究成果，得出如下結(jié)論：

結(jié)論3：若函數(shù)y=f（x）以直線x=a和x=b為對(duì)稱軸，則f（x）為周期函數(shù)，且周期T=2|a-b|.

教師追問所得周期是否為最小正周期.

說(shuō)明：學(xué)生比較習(xí)慣于“觀察圖象，得出性質(zhì)”，所以教學(xué)中要有意識(shí)地滲透從代數(shù)角度研究函數(shù)性質(zhì)的方法.在積累了一定的知識(shí)后，還要讓學(xué)生形成“由性質(zhì)畫圖象”的意識(shí).

對(duì)于函數(shù)具有（a，0），（b，0）兩個(gè)對(duì)稱中心、函數(shù)關(guān)于直線x=a和點(diǎn)（b，0）對(duì)稱的情形，通過探究，可得出如下結(jié)論：

結(jié)論4：若函數(shù)y=f（x）以（a，0），（b，0）為對(duì)稱中心，則f（x）為周期函數(shù)，且周期T=2|a-b|.

結(jié)論5：若函數(shù)y=f（x）以點(diǎn)（b，0）為對(duì)稱中心，直線x=a為對(duì)稱軸，則f（x）為周期函數(shù)，且周期為T=4|a-b|.

師：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)作為周期函數(shù)的代表，都是既有對(duì)稱中心又有對(duì)稱軸，那是不是一般的周期函數(shù)都具有對(duì)稱性呢？如果一個(gè)周期函數(shù)具有對(duì)稱中心，即它是不是一定也有對(duì)稱軸呢？

學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)，并不是所有的周期函數(shù)都具有對(duì)稱性.例如，y=|sin x|只有對(duì)稱軸，y=tan x只有對(duì)稱中心，y=x-［x］既沒有對(duì)稱軸、也沒有對(duì)稱中心.

說(shuō)明：深度剖析周期性與對(duì)稱性的關(guān)系.

例3 （2021全國(guó)卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+2）為偶函數(shù)，f（2x+1）為奇函數(shù)，則（ ）.

A.f-12=0

B.f（-1）=0

C.f（2）=0

D.f（4）=0

例4 （2018全國(guó)卷Ⅱ）已知y=f（x）是定義域?yàn)椋?∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1-x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+……+f（50）=（ ）.

A.-50

B.0

C.2

D.50

說(shuō)明：在綜合情境中促進(jìn)學(xué)生掌握周期性與對(duì)稱性，積累解題經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)“雙對(duì)稱→周期性”.

2.4 對(duì)稱性的拓展研究

師：前面圍繞函數(shù)的對(duì)稱性，探索了它與奇偶性、周期性的關(guān)系，更多地見證了函數(shù)值中的“等”的關(guān)系.實(shí)際上，利用對(duì)稱性也可以處理“不等”，即“大小比較”的關(guān)系.

例5 設(shè)y=f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，試比較f（-1），f12，f（2）的大小.

變式 若f（x+1）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（1，+∞）單調(diào)遞減，試比較f（-1），f12，f（2）的大小.

學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)，可以將函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為自變量與對(duì)稱軸距離的比較，亦可以將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間進(jìn)行比較.

例6 設(shè)f（x）=ln xx，試比較f（2），f（3），f（5）的大小.

學(xué)生作出函數(shù)f（x）=ln xx的圖象，其沒有對(duì)稱軸，在x=e處取到極大值，呈現(xiàn)出左陡右緩的趨勢(shì).由于沒有對(duì)稱軸作為參照，因此學(xué)生嘗試將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間進(jìn)行比較.

由于3，5∈（e，+∞），2（e，+∞），部分學(xué)生試圖尋找（2，f（2））的等值點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)f（2）=ln 22=ln 44=f（4），成功將三個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間.教師乘勝追擊，提出問題.

師：如果我們沒能發(fā)現(xiàn)f（2）=f（4），或者下次不能進(jìn)行類似轉(zhuǎn)化了，怎么辦？

生：研究點(diǎn)（2，f（2））關(guān)于直線x=e的對(duì)稱點(diǎn)（2e-2，f（2）），由3<2e-2<5，得f（3）>f（2）>f（5）.

師：如圖2，對(duì)一般的“類對(duì)稱”函數(shù)圖象，我們可以有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生討論得出：若f（x1）=f（x2），則x1+x2>2a.有學(xué)生提出“極值點(diǎn)偏移”.教師肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn).

說(shuō)明：通過運(yùn)算，理解函數(shù)所蘊(yùn)含的規(guī)律，掌握通過圖象直觀（定性）和運(yùn)算（定量）獲得函數(shù)性質(zhì)的方法，感受其中蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想.

2.5 課堂小結(jié)與展望

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)和方法進(jìn)行小結(jié)，如圖3.

教師呈現(xiàn)基本初等函數(shù)（圖1），引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，雖然它們本身不具有對(duì)稱性，但底數(shù)互為倒數(shù)的指數(shù)函數(shù)之間、底數(shù)互為倒數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)之間、同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)之間是具有對(duì)稱性的，由此引出下節(jié)課的課題——函數(shù)的互對(duì)稱.

說(shuō)明：生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的課堂，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法能夠生根、發(fā)芽、生長(zhǎng)的課堂，是有生命的、靈動(dòng)的課堂.整節(jié)課沿著基本初等函數(shù)對(duì)稱性的思維鏈條，提出問題、解決問題，在小結(jié)后提出可以進(jìn)一步研究的問題，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)生長(zhǎng)的力量.

3 教學(xué)反思

羅曉峰在文［1］中提出生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的三點(diǎn)要義：生長(zhǎng)點(diǎn)、延伸點(diǎn)、落腳點(diǎn).生長(zhǎng)數(shù)學(xué)要找準(zhǔn)問題的生長(zhǎng)點(diǎn)，自然遷移，強(qiáng)調(diào)思維的連貫性.本節(jié)課的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)就是從函數(shù)圖象的對(duì)稱呈現(xiàn)出的“形特征”到y(tǒng)=f（x）的點(diǎn)（x，y）橫、縱坐標(biāo)關(guān)系的“數(shù)表達(dá)”.方法生長(zhǎng)點(diǎn)是學(xué)生已有研究函數(shù)性質(zhì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和方法.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)要做好延伸點(diǎn)，注重知識(shí)整體結(jié)構(gòu)的構(gòu)建.問題的提出以回顧熟悉的基本初等函數(shù)的對(duì)稱性一以貫之，問題的解決回應(yīng)了教材內(nèi)容，研究中發(fā)現(xiàn)對(duì)稱性與奇偶性、周期性聯(lián)系緊密，建構(gòu)了學(xué)生的知識(shí)整體觀，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.整節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)是輕松的，思維是自然的，興趣是高漲的.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)要深化落腳點(diǎn)，本節(jié)課升華了函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)，積淀了數(shù)形結(jié)合的思想，落實(shí)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).

從結(jié)構(gòu)性思維來(lái)看，卜以樓

老師強(qiáng)調(diào)生長(zhǎng)數(shù)學(xué)用“式結(jié)構(gòu)”與“形結(jié)構(gòu)”來(lái)澆筑知識(shí)結(jié)構(gòu).本節(jié)課在第一階段“函數(shù)的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱”，由函數(shù)圖象對(duì)稱的“形特征”到“數(shù)表達(dá)”，進(jìn)行了運(yùn)算推理，生長(zhǎng)出新的結(jié)構(gòu).第二階段“奇偶性與對(duì)稱性”為學(xué)生鋪設(shè)合適的認(rèn)知臺(tái)階，使學(xué)生經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過程，提升對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的理解水平.第三階段“周期性與對(duì)稱性”，通過代數(shù)運(yùn)算和圖象直觀構(gòu)建從具體到抽象、從特殊到一般的過程，提升學(xué)生的抽象思維水平，生長(zhǎng)出新的知識(shí).

從策略性思維來(lái)看，以深度研究為要領(lǐng)，在第四階段“對(duì)稱性的拓展研究”，以不變應(yīng)萬(wàn)變，以對(duì)稱應(yīng)不對(duì)稱，更好地把握客觀世界中事物的變化規(guī)律，生長(zhǎng)出新的思維.

從整體性思維來(lái)看，本節(jié)課的研究始于直觀、抽象數(shù)式，終于推理.以數(shù)形結(jié)合思想方法引領(lǐng)，以基本初等函數(shù)的對(duì)稱性一以貫之，第五階段“課堂小結(jié)與展望”總結(jié)收獲，提出新的研究問題，建立學(xué)生知識(shí)和方法的整體觀，生長(zhǎng)出整體知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法［2］.

參考文獻(xiàn)：

［1］羅曉峰.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的三點(diǎn)要義［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（18）：70-71.

［2］龐海燕.基于整體觀構(gòu)建的探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)——以“利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（12）：14-16，20.