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基于“生本”理念的“一題一課”教學(xué)實(shí)踐探究

2024-10-17 00:00:00陳曉寧

摘要:三角函數(shù)是高考中每年必考的內(nèi)容,其中的“給值求值”問題更是屢見不鮮.本文中以“三角函數(shù)中給值求值問題”為例,通過“一題一課”的課堂教學(xué)模式,充分提取教材中的典型例題、課后習(xí)題等素材進(jìn)行“再加工、再整合”,開展探究活動,落實(shí)生本理念,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力,助推學(xué)生的思維水平走向高階.

關(guān)鍵詞:給值求值;生本理念;一題一課;教學(xué)實(shí)踐

“生本教育”是郭思樂教授創(chuàng)立的一種教育思想和教育方式.生本教育是以“一切為了學(xué)生,高度尊重學(xué)生,全面依靠學(xué)生”為宗旨的教育,它既是一種方式,更是一種理念.

所謂“一題一課”[1],就是指教師通過對一道題或某一素材的深入研究,挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)與內(nèi)涵,科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動,促進(jìn)學(xué)生對知識之間的關(guān)聯(lián)性理解,實(shí)現(xiàn)“學(xué)一題,透一點(diǎn),通一類”的教學(xué)目標(biāo).

1 挖掘探究材料

1.1 課時內(nèi)容分析

“三角恒等變換”的知識結(jié)構(gòu)[2]如圖1.

通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),學(xué)生能夠掌握解決簡單三角恒等變換的方法,同時在三角函數(shù)的簡單恒等變換的運(yùn)算中可以有效訓(xùn)練邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

1.2 教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課內(nèi)容來自人教A版必修第一冊第五章第五節(jié)“三角恒等變換”,變換是數(shù)學(xué)的重要工具,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象之一.代數(shù)變換是學(xué)生所熟悉的,與代數(shù)變換一樣,三角變換也是只變其形而不變其質(zhì).本節(jié)課,學(xué)生將運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式,進(jìn)行簡單的三角變換,利用湊角的方法解決給值求值問題.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力將得到進(jìn)一步提高.

1.3 學(xué)生情況分析

學(xué)生較好地掌握了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其公式的簡單應(yīng)用,這為認(rèn)識三角變換提供了基礎(chǔ);但對公式還不熟悉,其理解還停留在公式的表象認(rèn)知,需要教師的分析、引導(dǎo).

1.4 例題與練習(xí)分析

由表1可見,教材對給值求值的要求是很高的,需要學(xué)生掌握其運(yùn)算規(guī)律及解決方法,本節(jié)課的重點(diǎn)是使學(xué)生學(xué)會用湊角的方法,用已知角表示出未知角從而求出所求角的三角函數(shù)值.

1.5 確定教學(xué)目標(biāo)

為了讓學(xué)生深度理解給值求值問題的解決方法,特確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為:

(1)理解三角恒等變換的根本思想,通過觀察角之間的關(guān)系,利用湊角化未知角為已知角,培養(yǎng)整體代換和換元思想,理解化歸思想;

(2)能獨(dú)立分析和解決一些三角恒等變換“給值求值”問題;

(3)能夠靈活運(yùn)用公式,提高邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

1.6 評價任務(wù)

(1)入門測要求學(xué)生自主完成,并通過入門測涉及到的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧;

(2)通過變式訓(xùn)練的分析講解,挖掘三角函數(shù)中給值求值問題所涉及到的整體思想,同時提煉解題方法——“湊角”.

2 設(shè)計探究過程

2.1 課前自測

入門測:若sin α=13,α∈π2,π,求sinα+π4的值.

此題需學(xué)生課前完成,其完成情況如下:

學(xué)生1:利用三角恒等式及已知條件sin α=13,可以求出cos α的值,進(jìn)而運(yùn)用兩角和的正弦公式求值即可.

教師:思路沒有問題,但是否嚴(yán)謹(jǐn),其他同學(xué)有補(bǔ)充嗎?

學(xué)生2:利用三角恒等式求cos α的值時,要注意角所在象限.

教師:非常好,我們在運(yùn)用三角恒等式求解的時候要注意角所在象限,從而決定取值的正負(fù).

師生活動:教師運(yùn)用希沃軟件拍照展示學(xué)生的解答過程,規(guī)范解題步驟.

說明:通過兩角和的正弦公式的簡單應(yīng)用,提醒學(xué)生在利用三角恒等式求解時要注意角所在象限,避免出現(xiàn)錯解.

2.2 探究解題方法

為了實(shí)現(xiàn)“學(xué)一題,透一點(diǎn),通一類”的教學(xué)目標(biāo),運(yùn)用“一題一課”的教學(xué)模式,特設(shè)置如下變式問題串供學(xué)生探究.

變式1 若sinα+π4=13,α∈π2,π,求sin α的值.

教學(xué)預(yù)設(shè):本題有部分學(xué)生會利用兩角和的正弦公式將sinα+π4=13,展開,并結(jié)合三角恒等式聯(lián)立方程組求解;另有部分學(xué)生會發(fā)現(xiàn)α=α+π4-π4,然后利用兩角差的正弦公式求解.兩種不同的解法其運(yùn)算過程的繁雜程度明顯不同,第一種方法思路簡單但運(yùn)算量較大,第二種方法技巧性較強(qiáng)但計算量明顯減小.在此進(jìn)行鋪墊說明:將復(fù)雜的問題簡單化就是數(shù)學(xué)中常說的化歸思想;我們把用已知角表示出未知角的方法叫做“湊角”.

說明:通過兩種不同解題思路的對比,學(xué)生能夠體會到“湊角”方法的優(yōu)勢.由此為深層次講解“湊角”方法做好鋪墊.

變式2 若sin(α+β)=13,cos β=45,α∈π2,π,β∈0,π2,求sin α與sin(α+2β)的值.

教學(xué)預(yù)設(shè):變式1講評結(jié)束,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察變式2中已知角與未知角的關(guān)系,通過小組交流可以發(fā)現(xiàn)α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+β,此時學(xué)生可以輕松利用兩角和與差的正弦公式解題.在解題過程中要提示學(xué)生注意角所在象限,從而決定取值的正負(fù).

說明:通過變式1與變式2的類比,學(xué)生能夠進(jìn)一步感知利用整體思想進(jìn)行湊角的便利,同時感受由特殊到一般的方法,進(jìn)而提升歸納推理能力.

變式3 已知sinα+π4=13,sin(α+β)=-45,α∈π2,π,β∈0,π2,求sinβ-π4的值.

說明:通過增加已知角的難度,學(xué)生可以學(xué)會“舉一反三”,體會數(shù)學(xué)化歸思想.

2.3 總結(jié)提升

出門測:

(1)已知cos α=45,α∈3π2,2π,求cosα-π3的值.

(2)若α,β均為銳角,且sin α=13,cos(α+β)=-35,求sin β的值.

(3)若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,α∈π4,π,β∈π,3π2,求cos(α+β)的值.

說明:設(shè)置出門測是為了讓學(xué)有余力的學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步探究學(xué)習(xí),進(jìn)而培養(yǎng)他們的應(yīng)用意識,提高他們的數(shù)學(xué)思維能力.

課時小結(jié):通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲?

說明:教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納本節(jié)課的收獲,可以有效地幫助學(xué)生構(gòu)建知識框架,對所學(xué)的新知識快速做到融會貫通,靈活應(yīng)用.

3 反思實(shí)踐過程

“一題一課”課堂教學(xué)模式旨在聚焦“一題”,延伸“一課”,充分挖掘典型例題背后蘊(yùn)含的價值,利用變式練習(xí)實(shí)現(xiàn)知識的內(nèi)化,使學(xué)生的認(rèn)知從特殊走向一般,化未知為已知.

本節(jié)課是筆者在集團(tuán)校的一節(jié)送教展示課,反響還不錯.縱觀本節(jié)課,利用具有知識生成邏輯的“變式練習(xí)”來授課,在具體的數(shù)學(xué)探究變式中讓學(xué)生體驗(yàn)、內(nèi)化數(shù)學(xué)知識,逐步學(xué)會將復(fù)雜問題簡單化的化歸思想.筆者認(rèn)為本節(jié)課的成功得益于以下幾個方面.

(1)以生為本

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人,本節(jié)課以學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識并熟知的兩角和與差公式的簡單變形應(yīng)用的入門測小練習(xí)引入,使得學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的新知識沒有畏懼感,有利于課堂教學(xué)的順利開展.

(2)以課本為綱

課本是學(xué)生學(xué)做人做事的基本載體,脫離課本的教學(xué)不是好的數(shù)學(xué)教學(xué).教師最基本且重要的職責(zé)是教好課本,而本節(jié)課恰恰是立足于教材的典型例題和課后習(xí)題,并進(jìn)行深入探究而開展的教學(xué)活動.

(3)以課堂為基

課堂是教學(xué)工作的主陣地,是學(xué)生獲取知識與能力的主要途徑,本節(jié)課以“一題一課”的課堂教學(xué)模式來開展,使教學(xué)活動自然流暢,教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成.

參考文獻(xiàn):

[1]王先義.基于“生本”理念的“一題一課”微專題復(fù)習(xí)課探究以——“含參函數(shù)零點(diǎn)問題”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2023(1):21-26.

[2]石雨卓.小專題,大功能——“探究函數(shù)y=ax+bx的圖像與性質(zhì)”教學(xué)實(shí)踐與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2023(1):35-37.

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