涉及“雙變元”或“雙參”的綜合應用問題，是基于雙變元所對應的函數、方程或不等式等的應用，是近年高考數學試卷中的一個基礎知識點與基本考點.此類綜合應用問題，借助函數與方程、函數與不等式、函數與導數等方面的綜合與應用，結合雙變元之間的變換與設置，成為全面考查“四基”與“四能”等比較重要的一種方向，備受各方關注.

1 問題呈現

問題 （2024年山東省齊魯名校高三年級下學期考前質量檢測·14）已知兩個不同的正數a，b滿足（1+a）3a=（1+b）3b，則ab的取值范圍是______.

此題以“雙變元”所滿足結構相同的代數式相等為問題場景，以方程形式來限制雙變元之間的關系，進而確定雙變元乘積的取值范圍.題目場景相對比較簡單，以高次方程來創(chuàng)設，融入“雙變元”設置，進而確定代數式的最值（或取值范圍）.

題目簡單明了，對于代數式的最值或取值范圍問題，最常見的數學思維方式就是不等式思維或函數思維，從這兩個不同的數學思維切入，結合代數式的變形與轉化，借助函數與方程、函數與不等式等之間的關系與應用，實現代數式的最值或取值范圍的求解與確定，達到突破的目的.

4 教學啟示

破解此類涉及“雙變元”或“雙參”的綜合應用問題，關鍵是借助問題場景的設置與應用，結合函數、方程或不等式等基礎知識，通過知識的轉化與變形，借助函數思維、方程思維、不等式思維等，采取切之可行的方式來處理，特別是消元處理、主次元處理、整體化處理等，還可以借助函數或方程等的構造與應用來分析，這些都是破解此類綜合問題的常見技巧方法與解題思路.

而涉及“雙變元”或“雙參”的函數、方程以及不等式等綜合應用問題，以形式多樣、變化多端等特點，一直是命題中的重點與難點之一.處理此類問題時，要正確挖掘問題的內涵與實質，聯系起對應的函數、方程或不等式等基礎知識與基本思想.這對于全面考查學生的基礎知識與基本能力等方面都是非常有益處的；同時也能夠全面養(yǎng)成良好的數學解題習慣與數學思維品質，培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng).