1 理論概述

高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系是我國(guó)高考評(píng)價(jià)體系中的重要組成部分，旨在全面、科學(xué)地評(píng)估考生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)，以滿足高等教育選拔優(yōu)秀人才的需求.

高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系的評(píng)價(jià)核心：

①基礎(chǔ)性：強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握.基礎(chǔ)性是高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)的首要核心，目的是確?？忌邆涓叩冉逃璧幕緮?shù)學(xué)素養(yǎng).

②綜合性：強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)不僅僅考查單一知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，更注重考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體理解和綜合運(yùn)用能力.

③應(yīng)用性：強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力.數(shù)學(xué)的價(jià)值在于其廣泛的應(yīng)用性，高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系特別關(guān)注考生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

④創(chuàng)新性：強(qiáng)調(diào)考生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力.創(chuàng)新性是高等教育和社會(huì)發(fā)展對(duì)人才的核心要求之一，高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系通過(guò)設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的新題型、新情境，考查考生的創(chuàng)新思維.

2 真題及解析

2024年新高考Ⅱ卷的壓軸題作為試卷中最具挑戰(zhàn)性的部分，集中體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系的核心要求.分析這一題型的原因在于，它不僅考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法和思維的綜合應(yīng)用能力，還反映了命題趨勢(shì)，即對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力、邏輯推理能力及解決復(fù)雜問(wèn)題能力的重視.通過(guò)對(duì)壓軸題的深入分析，能夠幫助教育工作者更好地理解高考數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)導(dǎo)向，從而在教學(xué)中更有針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力和應(yīng)試技巧.

（新高考Ⅱ卷第19題）已知雙曲線C：x2－y2=m（m>0），點(diǎn)P1（5，4）在C上，k為常數(shù)，0<k<1，按照如下方式依次構(gòu)點(diǎn)Pn（n=2，3，……），過(guò)點(diǎn)Pn－1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn－1，令Pn為Qn－1關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記Pn的坐標(biāo)為（xn，yn）.

3 試題分析

3.1 四層分析

此題通過(guò)三個(gè)層次的問(wèn)題設(shè)計(jì)，充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)，蘊(yùn)含豐富的核心價(jià)值.首先，題目中的雙曲線方程以及斜率概念屬于數(shù)學(xué)必備知識(shí)，要求學(xué)生具備扎實(shí)的代數(shù)基礎(chǔ)和幾何知識(shí).其次，題目考查學(xué)生的關(guān)鍵能力，特別是邏輯推理和解題策略的選擇.在第（2）問(wèn)中，要求證明數(shù)列為等比數(shù)列，涉及對(duì)數(shù)列的性質(zhì)和公式的掌握，這需要學(xué)生具備較強(qiáng)的推理能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力.學(xué)科素養(yǎng)方面，此題要求學(xué)生將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象思維與邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，這不僅是對(duì)知識(shí)的應(yīng)用，更是對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.最后，核心價(jià)值體現(xiàn)在通過(guò)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的分步解決，培養(yǎng)學(xué)生持之以恒、精益求精的學(xué)術(shù)態(tài)度，樹(shù)立積極面對(duì)挑戰(zhàn)的精神.

3.2 四翼分析

在四翼方面，此題綜合性強(qiáng)，包含了代數(shù)、幾何和數(shù)列知識(shí)的交叉應(yīng)用，考查了學(xué)生對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的整合能力.基礎(chǔ)性體現(xiàn)在題目涉及的基本數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算上，如雙曲線方程、斜率公式等，這些都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)內(nèi)容.應(yīng)用性則通過(guò)第（1）問(wèn)的計(jì)算和第（3）問(wèn)面積公式的推導(dǎo)體現(xiàn)出來(lái)，要求學(xué)生能夠在具體情境中靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).創(chuàng)新性則表現(xiàn)為題目在構(gòu)造點(diǎn)Pn（n=2，3，……）時(shí)的設(shè)定，這種遞歸構(gòu)造要求學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)建模能力和發(fā)散性思維.題目在這些方面的考查，意在培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力、創(chuàng)新思維及解決問(wèn)題的獨(dú)立性，使他們具備應(yīng)對(duì)復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力.

3.3 一核分析

從一核“立德樹(shù)人”的角度來(lái)看，此題以其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?，意在培養(yǎng)學(xué)生追求真理、精確思維的學(xué)術(shù)精神.通過(guò)問(wèn)題的逐步深入，學(xué)生要運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行自主探究和證明，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的邏輯美和理性思維的力量.這種設(shè)計(jì)有助于培養(yǎng)學(xué)生在面對(duì)困難時(shí)的毅力和勇氣，以及在解決問(wèn)題過(guò)程中的耐心和細(xì)致.特別是在第（3）問(wèn)的面積恒等證明中，學(xué)生需要通過(guò)不斷的推理和驗(yàn)證來(lái)尋找通解，這一過(guò)程不僅是知識(shí)的積累，更是人格的錘煉，符合“立德樹(shù)人”核心價(jià)值觀的要求，最終幫助學(xué)生在成長(zhǎng)過(guò)程中樹(shù)立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀.

4 教學(xué)啟示

4.1 夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，提升應(yīng)用能力

本題在第（1）問(wèn)中要求計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，體現(xiàn)了雙曲線方程與斜率公式的綜合應(yīng)用.對(duì)此，教學(xué)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的扎實(shí)掌握，并注重提升學(xué)生在復(fù)雜情境中的應(yīng)用能力.教師在講解雙曲線方程及其性質(zhì)時(shí)，不僅要幫助學(xué)生理解相關(guān)概念，還需通過(guò)設(shè)置類(lèi)似情境問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行運(yùn)用.通過(guò)這種方式，學(xué)生能夠更加熟練地掌握公式和定理，并能夠靈活地將其應(yīng)用到不同的題型中.特別是在高考中，題目往往不僅僅考查單一的知識(shí)點(diǎn)，而是要求學(xué)生將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合應(yīng)用.通過(guò)反復(fù)練習(xí)和應(yīng)用，學(xué)生不僅能夠夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還能提高應(yīng)試能力，在面對(duì)類(lèi)似復(fù)雜問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)得更加自信和從容.

4.2 強(qiáng)化邏輯推理，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維

第（2）問(wèn)涉及數(shù)列的證明，這不僅要求學(xué)生掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，還需要他們具備一定的邏輯推理能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.在教學(xué)中，教師應(yīng)注重通過(guò)類(lèi)似題目的訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生的推理和證明能力.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納、演繹、類(lèi)比等推理過(guò)程，幫助他們理解數(shù)列的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)和推導(dǎo)方法.此外，教師還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)他們養(yǎng)成逐步推導(dǎo)、層層驗(yàn)證的好習(xí)慣.這種思維訓(xùn)練不僅有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能夠幫助他們?cè)诿鎸?duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)更加冷靜和有條不紊地進(jìn)行思考和解答，從而提高整體解題水平.

4.3 培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，增強(qiáng)綜合應(yīng)用能力

本題的第（3）問(wèn)要求證明三角形面積恒等，展示了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維和綜合應(yīng)用能力的高要求.教學(xué)中，教師應(yīng)注重通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)題和探索性任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).在實(shí)際課堂上，教師可以通過(guò)設(shè)立挑戰(zhàn)性問(wèn)題或開(kāi)放性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從多角度思考，探索多種解題路徑.這不僅能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的多樣性，還能激發(fā)他們的創(chuàng)造性思維.同時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生將不同的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法相結(jié)合，增強(qiáng)綜合應(yīng)用能力.通過(guò)這種方式，學(xué)生能夠逐步提升自己在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)新能力，并在高考中展現(xiàn)出更加靈活和富有創(chuàng)意的解題技巧.這種創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，不僅對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科有益，還能為學(xué)生的全面發(fā)展和未來(lái)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).