【摘要】韋達(dá)定理是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要工具，可用來解決一元二次方程問題中的兩根關(guān)系問題.初中數(shù)學(xué)中許多問題經(jīng)常與二次函數(shù)結(jié)合對知識點(diǎn)進(jìn)行考查，所以就需要構(gòu)造一元二次方程求解相關(guān)量的大小，這時(shí)韋達(dá)定理就對根的求解起到了重要作用.本文結(jié)合例題談韋達(dá)定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】韋達(dá)定理；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

典例分析

類型1求解反比例函數(shù)中k的大小

例1如圖1所示，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=－2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與雙曲線y=kx（x>0）交于C、D兩點(diǎn)，且滿足∠AOC=∠ADO，則k的大小為.

解如圖2所示，因?yàn)椤鰽OC∽△ADO，

所以O(shè)A2=AC·AD.

因?yàn)锳O∶BO∶AB=2∶4∶25，

所以AC=52CF，AD=52DE.

所以4=52CF·52DE=54CF·DE.

因?yàn)镃F、DE分別代表著點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)yC、yD，

所以4=54yC·yD.

因?yàn)槭强v坐標(biāo)乘積的形式，所以考慮使用韋達(dá)定理.

聯(lián)立y=－2x+4，y=kx，

可得y2－4y+2k=0，

所以yC·yD=2k，

則4=54·2k，

所以k=85.

評析反比例函數(shù)常常和直線結(jié)合進(jìn)行考查，所以有時(shí)需要將直線和反比例函數(shù)的方程聯(lián)立來求解相關(guān)問題.聯(lián)立得到的方程是與兩者交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的方程，如果此方程是一元二次方程，就可以利用韋達(dá)定理求解其中相關(guān)參數(shù)的大小.最后要注意對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).

類型2求圖形邊長的范圍

例2如圖3所示，在△ABC中，AC+BC=a，M是AB的中點(diǎn)，MC=MA=5，則a的取值范圍.

解設(shè)AC=x，BC=y，

所以x+y=a.

因?yàn)辄c(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

所以MC=MA=MB=5，△ABC是直角三角形.

在Rt△ABC中，x2+y2=100，

所以xy=（x+y）2－（x2+y2）2=a2－1002.

所以x，y是方程t2－at+a2－1002=0的兩個(gè)實(shí)根，

所以Δ=a2－2（a2－100）≥0，解得a≤102.

又因?yàn)閍=x+y=AC+BC>AB=10，

所以a的取值范圍是10<a≤102.

評析求解圖形邊長的問題，可以將幾何量代數(shù)化，從而利用代數(shù)解析式解答問題.在求解代數(shù)解析式的過程中，如果遇到一元二次方程，方程的根就是幾何量的大小，也可以利用根的判別式來得到幾何量大小的范圍.再結(jié)合韋達(dá)定理即可具體求解出參數(shù)的值，并根據(jù)之前的范圍進(jìn)行取舍.

類型3求函數(shù)的解析式

例3方程x2－2x－1=0的兩根是α和β，方程x2+mx+n=0的兩根是α2和β2，點(diǎn)（m，n）在一次函數(shù)y=kx+（n－3）的圖象上，則此函數(shù)的解析式為，其圖象與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積是.

解因?yàn)棣梁挺率欠匠蘹2－2x－1=0的兩根，

所以由韋達(dá)定理得α+β=2，αβ=－1.

又因?yàn)棣?和β2是方程x2+mx+n=0的兩根，

所以m=－（α2+β2）=－（α+β）2+2αβ=-6，

n=α2β2=（－1）2=1.

將（－6，1）代入y=kx－2，

得到－6k－2=1，

解得k=－12.

所以函數(shù)的解析式為y=－12x－2.

在y=－12x－2，

令x=0，得y=－2.

令y=0，得x=－4，

所以函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積是4.

評析韋達(dá)定理最直接的應(yīng)用就是解方程，而函數(shù)的零點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題.因此，對于函數(shù)解析式問題可以代入韋達(dá)定理求得解析式中系數(shù)的大小.有時(shí)還可以利用韋達(dá)定理的其中一個(gè)關(guān)系式來得到函數(shù)圖象中某兩點(diǎn)的中點(diǎn)的坐標(biāo).

結(jié)語

總的來說，韋達(dá)定理作為初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，其應(yīng)用價(jià)值是不可忽視的.本文深入探討了韋達(dá)定理在求解反比例函數(shù)中k的大小、求圖形邊長的范圍和求函數(shù)的解析式三個(gè)方面的應(yīng)用，在一定程度上拓寬了解題的視野.同時(shí)，在解題的過程中能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).在筆者看來，韋達(dá)定理更為重要的是考查了學(xué)生的檢驗(yàn)意識，許多學(xué)生經(jīng)常只會(huì)背公式解題，而忽略了韋達(dá)定理成立的條件，即方程有實(shí)根，養(yǎng)成良好的習(xí)慣，才能成為更完美的人.

參考文獻(xiàn)：

［1］謝炳發(fā).例說韋達(dá)定理在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2022（22）：54-57.

［2］王煒煜.例談“韋達(dá)定理”在初中代數(shù)中的應(yīng)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（03）：12-14.

［3］謝雪梅.韋達(dá)定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例析[J].中學(xué)教學(xué)參考，2011（29）：47.