【摘要】一元一次不等式是解決實(shí)際問(wèn)題最基本的手段之一．本文通過(guò)實(shí)例，闡述如何使用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題．通過(guò)分析問(wèn)題中的不等關(guān)系，建立不等式模型，并通過(guò)求解得到最優(yōu)解．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；一元一次不等式；解題

不等式是數(shù)學(xué)中一種重要的工具，它不僅可以用于求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以用于解決實(shí)際問(wèn)題．一元一次不等式是數(shù)學(xué)中最基本的不等式類型，具有簡(jiǎn)單、易懂的特點(diǎn)，在解決實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用．

1 解決問(wèn)卷調(diào)查問(wèn)題

例1 某校為了解學(xué)生校外的勞動(dòng)表現(xiàn)，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，讓每位學(xué)生的家長(zhǎng)對(duì)自家孩子進(jìn)行打分，滿分為10分（分?jǐn)?shù)均為整數(shù)）．勞動(dòng)老師從全部的問(wèn)卷中隨機(jī)抽取了80份，表1是家長(zhǎng)所打分?jǐn)?shù)的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表．

（1）求被抽取的家長(zhǎng)們所打分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）勞動(dòng)老師從余下的問(wèn)卷中又隨機(jī)抽取了1份，與之前的80份合在一起，重新計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)家長(zhǎng)所打分?jǐn)?shù)的平均數(shù)提高了至少0.15%，求勞動(dòng)老師最后抽取的問(wèn)卷中家長(zhǎng)所打分?jǐn)?shù)最少為幾分？

解析 （1）家長(zhǎng)們所打分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為：180×5×4+6×8+7×20+8×24+9×16+10×8=180×624=7.8（分），

家長(zhǎng)們所打分?jǐn)?shù)從小到大排序后第40個(gè)和第41個(gè)均為8分，所以中位數(shù)為8+82=8（分），

有24位家長(zhǎng)所打分?jǐn)?shù)為8分，人數(shù)最多，所以眾數(shù)為8分．

（2）設(shè)勞動(dòng)老師最后抽取的問(wèn)卷中家長(zhǎng)所打分?jǐn)?shù)最少為x分，

依題意，得624+x80+1≥7.8×1+0.15%，

解得x≥8.7477，

因?yàn)閤為整數(shù)，所以x的最小值為9，即勞動(dòng)老師最后抽取的問(wèn)卷中家長(zhǎng)所打分?jǐn)?shù)最少為9分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和一元一次不等式的應(yīng)用．題設(shè)條件中明確了平均數(shù)至少提高了0.15%，暗示需要用平均數(shù)公式建立一元一次不等式關(guān)系．設(shè)勞動(dòng)老師最后抽取的問(wèn)卷中家長(zhǎng)所打分?jǐn)?shù)最少為x分，根據(jù)求平均數(shù)的公式可列出關(guān)于x的不等式，解之即可．

2 解決生活生產(chǎn)問(wèn)題

例2 2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，優(yōu)化了課程設(shè)置，將勞動(dòng)從綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái).為弘揚(yáng)和傳承中華民族的傳統(tǒng)文化，強(qiáng)化勞動(dòng)教育成果，錦江區(qū)某中學(xué)在端午節(jié)前夕，面向全體學(xué)生開(kāi)展了包粽子比賽活動(dòng)．已知A小組同學(xué)包的粽子個(gè)數(shù)y（個(gè)）與所用時(shí)間x（分）的關(guān)系如圖2所示．

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若B小組同學(xué)每分鐘能包6個(gè)粽子，什么時(shí)候A小組同學(xué)包的粽子個(gè)數(shù)會(huì)超過(guò)B小組？

解析 （1）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，

把10，40代入解析式得40=10k，

解得k=4，

所以y=4x；

當(dāng)x>10時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，

把10，40，15，80代入解析式，

得10m+n=4015m+n=80，

解得m=8n=－40，

所以y=8x－40，

綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

y=4x0≤x≤108x－40x>10．

（2）根據(jù)題意B組同學(xué)包的粽子個(gè)數(shù)y（個(gè)）與所用時(shí)間x（分）的函數(shù)解析式為y=6x，

所以當(dāng)A小組同學(xué)包的粽子個(gè)數(shù)超過(guò)B小組時(shí)，8x－40>6x，

解得x>20，

所以20分鐘后A小組同學(xué)包的粽子個(gè)數(shù)會(huì)超過(guò)B小組．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)和一元一次不等式的應(yīng)用，讀懂題意，正確求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．先求出B組同學(xué)包的粽子個(gè)數(shù)y（個(gè)）與所用時(shí)間x（分）的函數(shù)解析式，再根據(jù)A小組同學(xué)包的粽子個(gè)數(shù)會(huì)超過(guò)B小組，列出一元一次不等式，解不等式即可解決問(wèn)題．

3 解決商品購(gòu)置問(wèn)題

例3 在“垃圾分類，你我有責(zé)”活動(dòng)中，某校準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A，B兩類垃圾桶共40個(gè)，其中A類垃圾桶的個(gè)數(shù)不多于B類垃圾桶的個(gè)數(shù)的2倍，設(shè)購(gòu)入A類垃圾桶x個(gè)（x為整數(shù)）．

（1）求最多能購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)A類垃圾桶；

（2）若A類垃圾桶單價(jià)為25元，B類垃圾桶單價(jià)為45元，則購(gòu)買(mǎi)兩類垃圾桶最少需要多少元？

解析 （1）因?yàn)樵撔?zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A，B兩類垃圾桶共40個(gè)，且購(gòu)入A類垃圾桶x個(gè)（x為整數(shù)），

所以購(gòu)入B類垃圾桶（40－x）個(gè)．

根據(jù)題意得x≤2（40－x），

解得x≤803，

又因?yàn)閤為整數(shù)，

所以x的最大值為26，即最多能購(gòu)買(mǎi)26個(gè)A類垃圾桶．

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩類垃圾桶共花費(fèi)y元，

則y=25x+45（40－x），

即y=－20x+1800，

因?yàn)?20<0，

所以y隨x的增大而減小，

所以當(dāng)x=26時(shí)，y取得最小值，最小值=－20×26+1800=1280，

所以購(gòu)買(mǎi)兩類垃圾桶最少需要1280元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)購(gòu)入A類垃圾桶的個(gè)數(shù)不多于B類垃圾桶的個(gè)數(shù)的2倍，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值，即可得出結(jié)論.設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩類垃圾桶共花費(fèi)y元，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．

4 結(jié)語(yǔ)

可見(jiàn)，在使用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要仔細(xì)分析問(wèn)題中的不等關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)牟坏仁侥Ｐ停缓筮m當(dāng)選擇不等式參數(shù)，以適應(yīng)不同的問(wèn)題需求，再運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法（如代入法、公式法等）求解不等式，得到最優(yōu)解，最后根據(jù)實(shí)際情況，對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行解釋和討論．本文通過(guò)實(shí)例闡述了如何使用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題．通過(guò)分析問(wèn)題中的不等關(guān)系，建立不等式模型，并通過(guò)求解得到最優(yōu)解．在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)不同的問(wèn)題需求選擇適當(dāng)?shù)牟坏仁筋愋秃蛥?shù)，并運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解最優(yōu)解．一元一次不等式作為一種簡(jiǎn)單、易懂的數(shù)學(xué)工具，在解決實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用前景．

參考文獻(xiàn)：

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