摘要：為增強(qiáng)鐵路客運(yùn)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力、提高其運(yùn)營(yíng)收入，對(duì)多模式鐵路客運(yùn)票價(jià)的多目標(biāo)系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究。采用變分不等式模型對(duì)不同鐵路客運(yùn)產(chǎn)品客運(yùn)需求之間的平衡關(guān)系進(jìn)行描述，采用靈敏度分析的方法給出了多模式鐵路客運(yùn)產(chǎn)品需求彈性的計(jì)算方法，并構(gòu)建了多模式鐵路客運(yùn)的市場(chǎng)需求函數(shù)；在此基礎(chǔ)上，綜合考慮了鐵路客運(yùn)企業(yè)的市場(chǎng)需求、客運(yùn)收入、利潤(rùn)以及旅客出行費(fèi)用等多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，提出了多目標(biāo)雙層規(guī)劃模型來(lái)描述多模式鐵路客運(yùn)票價(jià)的系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題。最后，采用北京至天津的真實(shí)鐵路客運(yùn)數(shù)據(jù)對(duì)提出的模型進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明本文提出的票價(jià)優(yōu)化方法可以有效兼顧客運(yùn)需求、客運(yùn)收入以及利潤(rùn)等多個(gè)指標(biāo)，為鐵路客運(yùn)部門(mén)在不同市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)階段制定科學(xué)合理的鐵路客運(yùn)票價(jià)體系提供參考和支撐。

關(guān)鍵詞：鐵路客運(yùn)；鐵路客運(yùn)票價(jià)；需求彈性；多目標(biāo)；雙層規(guī)劃

中圖分類號(hào)：U293.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1002-4026（2024）05-0069-10

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)志碼（OSID）：

Optimization model and algorithm for multimodal railway-passenger

transportation fares based on demand elasticity

WANG Hongyin1，YUAN Yuan1， CUI Hongmeng2，ZHENG Xuanchuan3 ， SI Bingfeng2

（1. Zhengzhou Metro Group Co.， Ltd.， Zhengzhou 450000， China；2. School of Systems Science， Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China;

3. Beijing Urban Construction Design &Development Group Co.， Ltd.， Beijing 100037， China）

Abstract∶To improve the competitiveness of the railway-passenger transportation market and increase its operational revenue， this study investigates the multiobjective system optimization issue of multimodal railway-passenger transportation fares. A mathematical model was used to describe the equilibrium relationship among the demands of different railway-passenger transportation products. Sensitivity analysis was performed to provide a calculation method for the demand elasticity of multimodal railway-passenger transportation products， and a market demand function for multimodal railway-passenger transportation was formulated. Considering multiple optimization objectives such as market demand， passenger transportation revenue， and profit of railway-passenger transportation enterprises along with passenger transportation costs， we proposed a multiobjective bi-level planning model for describing the system optimization issue of multimodal railway-passenger transportation fares. Finally， we used real passenger transportation data of the railway line between Beijing and Tianjin to validate the proposed model. The results show that the proposed method can effectively balance multiple objectives such as passenger transportation demand， passenger transportation revenue， and profit， providing reference and support for railway-passenger transportation departments to develop scientifically reasonable fare systems in different market competition stages.

Key words∶railway-passenger transportation; railway-passenger fare; demand elasticity; multi-objective; bi-level planning

隨著我國(guó)高速鐵路的快速發(fā)展，客運(yùn)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)愈加激烈。票價(jià)作為主要競(jìng)爭(zhēng)手段，對(duì)國(guó)內(nèi)客運(yùn)市場(chǎng)的健康發(fā)展極為重要。中國(guó)鐵路總公司對(duì)高鐵的自主定價(jià)權(quán)。面對(duì)日益激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，鐵路運(yùn)輸企業(yè)應(yīng)該考慮出行需求的差異性，對(duì)票價(jià)機(jī)制進(jìn)行完善，并建立科學(xué)的綜合票價(jià)體系。

國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)鐵路客運(yùn)票價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了研究。例如，Daniel［1］通過(guò)對(duì)悉尼到堪培拉的客運(yùn)數(shù)據(jù)分析，指出鐵路客運(yùn)票價(jià)應(yīng)按客流變化分時(shí)段制定，并分別以社會(huì)福利最大化和效益最大化為目標(biāo)建立了票價(jià)優(yōu)化策略；Kaan［2］考慮了旅客的時(shí)間價(jià)值并構(gòu)建了基于時(shí)間價(jià)值的票價(jià)優(yōu)化模型，通過(guò)美國(guó)新澤西州的鐵路客運(yùn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證；陳建華等［3］分析了鐵路客運(yùn)服務(wù)質(zhì)量對(duì)需求的影響，采用交通網(wǎng)絡(luò)平衡理論構(gòu)建了基于雙層規(guī)劃的鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化模型；四兵鋒等［4］分別考慮了鐵路客運(yùn)中的企業(yè)效益和乘客出行兩個(gè)因素，通過(guò)雙層規(guī)劃構(gòu)建了以市場(chǎng)占有率最大為目標(biāo)的鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化模型。近些年來(lái)，隨著我國(guó)高速鐵路的快速發(fā)展，一些學(xué)者對(duì)高鐵客運(yùn)的票價(jià)問(wèn)題展開(kāi)研究。例如，陳方遒等［5］基于改進(jìn)的LSTM（long short term memory networks，長(zhǎng)短時(shí)記憶網(wǎng)絡(luò)）模型，提出了考慮現(xiàn)行浮動(dòng)定價(jià)策略的高鐵定價(jià)模型，以京滬高鐵為案例進(jìn)行了分析；夏陽(yáng)等［6］構(gòu)建價(jià)格-時(shí)空的三維網(wǎng)絡(luò)，建立了鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化問(wèn)題的整數(shù)線性規(guī)劃模型，以京滬高鐵為例進(jìn)行了分析；秦進(jìn)等［7］構(gòu)建了考慮停車方案的非線性混合整數(shù)規(guī)劃模型來(lái)研究高鐵動(dòng)態(tài)票價(jià)優(yōu)化問(wèn)題，以京滬高鐵為例對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證；閆振英等［8］以高鐵客運(yùn)收益最大化為優(yōu)化目標(biāo)，基于偏好序選擇行為建立了考慮高鐵票價(jià)和售票時(shí)間窗的非線性規(guī)劃模型，并給出了求解算法。

盡管這些研究從不同方面對(duì)鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究，但只考慮了公路、民航、鐵路等不同客運(yùn)方式之間的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，并沒(méi)有考慮鐵路客運(yùn)內(nèi)部不同列車服務(wù)模式之間的競(jìng)爭(zhēng)。而事實(shí)上，在客運(yùn)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，除了以高鐵和民航為代表的不同運(yùn)輸方式之間的競(jìng)爭(zhēng)，鐵路內(nèi)部也存在動(dòng)車、高速、直達(dá)、普快、特快等多種客運(yùn)產(chǎn)品。不同的客運(yùn)產(chǎn)品在價(jià)格、行駛速度、服務(wù)質(zhì)量等方面存在差異，這些差異在一定程度上會(huì)影響乘客的選擇。因此，不同客運(yùn)產(chǎn)品之間也存在著競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。同時(shí)，隨著國(guó)內(nèi)客運(yùn)市場(chǎng)的變化以及鐵路客運(yùn)市場(chǎng)化改革的推進(jìn)，鐵路客運(yùn)企業(yè)參與競(jìng)爭(zhēng)的目標(biāo)也更加多元化，而不僅僅局限于某個(gè)單一目標(biāo)。票價(jià)對(duì)客運(yùn)市場(chǎng)中的需求起主要作用，票價(jià)變化會(huì)導(dǎo)致需求的變化，進(jìn)而影響客運(yùn)企業(yè)的市場(chǎng)份額、收入及利潤(rùn)，并且票價(jià)的變化對(duì)于這些不同指標(biāo)的影響存在顯著差異，鐵路客票定價(jià)應(yīng)在多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)中尋優(yōu)，或兼顧多目標(biāo)進(jìn)行系統(tǒng)優(yōu)化。然而，目前關(guān)于鐵路客運(yùn)票價(jià)多目標(biāo)優(yōu)化的研究還很少。

在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，需求彈性是指需求對(duì)其影響因素的敏感程度，反映了相關(guān)影響因素發(fā)生變化而引起的需求變化率，這一指標(biāo)在產(chǎn)品價(jià)格制定中具有重要作用。在交通領(lǐng)域，關(guān)于需求彈性方面的研究主要集中在城市公交方面，例如，Johan［9］通過(guò)回歸方法研究了公交需求彈性的偏差，計(jì)算了美國(guó)幾個(gè)城市的公共交通價(jià)格需求彈性；David等［10］分析了城市人口、票價(jià)等因素對(duì)公交吸引程度的作用機(jī)制，同樣采用統(tǒng)計(jì)方法分析了公交需求彈性；陳伯陽(yáng)等［11］研究了城市公交價(jià)格對(duì)其需求的定量關(guān)系，并對(duì)不同情況下的公交客流需求以及價(jià)格需求彈性的變化規(guī)律進(jìn)行了分析。近年來(lái)，一些學(xué)者對(duì)我國(guó)鐵路客運(yùn)的需求彈性進(jìn)行了研究，例如，李文君等［12］采用需求彈性理論分析了我國(guó)高鐵的需求變化規(guī)律，通過(guò)實(shí)際運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)研究了企業(yè)收入、票價(jià)水平及車輛速度等關(guān)鍵因素的需求彈性；韋濤［13］分析了旅客出行需求的時(shí)間彈性及購(gòu)票行為特征，提出了鐵路客票銷售的需求彈性控制及實(shí)施方法；車瑤等［14］引入交叉彈性表示客運(yùn)產(chǎn)品之間的可替代程度，構(gòu)建了指數(shù)需求函數(shù)以描述客運(yùn)需求與票價(jià)之間的關(guān)系，并進(jìn)一步研究了客運(yùn)產(chǎn)品之間不同可替代程度下的最佳動(dòng)態(tài)票價(jià)策略。然而，目前關(guān)于鐵路需求彈性的研究大多是基于調(diào)查數(shù)據(jù)并采用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)進(jìn)行分析，這些研究只適用于特定的線路或者區(qū)域，而無(wú)法將其應(yīng)用于鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化問(wèn)題中。

本論文針對(duì)以上問(wèn)題，對(duì)某兩個(gè)城市之間的鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化展開(kāi)研究。首先，分析了鐵路乘客的選擇行為，基于用戶平衡準(zhǔn)則構(gòu)建了一個(gè)變分不等式模型，對(duì)不同客運(yùn)產(chǎn)品客運(yùn)需求之間的分配關(guān)系進(jìn)行描述，并采用靈敏度分析的方法來(lái)表達(dá)鐵路客運(yùn)的需求與票價(jià)間的定量關(guān)系，再通過(guò)需求彈性分析給出了多模式鐵路客運(yùn)需求函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，綜合考慮了鐵路客運(yùn)需求、票價(jià)收入、利潤(rùn)等市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)目標(biāo)，構(gòu)建了多目標(biāo)雙層規(guī)劃模型來(lái)描述多模式鐵路客運(yùn)票價(jià)系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題，并設(shè)計(jì)了求解算法。最后，采用北京到天津之間的實(shí)際鐵路客運(yùn)數(shù)據(jù)對(duì)模型及算法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1基于需求彈性的多模式鐵路客運(yùn)需求函數(shù)

由于本文針對(duì)同一起訖點(diǎn)建模，故假定在某兩個(gè)城市之間的鐵路客運(yùn)共有N種模式，鐵路客運(yùn)總需求Q固定，不同模式的客運(yùn)需求滿足以下基本條件：

∑Nn=1qn=Q，（1）

式中，qn表示第n種客運(yùn)方式的需求量。

旅客在確定鐵路作為城際出行方式后，會(huì)根據(jù)各種條件選擇鐵路客運(yùn)方式，比如高鐵、動(dòng)車、普通列車等。采用廣義出行費(fèi)用定量表達(dá)鐵路客運(yùn)產(chǎn)品之間的競(jìng)爭(zhēng)差異性，廣義出行費(fèi)用是乘客對(duì)出行過(guò)程的整體評(píng)價(jià)，是旅客進(jìn)行鐵路客運(yùn)產(chǎn)品選擇的主要依據(jù)。本文根據(jù)鐵路運(yùn)輸供給條件和乘客自身感受，將各種影響因素分為兩類指標(biāo)：第一類指標(biāo)是可以量化的固定費(fèi)用，包括列車運(yùn)行時(shí)間和票價(jià)等；第二類指標(biāo)是隨情景變化且難以量化的因素，如舒適性、安全性、排隊(duì)檢票時(shí)間、排隊(duì)上車時(shí)間等。

第二類指標(biāo)難以直接量化，卻與客運(yùn)量有一定的關(guān)系［15］。如果客運(yùn)量大，可能造成擁擠，存在一定的安全隱患，乘客的排隊(duì)時(shí)間、找座時(shí)間也會(huì)增加，乘客在整個(gè)乘車過(guò)程中的舒適性隨之降低，這些都會(huì)增加乘客的廣義出行費(fèi)用。第二類指標(biāo)與客運(yùn)量之間通常是反函數(shù)關(guān)系［16］：

Cn=Cn（qn），（2）

式中，Cn表示第n種客運(yùn)方式的第二類綜合指標(biāo)。

本文將旅客的廣義出行費(fèi)用表示為：

GCn=αCn+βTn+Pn， n，（3）

式中，GCn表示客運(yùn)方式n的廣義費(fèi)用；Tn和Pn分別表示第n種客運(yùn)方式的列車運(yùn)行時(shí)間和票價(jià)；α和β為參數(shù)。

按照消費(fèi)者行為理論，旅客一般會(huì)選擇廣義費(fèi)用最小的鐵路客運(yùn)方式，同時(shí)，旅客的選擇行為又會(huì)受到其他旅客選擇的影響。比如，假定某種鐵路客運(yùn)方式的廣義出行費(fèi)用低，此時(shí)，所有旅客都會(huì)選擇該種方式，對(duì)應(yīng)的客運(yùn)需求就會(huì)上升，基于式（3），旅客廣義費(fèi)用也會(huì)隨之上升，上升到一定程度時(shí)，就會(huì)有部分旅客轉(zhuǎn)移到其他鐵路客運(yùn)方式，而其他客運(yùn)方式的費(fèi)用同樣會(huì)隨其需求的增長(zhǎng)而上升。因此，在不同的鐵路客運(yùn)產(chǎn)品之間存在競(jìng)爭(zhēng)和博弈關(guān)系。根據(jù)市場(chǎng)平衡原理，在長(zhǎng)期旅客出行選擇行為的作用下，客流需求會(huì)在不同的鐵路客運(yùn)產(chǎn)品間達(dá)到平衡狀態(tài)，這就是交通系統(tǒng)中的用戶平衡狀態(tài)，可用下式進(jìn)行描述：

GCn=Cmin ，

GCn≥Cmin ， qn>0qn=0，n，（4）

式中，Cmin表示平衡狀態(tài)下的最小出行費(fèi)用。

根據(jù)文獻(xiàn)［16］，可通過(guò)求解變分不等式模型（5）得到滿足用戶平衡條件（4）的多模式鐵路客運(yùn)需求：

GC（q*）T（q－q*）≥0，（5）

式中，q*表示變分不等式模型（5）的解，q=q1，q2，…，qNT，q*=q*1，q*2，…，q*NT，GC（q*）=GC1（q*），GC2（q*），…，GCN（q*）T。

根據(jù)變分不等式的靈敏度分析方法，可將票價(jià)作為模型（5）的擾動(dòng)參數(shù)，即當(dāng)票價(jià)變動(dòng)時(shí)，各客運(yùn)方式的廣義費(fèi)用會(huì)隨之變化，同時(shí)，各方式客運(yùn)需求也會(huì)隨之改變。

下面給出應(yīng)用靈敏度分析方法計(jì)算多模式鐵路客運(yùn)需求彈性的過(guò)程。

首先，在給定的鐵路票價(jià)P（0）n下，變分不等式模型（5）解的一階必要條件可寫(xiě)為［17］：

GC（q*）－μ=0，（6）

Q=ΔTq*，（7）

式中，μ為基本守恒條件（1）的拉格朗日乘子向量；Δ=（1，…，1）T。

設(shè)y=q*，μT，用Jy表示公式（6）和（7）對(duì)于q，μ的雅克比矩陣，用JPn表示公式（6）和（7）對(duì)參數(shù)Pn的雅克比矩陣，可得出［17］：SymbolQC@yPn=J－1y·（－JPn）。（8）

根據(jù)式（8），就能計(jì)算出不同鐵路客運(yùn)方式下的客運(yùn)需求對(duì)其票價(jià)的導(dǎo)數(shù)，即：qn/Pn。參考需求彈性的定義，鐵路客運(yùn)的需求彈性可以通過(guò)式（9）進(jìn)行計(jì)算：

En=qnPn·P（0）nq*n，（9）

式中，q*n表示在給定的鐵路票價(jià)P（0）n下第n種客運(yùn)方式的滿足用戶平衡條件（4）的需求量。

根據(jù)鐵路客運(yùn)的需求彈性，就可以得出多模式鐵路客運(yùn)的需求量和票價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系，基于式（9），應(yīng)用泰勒展開(kāi)式可得到如式（10）的多模式鐵路客運(yùn)需求函數(shù)：

qn（Pn）≈q*n1+En（P（0）nPn－1），n。（10）

2鐵路客運(yùn)票價(jià)多目標(biāo)系統(tǒng)優(yōu)化模型

隨著我國(guó)鐵路系統(tǒng)市場(chǎng)化改革的加快，票價(jià)改革已被提到越來(lái)越重要的位置。同時(shí)，由于我國(guó)鐵路客運(yùn)還承擔(dān)著社會(huì)公益服務(wù)的職能，這在一定程度上也限制企業(yè)收入最大化。目前，對(duì)于鐵路客運(yùn)企業(yè)來(lái)說(shuō)，在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，客運(yùn)量、客運(yùn)收入以及企業(yè)利潤(rùn)是衡量鐵路客運(yùn)經(jīng)濟(jì)效益的三大指標(biāo)，這三個(gè)指標(biāo)可分別表示如下：

F1=∑Nn=1qn（Pn），（11）

F2=∑Nn=1qn（Pn）·Pn，（12）

F3=∑Nn=1qn（Pn）·（Pn-pminn×ln），（13）

式中，pminn和ln分別表示第n種鐵路客運(yùn)方式的最低票價(jià)率以及運(yùn)營(yíng)里程，pminn×ln代表了第n種鐵路客運(yùn)方式的最低客運(yùn)成本。

客運(yùn)成本是鐵路票價(jià)制定的主要依據(jù)，而基于鐵路客運(yùn)社會(huì)公益性，政府會(huì)對(duì)鐵路票價(jià)進(jìn)行限定。假定宏觀政策無(wú)較大變動(dòng)，則鐵路客運(yùn)票價(jià)應(yīng)在政府最高限價(jià)和鐵路客運(yùn)成本之間進(jìn)行制定。即：

pminn×ln≤Pn≤Pmaxn（14）

式中，Pmaxn表示第n種鐵路客運(yùn)方式的政府限價(jià)。

在本文中，綜合考慮了鐵路客運(yùn)企業(yè)的多種經(jīng)濟(jì)目標(biāo)和旅客出行費(fèi)用兩方面的因素，采用基于多目標(biāo)雙層規(guī)劃方法來(lái)描述多模式鐵路客運(yùn)的票價(jià)優(yōu)化問(wèn)題。其中，鐵路客運(yùn)企業(yè)在政府規(guī)定的票價(jià)范圍內(nèi)制定滿足不同優(yōu)化目標(biāo)的最佳票價(jià)為上層優(yōu)化問(wèn)題，而下層優(yōu)化問(wèn)題則對(duì)鐵路客運(yùn)總需求在不同客運(yùn)方式之間的平衡關(guān)系進(jìn)行描述。

本文提出的多目標(biāo)雙層規(guī)劃模型如下：

max（F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3），（15）

s.t.pminn×ln≤Pn≤Pmaxn，n，（16）

qn（Pn）≈q*n1+En（P（0）nPn－1），n，（17）

其中，約束條件（17）是通過(guò)求解下層模型得到的，下層模型為公式（5）所示的變分不等式問(wèn)題，即GC（q*（P））T（q－q*（P））≥0，其中P=P1，P2，…，PNT。

在雙層規(guī)劃模型中，上層優(yōu)化問(wèn)題的決策變量（即不同客運(yùn)方式的票價(jià)）與下層優(yōu)化問(wèn)題的決策變量（即不同客運(yùn)方式的客運(yùn)需求量）是相互作用的。在其他條件不變的情況下，提高某種鐵路客運(yùn)的票價(jià)水平，那么，該鐵路客運(yùn)的需求必然轉(zhuǎn)移到其他方式上；反之，如果降低某客運(yùn)方式票價(jià)，則該方式就會(huì)吸引更多的客運(yùn)需求。一方面，乘客總希望選擇最佳的客運(yùn)方式來(lái)降低自身的出行費(fèi)用；另一方面，鐵路客運(yùn)企業(yè)則希望通過(guò)票價(jià)和市場(chǎng)需求來(lái)達(dá)到其經(jīng)濟(jì)目標(biāo)。這兩者存在相互作用機(jī)制，最終會(huì)達(dá)到一個(gè)均衡點(diǎn)，即雙層規(guī)劃模型的最優(yōu)解。需要注意的是，本文提出的模型是針對(duì)某兩個(gè)城市之間的鐵路客運(yùn)票價(jià)進(jìn)行優(yōu)化，不同的城市需要重新對(duì)應(yīng)求解。

3求解算法

通常，雙層規(guī)劃問(wèn)題是一個(gè)NP-hard問(wèn)題，導(dǎo)致雙層規(guī)劃問(wèn)題求解困難的主要原因是非凸性。目前，求解雙層規(guī)劃的算法都是啟發(fā)式的，歸納起來(lái)，可分為五類，即K-T法、極點(diǎn)搜索法、下降法、非數(shù)值優(yōu)化方法以及直接搜索法，其中下降法在解決實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用較為廣泛［16］。本文采用下降法來(lái)求解多目標(biāo)雙層規(guī)劃問(wèn)題如公式（15）～（17），該方法的基本思想為：通過(guò)求解下層變分不等式模型，根據(jù)需求彈性得到需求函數(shù)（10），將其代入到上層多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題中，則雙層問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單層多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，可用已有的方法求解得到最優(yōu)解，最優(yōu)解即為新的多方式客運(yùn)票價(jià)，再對(duì)下層問(wèn)題求解，可以得到新的需求函數(shù)，重復(fù)計(jì)算，最后可得到雙層多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解。求解算法的具體步驟如下：

步驟1初始化，設(shè)置初始的鐵路客運(yùn)票價(jià)P（0）n，n，設(shè)置迭代次數(shù)k=0；

步驟2根據(jù)當(dāng)前的鐵路票價(jià)P（k）n，n，求解下層變分不等式模型得到均衡條件下的不同鐵路客運(yùn)方式的需求量q*（k），n；

步驟3通過(guò)需求彈性分析得到需求函數(shù)qn（Pn）表達(dá)式，將其代到上層多目標(biāo)規(guī)劃模型中，求解得出新的鐵路客運(yùn)票價(jià)ω（k）n，YfypTzVi3nSkcaS5qwijPJtKwNz+9u2P68ckVvXlK18=n；

步驟4根據(jù)式（18）對(duì)票價(jià)進(jìn)行迭代

P（k+1）n=P（k）n+1k+1（ω（k）n－P（k）n），n;（18）

步驟5收斂性判斷，如果max{|P（k+1）n－P（k）n|}≤ε或者k=M，則停止迭代；否則令k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟2，其中M表示最大迭代次數(shù)，ε表示迭代精度。

主要有兩種思路來(lái)求解上層的多目標(biāo)鐵路票價(jià)優(yōu)化問(wèn)題：一種是在多個(gè)單目標(biāo)的定價(jià)方案中進(jìn)行選擇，單目標(biāo)定價(jià)方案指的是企業(yè)根據(jù)唯一優(yōu)化目標(biāo)制定的票價(jià)決策。如認(rèn)為在鐵路峰值期應(yīng)該以票價(jià)收入為目標(biāo)定價(jià)，非峰值期應(yīng)以利潤(rùn)為目標(biāo)定價(jià)，新線路開(kāi)通宜根據(jù)客運(yùn)需求目標(biāo)定價(jià)等［18］；或者根據(jù)定價(jià)部門(mén)的要求將不同目標(biāo)的定價(jià)方案進(jìn)行對(duì)比，如以利潤(rùn)、收益、客運(yùn)需求量作為定價(jià)目標(biāo)［19］。這種思路不會(huì)涉及多目標(biāo)之間的權(quán)衡與取舍，而是將單一目標(biāo)定價(jià)結(jié)果制定的最佳方案進(jìn)行對(duì)比。另一種思路則是多目標(biāo)定價(jià)方案，即企業(yè)同時(shí)考慮多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)來(lái)制定票價(jià)策略，線性加權(quán)和法較為常見(jiàn)，該方法是把每個(gè)目標(biāo)賦權(quán)后的加和當(dāng)做目標(biāo)函數(shù)，現(xiàn)有的多目標(biāo)定價(jià)研究大多采用線性加權(quán)和方法［20-21］。

本文采用線性加權(quán)和法來(lái)求解上層多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。加權(quán)法需要事先給定每個(gè)目標(biāo)權(quán)因子，權(quán)因子與約束參數(shù)的設(shè)定受到具體應(yīng)用中交通政策、決策者偏好等多種因素的影響，是較為復(fù)雜的問(wèn)題。線性加權(quán)模型是最為常見(jiàn)的妥協(xié)模型［22-23］，該模型對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)求和，對(duì)于本文所提出的上層多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為如式（19）的線性加權(quán)和模型：

max∑3i=1λiF-i，（19）

其中，λ1、λ2、λ3為非負(fù)實(shí)數(shù)，且λ1+λ2+λ3=1，表示不同優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)重；F-i表示各優(yōu)化目標(biāo)經(jīng)過(guò)歸一化處理后的目標(biāo)值，可采用min-max歸一化方法。

求解變分不等式模型的常用算法為松弛算法，該算法的基本思想為：在第i次迭代中，用當(dāng)前解對(duì)向量函數(shù)GC（q1，q2，…，qN）進(jìn)行對(duì)角化處理，即假定向量q=q1，q2，…，qN中只有一個(gè)變量為決策變量，而其他變量為常數(shù)，則函數(shù)GC（q1，q2，…，qN）的Hession陣SymbolQC@

qGC（q）是對(duì)角陣，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化子問(wèn)題被稱為對(duì)角化子問(wèn)題，該子問(wèn)題可以通過(guò)數(shù)學(xué)優(yōu)化算法進(jìn)行求解。

下面給出給出求解變分不等式問(wèn)題（5）的一般過(guò)程［16］：

步驟1初始化，設(shè)定一個(gè)不同鐵路客運(yùn)需求的初始可行點(diǎn)q（0）∈{q（0）｜Q=δTq（0）}，令迭代次數(shù)i=1；

步驟2松弛化，求解如下的數(shù)學(xué)優(yōu)化子問(wèn)題

min Z（q（i））=∑Ni=1∫qn（i）0（αCn+βTn+Pn）dx，（20）

s.t∑Nn=1qn（i）=Q，（21）

可采用Frank-Wolfe算法或MSA算法進(jìn)行求解，假設(shè)最優(yōu)解為q*（i）；

步驟3收斂性檢查，如果滿足收斂性，則停止；否則，令i=i+1，轉(zhuǎn)步驟2。

4算例分析

采用北京到天津之間的鐵路客運(yùn)數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)模型和算法進(jìn)行驗(yàn)證。目前，北京至天津的鐵路客運(yùn)方式共有5種：C列車、D列車、G列車、KTZ列車和普通列車，將其分別用1～5的數(shù)字表示。北京至天津京哈線的運(yùn)距為137 km，京津城際高鐵運(yùn)距為120 km，根據(jù)2017年北京鐵路局的統(tǒng)計(jì)資料，平均每日北京到天津的發(fā)送總客流Q=45 128人次。北京到天津不同的鐵路客運(yùn)方式的市場(chǎng)分擔(dān)率、客運(yùn)量、平均時(shí)耗和平均票價(jià)等數(shù)據(jù)由表1給出。

本例對(duì)約束（2）采用對(duì)數(shù)函數(shù)Cn=ln qn的形式。根據(jù)上面的數(shù)據(jù)采用回歸方法對(duì)參數(shù)α和β進(jìn)行估計(jì)，表2給出了計(jì)算結(jié)果。

基于以上數(shù)據(jù)，采用松弛算法求解下層變分不等式模型得出在均衡條件下的不同鐵路客運(yùn)方式的需求量q*=（34 124.21， 378.59， 6 242.38， 4 023.44， 359.38）。根據(jù)靈敏度分析方法，計(jì)算得出如式（22）矩陣：SymbolQC@*py=-235.2230.8786.522 9.595 11.226 0.878-5.703 0.6730.9911.1596.5220.673 -63.1717.361 8.6139.5950.9917.361-45.619 12.67011.226 1.159 8.613 12.670 -20.6710.0690.0070.053 0.0780.091 ，（22）

再根據(jù)需求彈性計(jì)算公式（9），計(jì)算得到不同鐵路客運(yùn)方式之間交叉需求彈性，如表3所示。

下面分析隨著不同列車票價(jià)的變化，鐵路客運(yùn)需求、客運(yùn)收入以及利潤(rùn)的變化趨勢(shì)。圖1給出了在其他條件保持不變的情況下，當(dāng)北京到天津之間不同列車的票價(jià)從30元增加到70元時(shí)，鐵路客運(yùn)需求、收入以及利潤(rùn)的變化趨勢(shì)。

可以看出，對(duì)于鐵路客運(yùn)需求來(lái)說(shuō)，隨著各類旅客票價(jià)的提高，需求是持續(xù)下降的，這符合市場(chǎng)規(guī)律，無(wú)論哪一類旅客列車的票價(jià)提高，都會(huì)降低鐵路客運(yùn)需求，因此，當(dāng)各類客運(yùn)方式的票價(jià)在最低票價(jià)水平時(shí)，鐵路客運(yùn)需求會(huì)達(dá)到最大。對(duì)于鐵路客運(yùn)收入來(lái)說(shuō)，在票價(jià)約束范圍內(nèi)，隨著C列車票價(jià)的上升，鐵路客運(yùn)收入持續(xù)上升，隨著普通列車票價(jià)的上升，鐵路客運(yùn)收入持續(xù)下降，而隨著D列車、G列車和KTZ列車票價(jià)的上升，鐵路客運(yùn)收入先上升到一個(gè)峰值后再下降。對(duì)于鐵路客運(yùn)利潤(rùn)指標(biāo)而言，隨著C列車、D列車、G列車、KTZ列車票價(jià)的上升而持續(xù)上升，隨著普通列車票價(jià)的上升，鐵路客運(yùn)利潤(rùn)先上升然后再下降。因此，在鐵路客運(yùn)市場(chǎng)中，并不是僅通過(guò)提高票價(jià)就可以增加鐵路客運(yùn)收入或利潤(rùn)，而是存在一個(gè)合適的客運(yùn)票價(jià)體系，可以保障在其他因素不變的條件下，實(shí)現(xiàn)鐵路客運(yùn)的不同優(yōu)化目標(biāo)。表4給出了在約束條件下不同優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)票價(jià)以及對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值。其中優(yōu)化目標(biāo)用F1、F2和F3表示，分別代表客運(yùn)量、客運(yùn)收入以及企業(yè)利潤(rùn)這三個(gè)指標(biāo)。

從表中的計(jì)算結(jié)果可以看出，在不同的優(yōu)化目標(biāo)下，鐵路客運(yùn)票價(jià)具有不同的優(yōu)化結(jié)果。如果只考慮市場(chǎng)需求，則票價(jià)在最低票價(jià)時(shí)，鐵路客運(yùn)需求達(dá)到最大，而此時(shí)對(duì)應(yīng)的鐵路客運(yùn)收入并不是最好的，而利潤(rùn)則為0；如果只考慮客運(yùn)收入最大化，此時(shí)鐵路客運(yùn)需求會(huì)下降，同時(shí)，利潤(rùn)也不是最佳的；而如果只考慮利潤(rùn)的話，則需求會(huì)更低，客運(yùn)收入也會(huì)下降。因此，在制定科學(xué)合理的鐵路客運(yùn)票價(jià)體系中，需要在這些優(yōu)化目標(biāo)中尋找一個(gè)平衡值，這種平衡值取決于在不同市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)階段鐵路客運(yùn)部門(mén)對(duì)于不同目標(biāo)的側(cè)重情況。

下面來(lái)分析多目標(biāo)綜合優(yōu)化的計(jì)算過(guò)程，假定給定這三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)所對(duì)應(yīng)的權(quán)值λ1、λ2、λ3均取值為1/3，求解上層優(yōu)化模型（19）可得到C列車、D列車、G列車、KTZ列車和普通列車的最優(yōu)票價(jià)分別為60元、52元、60元、44元和30元。通過(guò)調(diào)整各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)重，可以得到在不同市場(chǎng)階段的鐵路客運(yùn)票價(jià)的優(yōu)化結(jié)果，表5給出了在不同權(quán)重值條件下所得到的鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化結(jié)果。

如表5所示，如果優(yōu)化目標(biāo)側(cè)重于市場(chǎng)需求（λ1=0.6），則票價(jià)趨于低價(jià)，此時(shí)若能更多地兼顧客運(yùn)收入（λ2=0.3），就可以保障鐵路客運(yùn)需求趨向最大的同時(shí)，鐵路客運(yùn)收入和利潤(rùn)也不是最差的；通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，在這種情況下，更關(guān)注客運(yùn)收入（λ2=0.3）比更關(guān)注利潤(rùn)（λ3=0.3）能獲得更良好的經(jīng)濟(jì)效益，但無(wú)論何種權(quán)重分配，客運(yùn)收入和利潤(rùn)都比只考慮市場(chǎng)需求的單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果要高（客運(yùn)收入增加18.85萬(wàn)元，利潤(rùn)增加3.09萬(wàn)元）。同樣的，如果客運(yùn)收入的權(quán)重較大（λ2=0.6），市場(chǎng)需求和利潤(rùn)的側(cè)重點(diǎn)不同，不同形式的客運(yùn)方式的票價(jià)會(huì)有不同的組合，但都可以在保證收入接近最大的同時(shí)，兼顧鐵路客運(yùn)需求不會(huì)過(guò)少；與只考慮客運(yùn)收入的單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果相比，市場(chǎng)需求增加1.89%，利潤(rùn)增加0.67%。而如果更重視利潤(rùn)的話（λ3=0.6），則票價(jià)應(yīng)適當(dāng)提高，此時(shí)更多地兼顧市場(chǎng)需求（λ1=0.3）可以更好地對(duì)客運(yùn)收入和需求進(jìn)行優(yōu)化；與只考慮利潤(rùn)的單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果相比，需求增加0.58%，客運(yùn)收入增加0.65%。

綜上所述，在不同的權(quán)重下，多模式鐵路客運(yùn)票價(jià)具有不同的優(yōu)化結(jié)果，這些優(yōu)化結(jié)果介于單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果之間，使鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化在側(cè)重某一個(gè)目標(biāo)的同時(shí)兼顧其他優(yōu)化目標(biāo)。因此，通過(guò)本文提出的優(yōu)化模型和算法，可以為鐵路客運(yùn)部門(mén)在不同市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)階段制定科學(xué)合理的鐵路客運(yùn)票價(jià)體系提供參考和支撐。

5結(jié)論

本文考慮了不同鐵路客運(yùn)產(chǎn)品客運(yùn)需求之間的分離關(guān)系，利用變分不等式對(duì)滿足用戶平衡的多模式鐵路客運(yùn)需求分配問(wèn)題進(jìn)行描述，基于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的需求彈性的概念分析了客運(yùn)需求與票價(jià)之間的定量關(guān)系，綜合考慮了市場(chǎng)需求、企業(yè)收入及利潤(rùn)等因素，構(gòu)建了多目標(biāo)雙層規(guī)劃模型來(lái)描述市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)下的鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化問(wèn)題，并設(shè)計(jì)了求解算法，應(yīng)用京津城際的運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)對(duì)模型和算法進(jìn)行了驗(yàn)證。

盡管本文在多模式鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化方面進(jìn)行了一定的探討性工作，但所提出的模型方法仍存在可以完善的地方，比如：（1）本文的模型并沒(méi)有考慮旅客類型的不同，而在現(xiàn)實(shí)中，不同類型的旅客在選擇出行方式的時(shí)候有不同的標(biāo)準(zhǔn)，在后續(xù)的研究中可以考慮面對(duì)不同類型的旅客提出更加細(xì)化的鐵路客運(yùn)票價(jià)優(yōu)化方法；（2）在本文的模型中，假定鐵路客運(yùn)的總需求是給定且不變的，而在現(xiàn)實(shí)中，鐵路客運(yùn)的主要競(jìng)爭(zhēng)對(duì)象是公路客運(yùn)以及航空客運(yùn)，如何將鐵路客運(yùn)的需求視為彈性變量，構(gòu)建更為普適的鐵路客運(yùn)需求模型和彈性計(jì)算方法，也是未來(lái)研究應(yīng)該考慮的問(wèn)題；（3）由于數(shù)據(jù)資源有限，在本文的算例分析中，采用的是2017年北京鐵路局的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，這可能會(huì)對(duì)研究結(jié)論的可靠性產(chǎn)生影響，在后續(xù)的研究中可以考慮收集更豐富、全面的數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)分析；（4）本文僅以北京到天津的鐵路數(shù)據(jù)為例進(jìn)行優(yōu)化，在后續(xù)的研究中，可以考慮擴(kuò)大樣本范圍，探究不同城市之間的票價(jià)優(yōu)化差異，并觀察運(yùn)營(yíng)里程對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。

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