摘 要：土石壩內(nèi)部巖土體物理力學(xué)參數(shù)具有較強(qiáng)的空間變異性，隨機(jī)場(chǎng)模型能夠通過科學(xué)的方法對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確建模和失效概率分析，有助于更好地評(píng)估大壩滲流、穩(wěn)定和抗震性能?；仡櫫穗S機(jī)場(chǎng)模型的相關(guān)理論，總結(jié)了以往研究中常用的協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)，介紹了7種隨機(jī)場(chǎng)模型的生成方法及其優(yōu)缺點(diǎn)，并對(duì)隨機(jī)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)特征的含義進(jìn)行了說明。從滲流、穩(wěn)定、靜力和動(dòng)力分析4個(gè)方面綜述了隨機(jī)場(chǎng)模型在土石壩失效概率分析中的國內(nèi)外應(yīng)用實(shí)例，包括獲取更準(zhǔn)確的滲流、穩(wěn)定和靜動(dòng)力計(jì)算結(jié)果，分析土石壩材料參數(shù)的敏感性，以及對(duì)于參數(shù)反演問題和建立大壩監(jiān)控模型等方面的重要作用。未來的研究包括考慮非達(dá)西滲流、三維精細(xì)化建模以及應(yīng)用新的采樣技術(shù)等。相關(guān)成果可為基于隨機(jī)場(chǎng)模型的土石壩失效概率分析研究提供參考。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)場(chǎng)；土石壩；空間變異性；失效概率分析

中圖分類號(hào)：TV41 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1001-9235（2024）10-0114-10

Research Progress on Failure Probability Analysis of Earth-Rockfill Dams Based onRandom Field Models

WANG Wei， LIAO Zhihao， LIAO Jielin

（Guangzhou Pearl Institute Engineering Survey and Design Co.， Ltd.， Guangzhou 510610， China）

Abstract： The physical and mechanical parameters of rock and soil inside earth-rockfill dams have strong spatial variability. Random field models can accurately model and analyze failure probability through scientific methods， which helps to better evaluate dam seepage， stability， and seismic performance. This paper reviewed relevant theories of random field models， summarized commonly used covariance and autocorrelation functions in previous research， introduced se0ba63abc964c3cad56a91b0e9e0a6ec4ea9b78ce09d1be7dcdcffd3592bd957bven methods for generating random field models and their advantages and disadvantages， and explained the meaning of random field statistical characteristics. This paper summarized domestic and international application examples of random field models in failure probability analysis of earth-rockfill dams from four aspects： seepage， stability， static， and dynamic analysis， including obtaining more accurate seepage， stability， and static dynamic calculation results， analyzing the sensitivity of material parameters of earth-rockfill dams， and playing an important role in parameter inversion problems and establishing dam monitoring models. Future research includes considering non-Darcy flow， 3D fine modeling， and applying new sampling techniques. The relevant achievements can provide a reference for the failure probability analysis of earth-rockfill dams based on random field models.

Keywords： random field; earth-rockfill dam; spatial variability; failure probability analysis

土石壩是世界上應(yīng)用最廣泛的一類壩型，具有適應(yīng)性強(qiáng)、施工周期短、建設(shè)成本低等優(yōu)點(diǎn)。受多種因素的綜合影響，土石壩內(nèi)部巖土體物理力學(xué)參數(shù)具有較強(qiáng)的空間變異性［1］。首先，地質(zhì)構(gòu)造、巖石類型和成因等因素會(huì)影響巖土體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，導(dǎo)致其非均質(zhì)化。其次，巖土體在沉積過程中受到水流、風(fēng)化、侵蝕等自然力的作用，會(huì)導(dǎo)致不同深度的土層性質(zhì)差異。同時(shí)，巖土體還會(huì)受到外界荷載的作用而發(fā)生變形，導(dǎo)致內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化。最后，在工程施工中，開挖回填也會(huì)導(dǎo)致巖土體結(jié)構(gòu)受到干擾和變形。通過科學(xué)的方法對(duì)土石壩空間變異性進(jìn)行準(zhǔn)確建模和失效概率分析，有助于更好地評(píng)估土石壩的滲流、穩(wěn)定和抗震性能。

隨機(jī)場(chǎng)模型作為一種有效的數(shù)學(xué)工具，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于土石壩工程的失效概率分析研究中［2］。隨機(jī)場(chǎng)模型可以通過對(duì)材料參數(shù)（如滲透系數(shù)、抗剪強(qiáng)度、內(nèi)摩擦角等）進(jìn)行隨機(jī)建模來描述土石壩的材料性質(zhì)和空間變異特性，結(jié)合蒙特卡洛模擬分析滲流、穩(wěn)定及靜動(dòng)力響應(yīng)等指標(biāo)的敏感性和概率分布，確定關(guān)鍵參數(shù)和敏感區(qū)域，有助于識(shí)別潛在的破壞機(jī)制和可能導(dǎo)致大壩安全問題的因素，評(píng)估不同概率水平下土石壩的失效風(fēng)險(xiǎn)［3-5］，從而制定相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)管理策略。此外，通過對(duì)材料參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)場(chǎng)模擬，還可以生成多個(gè)可能的大壩運(yùn)行場(chǎng)景，并對(duì)建筑物的性態(tài)進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)，進(jìn)而指導(dǎo)監(jiān)測(cè)和改進(jìn)土石壩的控制措施。

隨機(jī)場(chǎng)模型的引入為土石壩工程領(lǐng)域帶來了新的研究思路和方法，促進(jìn)了土石壩數(shù)值計(jì)算的技術(shù)創(chuàng)新，推動(dòng)了行業(yè)的進(jìn)步和發(fā)展。本文總結(jié)了隨機(jī)場(chǎng)模型的相關(guān)理論，綜述了隨機(jī)場(chǎng)模型在大壩滲流、穩(wěn)定、靜力和動(dòng)力分析中的應(yīng)用，展望了未來隨機(jī)場(chǎng)在土石壩失效概率分析中的研究方向，旨在為土石壩失效概率分析研究提供全面參考，促進(jìn)土石壩工程的安全設(shè)計(jì)和可靠運(yùn)行。

1 隨機(jī)場(chǎng)理論概述

1. 1 隨機(jī)場(chǎng)的定義

隨機(jī)場(chǎng)是概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念，用于描述具有空間或時(shí)間相關(guān)性的隨機(jī)變量的集合，它可以被視為在空間或時(shí)間上分布的一組隨機(jī)變量［6］。由樣本空間Ω={0，1，. . .，G- 1}n取樣構(gòu)成的隨機(jī)變量Xi所組成的S={X1，. . .，Xn}，若對(duì)所有的ω∈Ω，π（ω） > 0均成立，則稱π為1個(gè)隨機(jī)場(chǎng)。

對(duì)于離散的隨機(jī)場(chǎng)，假設(shè)存在一個(gè)由離散隨機(jī)變量組成的集合或格點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)隨機(jī)變量都與某個(gè)格點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，這些隨機(jī)變量在不同的格點(diǎn)上服從不同的概率分布，并且彼此之間可能存在相關(guān)性［7］。對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)場(chǎng)，考慮定義在連續(xù)空間或時(shí)間域上的隨機(jī)變量集合，通常使用概率密度函數(shù)來描述隨機(jī)場(chǎng)的概率分布，并通過相關(guān)函數(shù)（如協(xié)方差函數(shù)）來描述不同位置之間的相關(guān)性［8］。土石壩工程中的巖土體材料參數(shù)如土層強(qiáng)度、密實(shí)度、滲透系數(shù)等通常具有空間變異性，即在空間上存在不規(guī)則的變化。隨機(jī)場(chǎng)模型可以用來描述這種變異性的規(guī)律，幫助工程師了解不同位置處材料性質(zhì)的差異，從而更準(zhǔn)確地評(píng)估工程風(fēng)險(xiǎn)。

1. 2 空間相關(guān)性

空間相關(guān)性是指在空間中相鄰位置的隨機(jī)變量之間存在某種關(guān)聯(lián)或依賴關(guān)系，當(dāng)一個(gè)位置的隨機(jī)變量值發(fā)生改變時(shí)，其附近位置的隨機(jī)變量值也可能發(fā)生相應(yīng)的變化［9-10］。在土石壩工程中，如果巖土材料參數(shù)在空間上具有較強(qiáng)的相關(guān)性，那么意味著相鄰位置的材料性質(zhì)可能會(huì)有較大的相似性。在隨機(jī)場(chǎng)模型中，空間相關(guān)性通常通過相關(guān)函數(shù)來描述，相關(guān)函數(shù)衡量了不同位置之間的相似性或相關(guān)程度，常見的相關(guān)函數(shù)包括協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。

協(xié)方差函數(shù)表示兩個(gè)位置隨機(jī)變量之間的協(xié)方差與它們各自方差之間的比例關(guān)系。當(dāng)協(xié)方差函數(shù)的值大于零時(shí)，表示2個(gè)位置之間存在正相關(guān)性；當(dāng)協(xié)方差函數(shù)的值小于零時(shí)，表示2個(gè)位置之間存在負(fù)相關(guān)性；當(dāng)協(xié)方差函數(shù)的值等于零時(shí)，表示2個(gè)位置之間不存在線性關(guān)系［11］。隨機(jī)場(chǎng)常用協(xié)方差函數(shù)及特點(diǎn)見表1。

自相關(guān)函數(shù)衡量了一個(gè)位置上隨機(jī)變量與該位置周圍其他位置隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，通常表現(xiàn)為隨距離增加而遞減的趨勢(shì)，即距離越遠(yuǎn)，相關(guān)性越低［12］。隨機(jī)場(chǎng)常用自相關(guān)函數(shù)及其特點(diǎn)見表2。

1. 3 隨機(jī)場(chǎng)模型的生成

1. 3. 1 旋轉(zhuǎn)帶法

旋轉(zhuǎn)帶法用于生成具有平穩(wěn)空間相關(guān)性的隨機(jī)場(chǎng)，其基本思想是將二維或三維空間劃分為一系列旋轉(zhuǎn)的帶狀區(qū)域，然后在每個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)生成相互獨(dú)立且具有平穩(wěn)空間相關(guān)性的隨機(jī)變量［13-14］。在生成隨機(jī)變量時(shí)，可以利用傅里葉變換將空間相關(guān)性轉(zhuǎn)化為頻率相關(guān)性，然后通過設(shè)定頻譜密度函數(shù)來控制空間相關(guān)性的特征［15-17］。旋轉(zhuǎn)帶法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算效率較高，然而，對(duì)于非平穩(wěn)空間相關(guān)性和復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)的情況，效果可能不理想。

1. 3. 2 譜方法

譜方法是一種基于頻域分析的數(shù)值計(jì)算方法，常用于解決偏微分方程、信號(hào)處理和隨機(jī)過程等問題［18-20］。該方法利用傅里葉變換或其他相關(guān)變換將問題從時(shí)域或空域轉(zhuǎn)換到頻域，通過對(duì)頻率成分進(jìn)行分析和處理，得到問題的解或近似解，可以用于生成具有所需空間相關(guān)性的隨機(jī)場(chǎng)［21-22］。譜方法生成隨機(jī)場(chǎng)具有多種優(yōu)勢(shì)，包括精度高、易于實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算和可擴(kuò)展性強(qiáng)等，然而，譜方法僅適用于具有平穩(wěn)空間相關(guān)性的隨機(jī)場(chǎng)。

1. 3. 3 矩陣分解法

矩陣分解法使用一組基函數(shù)來表示所需隨機(jī)場(chǎng)，通過擬合樣本數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出每個(gè)基函數(shù)的系數(shù)，使用所選擇的概率分布函數(shù)生成隨機(jī)變量，將生成的隨機(jī)變量與基函數(shù)的系數(shù)相乘并求和，即可得到所需隨機(jī)場(chǎng)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)［23-24］。矩陣分解法是一種基于矩陣運(yùn)算的數(shù)值方法，其算法實(shí)現(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單，易于應(yīng)用和擴(kuò)展，缺點(diǎn)是只能處理具有簡(jiǎn)單空間相關(guān)性的隨機(jī)場(chǎng)［25-26］。

1. 3. 4 Karhunen-Loeve展開法

Karhunen-Loeve展開法基于隨機(jī)場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)特性，使用已知樣本數(shù)據(jù)或一些經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算隨機(jī)場(chǎng)的協(xié)方差函數(shù)或自相關(guān)函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行特征分解得到一組特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，根據(jù)特征值的大小選擇保留最重要的特征，生成一組獨(dú)立同分布的正態(tài)隨機(jī)變量，將生成的隨機(jī)變量與保留的特征函數(shù)相乘并求和，即可得到所需隨機(jī)場(chǎng)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)［27-30］。Karhunen-Loeve展開法的優(yōu)勢(shì)在于它能夠提供一種有效的降維技術(shù)，可以通過保留較少數(shù)量的特征來近似描述整個(gè)隨機(jī)場(chǎng)，提高隨機(jī)場(chǎng)生成的效率。然而，該方法通常假設(shè)隨機(jī)場(chǎng)服從高斯分布，對(duì)于非高斯分布或復(fù)雜空間相關(guān)性的隨機(jī)場(chǎng)效果不佳［25，31］。

1. 3. 5 移動(dòng)平均法

移動(dòng)平均法通過使用1個(gè)窗口在樣本數(shù)據(jù)上滑動(dòng)，從第一個(gè)位置開始，計(jì)算窗口內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值，并將其作為生成的隨機(jī)場(chǎng)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)［32-35］。然后，向右移動(dòng)窗口，重復(fù)此過程，直到覆蓋整個(gè)空間。窗口大小決定了空間相關(guān)性的尺度，較小的窗口會(huì)產(chǎn)生更細(xì)節(jié)化和局部化的隨機(jī)場(chǎng)，而較大的窗口會(huì)產(chǎn)生平滑且整體性較強(qiáng)的隨機(jī)場(chǎng)。移動(dòng)平均法生成的隨機(jī)場(chǎng)具有平滑的特性，然而，在應(yīng)用中需要注意邊界效應(yīng)和長(zhǎng)度相關(guān)性的限制。

1. 3. 6 序貫?zāi)M法

序貫?zāi)M法基于模擬樣本路徑的思想，在空間范圍上設(shè)置一些采樣點(diǎn)，作為樣本路徑的起點(diǎn)，確定樣本路徑在空間中的前進(jìn)方向。依次沿著樣本路徑方向，根據(jù)已知的樣本數(shù)據(jù)和空間相關(guān)性，模擬出每個(gè)采樣點(diǎn)處的隨機(jī)場(chǎng)值。通過調(diào)整樣本路徑和參數(shù)設(shè)置，可以獲得不同尺度、形態(tài)和相關(guān)性的隨機(jī)場(chǎng)實(shí)現(xiàn)［36-38］。序貫?zāi)M法的優(yōu)勢(shì)是可以用于模擬一些非線性或非高斯分布的隨機(jī)場(chǎng)，然而在計(jì)算過程中可能存在計(jì)算量大、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)等問題。

1. 3. 7 局部平均法

局部平均法通過在空間范圍上創(chuàng)建一個(gè)初始的規(guī)則網(wǎng)格，計(jì)算每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍鄰居點(diǎn)的隨機(jī)場(chǎng)平均值，作為該點(diǎn)的局部平均值，將初始網(wǎng)格細(xì)分為更小的網(wǎng)格，計(jì)算每個(gè)新網(wǎng)格點(diǎn)處的局部平均值，通過不斷地細(xì)分網(wǎng)格和計(jì)算局部平均值，生成具有不同尺度和空間相關(guān)性的隨機(jī)場(chǎng)［39-41］。局部平均法在邊界處可能存在一些偏差，因?yàn)樵谶吔缟蠜]有足夠的鄰居點(diǎn)進(jìn)行平均計(jì)算。此外，網(wǎng)格細(xì)分的程度和細(xì)分算法的選擇會(huì)影響生成隨機(jī)場(chǎng)的精細(xì)程度和準(zhǔn)確性。

在進(jìn)行土石壩失效概率分析時(shí)，選擇合適的隨機(jī)場(chǎng)生成方法是1個(gè)綜合性問題，需要結(jié)合數(shù)據(jù)特性、計(jì)算復(fù)雜度、精度要求等多方面考慮?？筛鶕?jù)工程實(shí)際需求和可接受的計(jì)算復(fù)雜度，在精度和計(jì)算效率之間進(jìn)行權(quán)衡，選擇適當(dāng)?shù)碾S機(jī)場(chǎng)生成方法，達(dá)到事半功倍的效果。

1. 4 隨機(jī)場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)特性

隨機(jī)場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)特性是指描述和表征隨機(jī)場(chǎng)性質(zhì)的一組統(tǒng)計(jì)量或?qū)傩?，包括均值、變異系?shù)、相關(guān)距離、概率分布等［42］。在土石壩工程中，隨機(jī)場(chǎng)的均值是指巖土材料參數(shù)在每個(gè)空間位置上的平均值，是進(jìn)行工程設(shè)計(jì)和分析的基礎(chǔ)。隨機(jī)場(chǎng)的變異系數(shù)代表了巖土材料參數(shù)的離散程度相對(duì)于其均值的大小，反映了材料性質(zhì)在空間上的不均勻性。隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)距離是描述巖土材料參數(shù)空間相關(guān)性的尺度，它表示在一定距離內(nèi)，巖土體性質(zhì)之間的相關(guān)性較高，超過該距離后相關(guān)性逐漸減弱至接近零［43］。隨機(jī)場(chǎng)的概率分布描述了巖土材料參數(shù)值出現(xiàn)的頻率和可能性，常見的概率分布包括正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等。

1. 5 土石壩工程中隨機(jī)場(chǎng)模型參數(shù)的選取

選擇合適的隨機(jī)場(chǎng)模型參數(shù)對(duì)于土石壩失效概率分析至關(guān)重要。首先，需要收集與工程相關(guān)的地質(zhì)勘探數(shù)據(jù)，通過對(duì)這些數(shù)據(jù)的分析，了解巖土體性質(zhì)的空間變異性和相關(guān)性，包括均值、變異系數(shù)、相關(guān)距離等信息。然后，根據(jù)數(shù)據(jù)分析的結(jié)果，選擇適合描述巖土體性質(zhì)空間變異性的概率分布函數(shù)。最后，建立數(shù)值模型，根據(jù)實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證所選參數(shù)的準(zhǔn)確性和適用性。確定隨機(jī)場(chǎng)模型參數(shù)是一項(xiàng)復(fù)雜的任務(wù)，在實(shí)際工程中往往無法獲取足夠和高質(zhì)量的地質(zhì)勘探數(shù)據(jù)，無疑會(huì)增加模型建立的難度，可以借助工程類比、專家咨詢或相關(guān)文獻(xiàn)資料等資源，進(jìn)行綜合分析和判斷，以選擇最合適的隨機(jī)場(chǎng)模型參數(shù)。

2 隨機(jī)場(chǎng)模型在土石壩失效概率分析中的應(yīng)用

土石壩工程受到材料參數(shù)空間變異性等不確定因素的影響，隨機(jī)場(chǎng)模型能夠綜合考慮這些不確定性，通過概率分析得到不同條件下的水力坡降、穩(wěn)定性指標(biāo)、應(yīng)力響應(yīng)、振動(dòng)響應(yīng)等概率分布特性，有助于工程師更全面地了解土石壩在不同情況下的行為特性，從而指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)和管理決策。近年來，國內(nèi)外學(xué)者基于隨機(jī)場(chǎng)模型在土石壩滲流穩(wěn)定和靜動(dòng)力分析方面進(jìn)行了大量研究，部分研究實(shí)例總結(jié)見表3。

2. 1 滲流分析

使用隨機(jī)場(chǎng)模型來考慮土石壩滲流參數(shù)的空間變異性和隨機(jī)性，可以獲取更準(zhǔn)確的滲流預(yù)測(cè)結(jié)果。例如，黃偉杰等［5］為探究某超高心墻堆石壩防滲材料空間變異性對(duì)滲流安全的影響，建立了隨機(jī)滲流分析模型，對(duì)大壩滲透系數(shù)進(jìn)行空間離散，系統(tǒng)研究了滲流控制指標(biāo)的演變規(guī)律，發(fā)現(xiàn)忽略防滲體的空間變異性會(huì)高估大壩的滲流安全狀態(tài)。

隨機(jī)場(chǎng)模型還可以用于分析土石壩滲流參數(shù)的敏感性，并識(shí)別對(duì)滲流響應(yīng)量貢獻(xiàn)最大的關(guān)鍵參數(shù)。例如，Tan等［44］采用van Genuchten模型描述堤壩材料的土水特征曲線，通過矩陣分解法生成水力參數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)場(chǎng)，研究了不同水力參數(shù)變異性和相關(guān)性對(duì)堤壩滲流量的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)相較于van Genuchten模型擬合參數(shù)，飽和滲透系數(shù)的變異性對(duì)滲流量有更顯著的影響。

自相關(guān)函數(shù)衡量了土石壩滲流參數(shù)的空間變化，選擇合適的函數(shù)形式對(duì)于隨機(jī)滲流分析至關(guān)重要。例如，Liu等［45］采用隨機(jī)有限元法研究了自相關(guān)函數(shù)類型對(duì)堤壩滲流的影響，發(fā)現(xiàn)平方指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)對(duì)于滲流量的計(jì)算結(jié)果更偏保守，而單指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)對(duì)于水力梯度的計(jì)算結(jié)果更偏保守。

傳統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)假設(shè)整個(gè)研究區(qū)域的材料參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征是恒定的，忽略了巖土參數(shù)的各向異性。為克服這一缺陷，一些學(xué)者考慮工程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，使用參數(shù)均值隨深度變化的條件隨機(jī)場(chǎng)或非平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)來描述土石壩構(gòu)造的空間變異性。例如，Chi等［46］比較了經(jīng)典平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)，條件隨機(jī)場(chǎng)和非平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)對(duì)土石壩滲流概率分析結(jié)果的影響，發(fā)現(xiàn)不同滲透系數(shù)隨機(jī)場(chǎng)的滲流分析結(jié)果存在一定差異，穩(wěn)定隨機(jī)場(chǎng)分析結(jié)果的離散度最大，條件隨機(jī)場(chǎng)分析結(jié)果的離散度最小，這種差異對(duì)于流速最為顯著，其次是水力梯度，對(duì)于孔隙壓力不太顯著。

2. 2 穩(wěn)定分析

土石壩邊坡失穩(wěn)是其重要破壞模式之一，傳統(tǒng)的確定性分析方法沒有合理考慮參數(shù)空間變異性，計(jì)算結(jié)果往往偏離客觀實(shí)際，概率分析能夠有效克服這一缺陷。例如，肖金紅等［50］以安全系數(shù)和失效概率為評(píng)價(jià)指標(biāo)，考慮土石壩材料的空間變異性，建立隨機(jī)場(chǎng)模型對(duì)其邊坡穩(wěn)定進(jìn)行概率分析，發(fā)現(xiàn)與確定性分析相比，土石壩安全系數(shù)降低，失效概率提高，邊坡穩(wěn)定性分析結(jié)果更加合理。

隨機(jī)場(chǎng)模型還可以用于分析土石壩邊坡穩(wěn)定參數(shù)的敏感性，并識(shí)別對(duì)邊坡失穩(wěn)影響最大的關(guān)鍵參數(shù)。例如，為了有效分析考慮空間變異性的土石壩邊坡穩(wěn)定問題，蔣水華等［51］發(fā)展了土石壩邊坡可靠度非侵入式隨機(jī)分析方法，并通過參數(shù)敏感性分析探討了飽和滲透系數(shù)、黏聚力及內(nèi)摩擦角變異性對(duì)土石壩邊坡穩(wěn)定的影響，研究發(fā)現(xiàn)土石壩邊坡失效概率與3個(gè)參數(shù)的變異系數(shù)之間呈正相關(guān)，其中黏聚力變異性的影響最顯著，飽和滲透系數(shù)變異性的影響最不顯著。

土石壩邊坡的可靠度分析通常需要進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算，這些計(jì)算非常耗時(shí)，采用代理模型可以通過對(duì)原始模型進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化和逼近，從而顯著減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率。例如，鄧志平等［52］為準(zhǔn)確高效地開展小失效概率的邊坡可靠度分析，在考慮材料參數(shù)空間變異性的前提下，提出了一種基于分段逆回歸的主動(dòng)學(xué)習(xí)多元自適應(yīng)回歸樣條法與子集模擬結(jié)合的邊坡可靠度分析方法，不僅增加了計(jì)算結(jié)果的精確度，而且避免了內(nèi)存溢出情況。

土石壩材料參數(shù)的空間變異性在水平方向和垂直方向上的差異顯著，將土性參數(shù)的空間分布模擬為各向異性隨機(jī)場(chǎng)，可以得到更為精確的計(jì)算結(jié)果。例如，舒蘇荀等［53］利用各向異性隨機(jī)場(chǎng)模擬土性參數(shù)的空間變異性，將有限元法和蒙特卡洛模擬相結(jié)合，計(jì)算各參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)，發(fā)現(xiàn)與水平方向的空間變異性相比，垂直方向的空間變異性對(duì)邊坡可靠度的影響更為顯著。

2. 3 靜力分析

材料參數(shù)的空間變異性會(huì)導(dǎo)致土石壩體內(nèi)部的應(yīng)力和變形分布具有差異性，考慮空間變異性可以更真實(shí)地模擬土石壩的實(shí)際情況，提高靜力計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。例如，Chen等［55］通過大規(guī)模三軸試驗(yàn)，確定了大壩壓實(shí)質(zhì)量與Duncan-Chang本構(gòu)模型參數(shù)的定量關(guān)系，并基于這種發(fā)展關(guān)系，得到力學(xué)參數(shù)的約束隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行有限元靜力計(jì)算，發(fā)現(xiàn)考慮土體材料的空間變異性能夠得到更接近實(shí)際情況的應(yīng)力和變形計(jì)算結(jié)果。

合理定義隨機(jī)場(chǎng)模型的統(tǒng)計(jì)特征是獲得準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)果的前提，然而土石壩材料參數(shù)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)往往較難獲取，反分析是解決這一問題的有效手段。例如，楊杰等［56］將相關(guān)向量機(jī)與隨機(jī)有限元相結(jié)合， 對(duì)面板堆石壩材料參數(shù)的變異系數(shù)進(jìn)行不確定性反分析，通過對(duì)面板堆石壩應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行計(jì)算，證明所建立的不確定性反分析模型綜合考慮了數(shù)值計(jì)算以及輸入-輸出間的不確定性，可快速、精確地確定筑壩材料參數(shù)的變異系數(shù)。

隨機(jī)場(chǎng)模型還可以用于分析土石壩靜力學(xué)參數(shù)的敏感性，并識(shí)別對(duì)大壩應(yīng)力和變形影響最大的關(guān)鍵參數(shù)。例如，Chi等［57］根據(jù)原位監(jiān)測(cè)值確定土壤干密度的自相關(guān)距離和分布函數(shù)，利用三軸試驗(yàn)結(jié)果建立干密度與Duncan E-B模型參數(shù)之間的回歸函數(shù)，根據(jù)干密度分布函數(shù)和回歸函數(shù)確定E-B模型參數(shù)的累積分布函數(shù)，并采用等概率變換方法建立土壤參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行土石壩靜力計(jì)算，并討論了E-B模型參數(shù)的敏感性，發(fā)現(xiàn)Kb對(duì)隨機(jī)有限元計(jì)算結(jié)果的影響最大，Rf對(duì)隨機(jī)有限元計(jì)算結(jié)果的影響最小。

土石壩安全監(jiān)控模型能夠通過分析監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)大壩力學(xué)性態(tài)，為大壩安全評(píng)價(jià)提供參考，隨機(jī)場(chǎng)模型在該領(lǐng)域也被廣泛應(yīng)用。例如，Ran等［58］為進(jìn)一步提高大壩監(jiān)控模型的預(yù)測(cè)精度，增強(qiáng)監(jiān)控指標(biāo)確定方法的合理性，考慮堆石材料空間變異性對(duì)大壩位移的影響，基于隨機(jī)有限元法建立了一種新的堆石壩位移監(jiān)控混合模型，提出了一種多指標(biāo)合并的堆石壩位移監(jiān)控混合指標(biāo)確定方法，實(shí)例分析表明所提模型和指標(biāo)確定方法科學(xué)合理且精度顯著提高。

2. 4 動(dòng)力分析

地震是土石壩安全性評(píng)估的重要因素之一，考慮空間變異性對(duì)于大壩地震響應(yīng)特性的分析和抗震設(shè)計(jì)具有重要意義。例如，Chen等［59］以某100 m高的土石壩為例，考慮填土質(zhì)量密度、楊氏模量和抗拉強(qiáng)度的非均質(zhì)性，采用隨機(jī)有限元方法進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算，研究了土石壩地震響應(yīng)與材料參數(shù)具體空間分布的關(guān)系，研究結(jié)果證實(shí)了在土石壩地震評(píng)估中考慮填料參數(shù)空間變異性的重要性。

隨機(jī)場(chǎng)模型還可以用于分析土石壩動(dòng)力學(xué)參數(shù)的敏感性，并識(shí)別對(duì)大壩動(dòng)力響應(yīng)影響最大的關(guān)鍵參數(shù)。羅博華等［60］將空間隨機(jī)場(chǎng)模擬技術(shù)與有限元方法相結(jié)合，選取土石壩動(dòng)力隨機(jī)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，研究發(fā)現(xiàn)對(duì)加速度放大系數(shù)而言，阻尼比隨剪應(yīng)變變化的參數(shù)、最大動(dòng)剪切模量的參數(shù)和最大阻尼比的敏感性較高，對(duì)計(jì)算結(jié)果影響顯著；對(duì)永久變形而言，阻尼比隨剪應(yīng)變變化的參數(shù)、最大動(dòng)剪切模量隨圍壓變化的參數(shù)和泊松比的敏感性較高。

除了土石壩體本身，覆蓋層土體類型復(fù)雜，結(jié)構(gòu)松散，有時(shí)存在透鏡體，材料參數(shù)同樣具有較強(qiáng)的空間變異性，地震作用下對(duì)壩基防滲墻應(yīng)力變形的影響引起了許多學(xué)者的重視。例如，Song等［61］考慮覆蓋層材料參數(shù)的空間變異性和相關(guān)性，研究了靜力和動(dòng)力參數(shù)隨機(jī)性對(duì)瀝青心墻壩地震響應(yīng)的影響，發(fā)現(xiàn)材料參數(shù)的空間變異性對(duì)峰值加速度的影響大于對(duì)大壩永久變形的影響，且覆蓋層響應(yīng)的離散度大于壩體和瀝青心墻。

3 結(jié)論與展望

隨機(jī)場(chǎng)模型可以通過對(duì)材料參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)建模來描述土石壩的空間變異特性，從而獲取更準(zhǔn)確的滲流穩(wěn)定和靜動(dòng)力計(jì)算結(jié)果，還可以用于分析土石壩材料參數(shù)的敏感性，識(shí)別對(duì)大壩響應(yīng)影響最大的關(guān)鍵參數(shù)，此外，對(duì)于解決參數(shù)反分析問題和建立大壩監(jiān)控模型也起到了至關(guān)重要的作用。在利用隨機(jī)場(chǎng)模型進(jìn)行土石壩概率分析的領(lǐng)域，盡管國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了大量研究并取得了顯著成果，但仍存在諸多不足之處，可以考慮從以下3個(gè)方面開展未來的研究。

a）在土石壩滲流概率分析中，以前的大多數(shù)研究都是基于層流和達(dá)西定律的假設(shè)，然而，土石壩在使用過程中會(huì)受到荷載、水位、地震等多種因素的影響，壩體可能會(huì)發(fā)生變形和裂隙發(fā)育，這些因素會(huì)導(dǎo)致壩體的滲透性發(fā)生改變，從而使?jié)B流規(guī)律與達(dá)西定律不一致。對(duì)于未來的研究，可以考慮非達(dá)西流的假設(shè)，通過孔隙度和土壤顆粒直徑等變量的隨機(jī)性來進(jìn)行非達(dá)西滲流的概率分析。

b）土石壩失效概率分析往往基于二維隨機(jī)場(chǎng)，忽視了三維效應(yīng)的影響，常規(guī)計(jì)算機(jī)算力不足是導(dǎo)致這一問題的主要原因。隨著硬件設(shè)施水平的不斷提高，在未來有必要考慮土石壩失效概率分析的三維精細(xì)化建模，與二維分析相比，其能夠更加準(zhǔn)確地描述土石壩的實(shí)際行為，提高分析的準(zhǔn)確性和可靠性。

c）傳統(tǒng)的采樣方法，如簡(jiǎn)單的隨機(jī)采樣和分層采樣，在處理復(fù)雜系統(tǒng)或高維空間時(shí)往往是無效和不準(zhǔn)確的。新采樣技術(shù)的發(fā)展，例如重要性采樣、自適應(yīng)抑制采樣和馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法可以更有效地探索參數(shù)空間，更準(zhǔn)確地進(jìn)行期望值預(yù)測(cè)。除了提高精度外，新的采樣技術(shù)還大大提高了精細(xì)化建模的可能性。因此，在未來的研究中，有必要結(jié)合新的采樣技術(shù)進(jìn)行土石壩失效概率分析。

參考文獻(xiàn)：

［1］謝立全，于玉貞，張丙印. 土石壩坡三維隨機(jī)有限元整體可靠度分析［J］. 巖土力學(xué)， 2004（S2）： 235-238.

［2］孫偉，何蘊(yùn)龍，袁帥，等. 考慮材料非均質(zhì)性的膠凝砂礫石壩隨機(jī)有限元分析［J］. 水利學(xué)報(bào)， 2014， 45（7）： 828-836.

［3］呂鵬. 基于不確定性分析的土石壩滲流性態(tài)研究［D］. 天津：天津大學(xué)， 2019.

［4］王寶強(qiáng)，李偉生. 基于PSO-LHS-MC法的土石壩壩坡失穩(wěn)時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)率分析［J］. 人民珠江， 2023， 44（S2）： 109-115.

［5］黃偉杰，龐銳，徐明洋，等. 考慮滲透系數(shù)空間變異性的超高心墻堆石壩滲流分析［J］. 水利與建筑工程學(xué)報(bào)， 2023， 21（6）： 143-149.

［6］姜琪浩，王金銅，侯波，等. 考慮地層變異和參數(shù)空間變異的淺基礎(chǔ)承載力可靠度分析［J］. 巖土力學(xué)， 2023， 44（11）：3288-3298.

［7］顧鑫，仉文崗，歐強(qiáng)，等. 基于Chebyshev-Galerkin-KL展開的土質(zhì)邊坡穩(wěn)定可靠度分析［J］. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2023， 45（12）： 2472-2480.

［8］趙超.基于隨機(jī)場(chǎng)理論的地層類型與巖土參數(shù)空間分布耦合概率建模方法研究［D］.武漢：中國地質(zhì)大學(xué)，2022.

［9］REN Y， NISHIMURA S， SHIBATA T， et al. Data Assimilation for Surface Wave Method by Ensemble Kalman Filter with Random Field Modeling［J］. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics， 2022， 46（15）： 2944-2961.

［10］WANG Y K， HAN M S， LI B， et al. Stability Evaluation of Earth-rock Dam Reinforcement with New Permeable Polymer Based on Reliability Method［J］. Construction and Building Materials， 2022， 320. DOI：10. 1016/j. conbuildmat. 2021. 126294.

［11］姚敬茹.巖土參數(shù)空間相關(guān)性與隨機(jī)場(chǎng)模擬研究及應(yīng)用［D］.濟(jì)南：山東建筑大學(xué)，2018.

［12］劉航飛. 基于不確定性分析的高心墻土石壩滲流性態(tài)及滲透穩(wěn)定可靠性研究［D］. 西安：西安理工大學(xué)， 2023.

［13］MANTOGLOU A， WILSON JL. The Turning Bands Method for Simulation of Random Fields Using Line Generation By a Spectral Method［J］. Water Resources Research， 1982， 18（5）： 1379-1394.

［14］TOMPSON AFB， ABABOU R， GELHAR LW. Implementation of the Three-dimensional Turning Bands Random Field Generator［J］. Water Resources Research， 1989， 25（10）： 2227-2243.

［15］LAUZON D， MARCOTTE D. Calibration of Random Fields by a Sequential Spectral Turning Bands Method［J］. Computers and Geosciences， 2019， 135. DOI：10. 1016/j. cageo. 2019. 104390.

［16］EMERY X， FURRER R， PORCU E. A Turning Bands Method for Simulating Isotropic Gaussian Random Fields on the Sphere［J］. Statistics and Probability Letters， 2018， 144： 9-15.

［17］LIU G H， PU H， ZHAO Z H， et al. Coupled Thermo-hydro-mechanical Modeling on Well Pairs in Heterogeneous Porous Geothermal Reservoirs［J］. Energy， 2019， 171： 631-653.

［18］CAI Z N， LIN B， LIN M X. A Positive and Moment-preserving Fourier Spectral Method［J］. Siam Journal on Numerical Analysis， 2024， 62（1）. DOI：10. 1137/23M1563918.

［19］SHEN M X， WANG H Y. An Efficient Spectral Method for the Fractional Schr?dinger Equation on the Real Line［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2024， 444. DOI：10.1016. j. cam. 2024. 115774. .

［20］ALI SF， KAMRAN， KAMAL S， et al. Numerical Modelling of Advection Diffusion Equation Using Chebyshev Spectral

Collocation Method and Laplace Transform［J］. Results in Applied Mathematics， 2024， 21. DOI：10. 1016/j. rinam. 2023.100420.

［21］LANG A， POTTHOFF J. Fast Simulation of Gaussian RandomFields［J］. Monte Carlo Methods and Applications， 2011， 17（3）： 195-214.

［22］ROBIN M， GUTJAHR A， SUDICKY E， et al. Cross-correlatedRandom Field Generation with the Direct Fourier Transform Method［J］. Water Resources Research， 1993， 29（7）： 2385-2397.

［23］TIAN N， CHEN J， WANG Z S， et al. Modified MatrixDecomposition Method for Generating Multivariate Three-dimensional Cross-correlated Random Fields［J］. Arabian Journal for Science and Engineering， 2023， 48（10）： 13615-13632.

［24］LI D Q， XIAO T， ZHANG L M， et al. Stepwise CovarianceMatrix Decomposition for Efficient Simulation of Multivariate Large-scale Three-dimensional Random Fields［J］. Applied Mathematical Modelling， 2018， 68： 169-181.

［25］王占盛，陳健，戎虎仁，等. 土性參數(shù)各向異性隨機(jī)場(chǎng)的表征與建模方法［J］. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2021，38（1）：29-36.

［26］袁博. 馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)的空間相關(guān)模型在非負(fù)矩陣分解線性解混中的應(yīng)用［J］. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2017，37（12）：3563-3568.

［27］李少龍，楊金忠，蔡樹英. 基于van Genuchten-Mualem模型的飽和-非飽和介質(zhì)流動(dòng)隨機(jī)數(shù)值分析［J］. 水利學(xué)報(bào)，2006（1）： 33-39.

［28］李少龍，楊金忠，張家發(fā). KL展開在滲流場(chǎng)隨機(jī)分析中的初步應(yīng)用［J］. 長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2009，26（10）：39-43.

［29］史良勝，楊金忠，陳伏龍，等. Karhunen-Loeve展開在土性各向異性隨機(jī)場(chǎng)模擬中的應(yīng)用研究［J］. 巖土力學(xué)，2007（11）：2303-2308.

［30］TSANTILI I C， HRISTOPULOS D T. Karhunen-loeve Expansion of Spartan Spatial Random Fields［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2016， 43： 132-147.

［31］BAIZHIKOVA Z，LE J L，BALLARINI R. Stochastic Buckling of Geometrically Imperfect Beams on Elastic Foundation［J］. Journal of Applied Mechanic， 2022， 90（1）. DOI：10. 1115/1. 4055811.

［32］ALAMANIS N， DAKOULAS P. Simulation of Random Fields of Soil Properties by the Local Average Subdivision Method andEngineering Applications［J］. Energy Systems， 2019， 12（4）： 841-861.

［33］YUAN Y L， HU C M， MEI Y， et al. Slope Reliability Analysis Based on Curvilinear Local Averaging of a 2-D Random Field［J］. Computers and Geotechnics， 2021， 137. DOI： 10. 1016/j. compgeo，2021. 104247.

［34］DENNIS L， FABIAN M， ANSGAR S. Regularity of Multifrac?tional Moving Average Processes with Random Hurst Exponent［J］. Stochastic Processes and Their Applications， 2021， 140： 21-48.

［35］佘躍心，張愛國. 移動(dòng)平均法計(jì)算相關(guān)距離的分析與探討［J］. 淮陰工學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（1）：13-16， 35.

［36］LI W D， ZHANG C R. Some Further Clarification on Markov Chain Random Fields and Transiograms［J］. International Journal of Geographical Information Science， 2013， 27（3）： 423-430.

［37］張抒，唐輝明，劉曉，等. 基于飽和滲透系數(shù)空間變異結(jié)構(gòu)的斜坡滲流及失穩(wěn)特征［J］. 地球科學(xué)，2018，43（2）：622-634.

［38］SAFIKHANI M， ASGHARI O， EMERY X. Assessing the Accuracy of Sequential Gaussian Simulation Through Statistical Testing［J］. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment， 2017， 31（2）： 523-533.

［39］王濤，馬駿，周國慶，等. 凍土地層三維空間變異性表征及凍結(jié)帷幕溫度特征值演化過程研究［J］. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2022， 41（10）： 2094-2108.

［40］豆紅強(qiáng)，王浩. 非平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)下飽和滲透系數(shù)空間變異性的無限長(zhǎng)邊坡穩(wěn)定概率分析［J］. 土木工程學(xué)報(bào)，2017，50（8）：105-113， 128.

［41］胡長(zhǎng)明，袁一力，梅源，等. 基于二維隨機(jī)場(chǎng)在圓弧曲線上局部平均化的邊坡可靠度分析［J］. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2020，39（2）：251-261.

［42］于書凝，楊文東，張斌，等. 基于正態(tài)信息擴(kuò)散的堤防土層滲透系數(shù)空間分布研究［J］. 水電能源科學(xué)，2024（3）：208-211，215.

［43］宋福彬.基于隨機(jī)介質(zhì)算法的土石壩病害模擬及特征識(shí)別方法研究［D］.西安：西安理工大學(xué)，2021.

［44］TAN X H， WANG X， KHOSHNEVISAN S， et al. Seepage Analysis of Earth Dams Considering Spatial Variability of Hydraulic Parameters［J］. Engineering Geology， 2017， 228： 260-269.

［45］LIU L L， CHENG Y M， JIANG S H， et al. Effects of Spatial Autocorrelation Structure of Permeability on Seepage Through an Embankment on a Soil Foundation［J］. Computers and Geotechnics， 2017， 87： 62-75.

［46］CHI F D， PIERRE B， CLAUDIO C， et al. Stochastic Seepage Analysis in Embankment Dams Using Different Types of Random Fields［J］. Computers and Geotechnics， 2023， 162. DOI：10.1016/j. compgeo. 2023. 105689.

［47］GUI S X， ZHANG R D， TURNER J P， et al. Probabilistic Slope Stability Analysis with Stochastic Soil Hydraulic Conductivity［J］. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2000， 126（1）： 1-10.

［48］AHMED A. Stochastic Analysis of Free Surface Flow ThroughEarth Dams［J］. Computers and Geotechnics， 2009， 36（7）： 1186-1190.

［49］LE T， GALLIPOLI D， SANCHEZ M， et al. Stochastic Analysisof Unsaturated Seepage Through Randomly Heterogeneous Earth Embankments［J］. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics， 2012， 36（8）： 1056-1076.

［50］肖金紅. 考慮土體空間變異性的土石壩穩(wěn)定性分析［J］. 水利技術(shù)監(jiān)督， 2020（3）： 18-20.

［51］蔣水華，劉賢，黃勁松，等. 考慮水力模型參數(shù)空間變異性土石壩邊坡可靠度分析［J］. 應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2021，29（4）： 939-951.

［52］鄧志平，鐘敏，潘敏，等. 考慮參數(shù)空間變異性和基于高效代理模型的邊坡可靠度分析［J］. 巖土工程學(xué)報(bào)，2024，46（2）：273-281.

［53］舒蘇荀，龔文惠，王佳，等. 各向異性隨機(jī)場(chǎng)下的邊坡模糊隨機(jī)可靠度分析［J］. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2015，37（7）：1204-1210.

［54］LIZARRAGA H S， LAI C G. Effects of Spatial Variability of Soil Properties on the Seismic Response of an Embankment Dam［J］. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2014， 64： 113-128.

［55］CHEN H， LIU D H. Stochastic Finite Element Analysis of Rockfill Dam Considering Spatial Variability of Dam Material Porosity［J］， 2019， 36（9）： 2929-2959.

［56］楊杰，馬春輝，向衍，等. 基于相關(guān)向量機(jī)與隨機(jī)有限元的筑壩材料參數(shù)不確定性反分析［J］. 中國科學(xué)：技術(shù)科學(xué)，2018，48（10）：1113-1121.

［57］CHI S C， FENG W Q， JIA Y F， et al. Stochastic Finite-elementAnalysis of Earth-rockfill Dams Considering the Spatial Variability of Soil Parameters［J］. International Journal of Geomechanics， 2022， 22（12）. DOI：10. 1061（/ ASCE）GM. 1943-5622. 0002454.

［58］RAN L， YANG J， ZHANG P L， et al. A Hybrid MonitoringModel of Rockfill Dams Considering the Spatial Variability of Rockfill Materials and a Method for Determining the Monitoring Indexes［J］. Journal of Civil Structural Health Monitoring， 2022， 12（4）： 817-832.

［59］CHEN J Y， LIU P F， XU Q， et al. Seismic Analysis of HardfillDams Considering Spatial Variability of Material Parameters［J］. Engineering Structures， 2020， 211. DOI：10. 1016/j. engstruct.2020. 110439.

［60］羅博華，宋志強(qiáng)，王飛，等. 考慮覆蓋層地基材料空間變異性的瀝青混凝土心墻壩地震響應(yīng)研究［J］. 振動(dòng)與沖擊，2022，41（2）：53-63.

［61］SONG Z Q， WANG Z K， LUO B H， et al. Seismic Response of Asphalt Concrete Core Dam Considering Spatial Variability of Overburden Foundation Materials［J］. Arabian Journal for Science and Engineering， 2022， 47（10）： 12605-12620.